Основания математики - элементарное рассмотрение

[man]

vek88 в сообщении #371255 писал(а):

Соответственно, в последнем примере приходится допустить, что классическая (=двузначная) логика не работает, а невозможность присвоить непротиворечивым образом значения ИСТИНА или ЛОЖЬ выражению $A \in A$ просто означет, что это выражение неразрешимо.

Вы хотите сказать, что если в какой-то теории принимается аксиома (доказуема теорема) $a \in a$ или $a \notin a$, то теория неполна, даже если она первопорядковая ?

[vek88]

man в сообщении #371897 писал(а):

vek88 в сообщении #371255 писал(а):

Соответственно, в последнем примере приходится допустить, что классическая (=двузначная) логика не работает, а невозможность присвоить непротиворечивым образом значения ИСТИНА или ЛОЖЬ выражению $A \in A$ просто означет, что это выражение неразрешимо.

Вы хотите сказать, что если в какой-то теории принимается аксиома (доказуема теорема) $a \in a$ или $a \notin a$, то теория неполна, даже если она первопорядковая ?

Вот что говорилось в последнем примере:

vek88 в сообщении #370720 писал(а):

А теперь попробуем использовать для определения отношения вместо аксиом правила или условия, которым должно удовлетворять отношение. Пусть снова имеется множество 4-х объектов$A,B,C,D$. А отношение мы определяем правилом/условием $x \in A$ тогда и только тогда, когда $x \notin x$. Или, в математической записи,

$$(x \in A) \leftrightarrow (x \notin x).$$

Рассмотрим, как мы применяем это правило для определения истинности утверждения $A \in B$. Поскольку к этому утверждению наше правило/условие не применимо, естественно заключить, что это утверждение ложно. Другими словами, поскольку нам не удалось доказать его истинность, естественно считать его ложным. Соответственно, его отрицание истинно, т.е. $A \notin B$.

А вот к утверждению $A \in A$ это правило применимо в виде конкретного условия

$$(A \in A) \leftrightarrow (A \notin A).$$

И теперь попытка считать утверждение $A \in A$ истинным автоматически приводит к тому, что оно ложно, и наоборот - предположение о его ложности влечет его истинность. А это означает противоречие.

[Лукомор]

vek88 в сообщении #372011 писал(а):

отношение мы определяем правилом/условием $x \in A$ тогда и только тогда, когда $x \notin x$

и

vek88 в сообщении #372011 писал(а):

А вот к утверждению $A \in A$ это правило применимо в виде конкретного условия

$$(A \in A) \leftrightarrow (A \notin A).$$

А вот тут у Вас неувязочка, да!
Вы заявляете, что $x \in A$, тогда и только тогда, когда $x \notin x$
Следовательно, Вы не имеете права применять это правило к утверждению $A \in A$

[vek88]

Лукомор в сообщении #372289 писал(а):

vek88 в сообщении #372011 писал(а):

отношение мы определяем правилом/условием $x \in A$ тогда и только тогда, когда $x \notin x$

и

vek88 в сообщении #372011 писал(а):

А вот к утверждению $A \in A$ это правило применимо в виде конкретного условия

$$(A \in A) \leftrightarrow (A \notin A).$$

А вот тут у Вас неувязочка, да!
Вы заявляете, что $x \in A$, тогда и только тогда, когда $x \notin x$
Следовательно, Вы не имеете права применять это правило к утверждению $A \in A$

Лукомор

Объясните, пожалуйста, почему не имею права.

ЗЫ. Поскольку мы в данный момент рассуждаем неформально, не сключаю, что мы вкладываем разный смысл в наши выкладки. Опять же по причине великого и могучего. Разумеется, мы уточним все сказанное формальным образом (в К-системе). Но пока давайте попробуем понять друг друга без излишней формализации - на пальцах. Надеюсь, это у нас получится - уж больно простая ситуация.

[Лукомор]

vek88 в сообщении #372316 писал(а):

Лукомор

Объясните, пожалуйста, почему не имею права.

Потому что Вы изначально рассматриваете утверждение $A \in A$ "тогда и только тогда, когда $x \notin x$"
При этом отсутствует какое-либо утверждение для случая, когда $x \in x$...

[vek88]

Лукомор в сообщении #372329 писал(а):

vek88 в сообщении #372316 писал(а):

Лукомор

Объясните, пожалуйста, почему не имею права.

Потому что Вы изначально рассматриваете утверждение $A \in A$ "тогда и только тогда, когда $x \notin x$"
При этом отсутствует какое-либо утверждение для случая, когда $x \in x$...

Изначально я рассматриваю правило

vek88 в сообщении #370720 писал(а):

А теперь попробуем использовать для определения отношения вместо аксиом правила или условия, которым должно удовлетворять отношение. Пусть снова имеется множество 4-х объектов$A,B,C,D$. А отношение мы определяем правилом/условием $x \in A$ тогда и только тогда, когда $x \notin x$. Или, в математической записи,

$$(x \in A) \leftrightarrow (x \notin x).$$

Если правило содержит переменную $x$ и задана область значений этой переменной (в нашем примере объекты $A,B,C,D$), то я могу подставлять вместо переменной любое из этих значений. Это общепринято в теории формальных систем. Это и сделал - подставил вместо $x$ значение $A$. В результате получилось правило

$$(A \in A) \leftrightarrow (A \notin A).$$

ИМХО здесь все совершенно формально.

Более того, давайте не будем говорить о правилах с переменными и не будем ссылаться на то, что принято в формальных теориях. А почему я не имею права сразу сказать, что я требую от $A$ соблюдения условия

$$(A \in A) \leftrightarrow (A \notin A)?$$

ИМХО это моя селедка - что хочу, то и делаю. Какие хочу условия, такие и накладываю на мои объекты.

[Лукомор]

vek88 в сообщении #372339 писал(а):

Это и сделал - подставил вместо $x$ значение $A$

Остаётся непонятным, почему вместо $x$ Вы подставили именно значение $A$, а не, скажем, $B$, или $C$?

[vek88]

Лукомор в сообщении #372345 писал(а):

vek88 в сообщении #372339 писал(а):

Это и сделал - подставил вместо $x$ значение $A$

Остаётся непонятным, почему вместо $x$ Вы подставили именно значение $A$, а не, скажем, $B$, или $C$?

В стандартной терминологии теории формальных систем правило с переменными (иногда называют схемой правил) "обозначает" множество конкретных правил - применений данного правила. Справедливым считается любое конкретное применение, получаемое подстановкой вместо всех переменных значений из области значений этих переменных. При этом вместо одной и той же переменной всюду подставляется одно и то же значение.

В нашем примере я имею право вместо $x$ подставить любое из значений $A,B,C,D$.

[Лукомор]

vek88 в сообщении #372353 писал(а):

В нашем примере я имею право вместо $x$ подставить любое из значений $A,B,C,D$.

Нет, только $B,C,D$, поскольку для $A$ не выполнется условие "тогда и только тогда, когда $x \notin x$"

[vek88]

Лукомор в сообщении #372356 писал(а):

vek88 в сообщении #372353 писал(а):

В нашем примере я имею право вместо $x$ подставить любое из значений $A,B,C,D$.

Нет, только $B,C,D$, поскольку для $A$ не выполнется условие "тогда и только тогда, когда $x \notin x$"

В принципе, Вы имеете право разрешать использование конкретных применений правил только в случае, если доказано, что эти применения правил могут быть проинтерпретированы непротиворечивым образом. Мне этот путь борьбы с парадоксами представляется неоправданно усложненным и потому неконструктивным.

Большой недостаток этого подхода в том, что Вы не имеете права пользоваться аксиоматизацией какой-либо теории, пока Вы не доказали ее непротиворечивость. См., например, ZFC аксиматизацию теории множеств.

Именно поэтому я и ратую за К-системы - в них разрешено все. Но при этом говорится, что классическая логика справедлива только в полных К-системах. А если из-за наших построений К-система стала неполной, то мы сами и виноваты, хотя и имеем право.

(Оффтоп)

У меня перерыв на обед - джин кушает.

[Лукомор]

Пока джин кушает, ещё раз по-поводу брадобрея.
Прежде всего установим, что каждый житель острова относится к одному из трёх множеств:
1. Множество брадобреев - В.
2. Множество (С) - тех небрадобреев, которые бреют себя и только себя.
3. Множество (А) тех небрадобреев, которые бреются у брадобрея.
Парадокс возникает, когда мы пытаемся множество В представить либо подмножеством множества А, либо подмножеством множества С.
На самом деле множество В ни тем ни другим подмножеством не является.

[vek88]

Лукомор в сообщении #372374 писал(а):

Пока джин кушает, ещё раз по-поводу брадобрея.
Прежде всего установим, что каждый житель острова относится к одному из трёх множеств:
1. Множество брадобреев - В.
2. Множество (С) - тех небрадобреев, которые бреют себя и только себя.
3. Множество (А) тех небрадобреев, которые бреются у брадобрея.
Парадокс возникает, когда мы пытаемся множество В представить либо подмножеством множества А, либо подмножеством множества С.
На самом деле множество В ни тем ни другим подмножеством не является.

Согласен, установили. Итак, на острове кроме небрадобреев пунктов 2,3 есть брадобреи $B_1,B_2,...,B_n (n>0)$.

Далее рассмотрим случай одного брадобрея, т.е. $n=1$. И я хочу сделать так, чтобы $B_1 \in B_1 \leftrightarrow B_1 \notin B_1.$ Почему незя так хотеть? И я ведь не лишаю его статуса брадобрея, т.е. не пытаюсь сделать небрадобреем.

Другой вопрос, что так не получается ..., но хотеть то не вредно.

[man]

vek88 в сообщении #372384 писал(а):

И я хочу сделать так, чтобы $B_1 \in B_1 \leftrightarrow B_1 \notin B_1.$ Почему незя так хотеть? И я ведь не лишаю его статуса брадобрея, т.е. не пытаюсь сделать небрадобреем.

Можно, а зачем ? Это ж противоречие, из него чего хочешь можно вывести. Нет ?

Единственная, интересная мысль, которую я заметил, это разрешение парадокса путем добаления второго брадобрея.
Попробуете изобразить формально и доказать неравенство этих брадобреев ?

[vek88]

man в сообщении #372470 писал(а):

vek88 в сообщении #372384 писал(а):

И я хочу сделать так, чтобы $B_1 \in B_1 \leftrightarrow B_1 \notin B_1.$ Почему незя так хотеть? И я ведь не лишаю его статуса брадобрея, т.е. не пытаюсь сделать небрадобреем.

(1) Можно, а зачем ? Это ж противоречие, из него чего хочешь можно вывести. Нет ?

(2) Единственная, интересная мысль, которую я заметил, это разрешение парадокса путем добаления второго брадобрея.
Попробуете изобразить формально и доказать неравенство этих брадобреев ?

man

1. Вам это очевидно. И мне тоже. Об этом я и писал в post370720.html#p370720. А вот Лукомор считает, что подобное условие/правило вводить нельзя, а противоречия никакого нет (если я правильно его понял). Вот мы с ним и пытаемся договориться.

На самом деле вопрос принципиальный. Разумеется, в данном простом примере очевидно, что правило несуразное, и потому приводит к противоречию. Но дело в принципе - ведь в общем случае не все так очевидно. К примеру, нам ведь не известно доказательство непротиворечивости ZFC или других нетривиальных аксиоматических теорий.

2. А вот разрешением парадокса путем добавления второго брадобрея я не занимался. На самом деле я пытался на примерах рассмотреть разные случаи "нехороших" построений.

Такие "нехорошие" построения в общем случае могут приводить к парадоксам или неоднозначности. Все как при рассмотрении уравнений - решение может не существовать, быть единственным или решений много.

[Лукомор]

vek88 в сообщении #372487 писал(а):

И я хочу сделать так, чтобы $B_1 \in B_1 \leftrightarrow B_1 \notin B_1.$ Почему незя так хотеть?

Потому что $B_1 \in B_1 \bigcup B_1 \notin B_1.$ всегда истинно...