Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[evgeniy]

Определение функции по ее градиенту зависит от пути интегрирования и только в частных случаях эта задача решается. Оказывается решение зависит от произвольной функции и при выборе этой функции становится однозначным. Ситуация аналогична обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые зависят от начальных условий. Допустим, заданы градиенты функции $\frac{\partial \phi}{\partial x_l}=A_l(x_1,...,x_{2N}),l=1,...,2N$. т.е. имеется четное значение функции. При этом уравнение нормали к поверхности $\phi=const$, будет
$\sum_{l=1}^{2N}A_l(x_1,...,x_{2N})dx_l=0$
Составим уравнения характеристик
$\frac{dx_l}{ds_1}=-A_{l+N}(x_1,...,x_{2N})$
$\frac{dx_{l+N}}{ds_1}=A_{l}(x_1,...,x_{2N}),l=1,...,N$
выбираем начальные условия $x_l=x_l(s_1^0,s_2,...,s_{2N})$
Причем решение уравнений характеристик должно покрыть все пространство $x_l=x_l(s_1,s_2,...,s_{2N})$, при этом имеем и обратную функцию при не равенстве нулю соответствующего определителя.
Подставляя в уравнение нормали, уравнение характеристик, получим
$d\phi=\sum_{l=1}^{N}[A_l(x_1,...,x_{2N})-A_{l+N}(x_1,...,x_{2N})+A_{l+N}(x_1,...,x_{2N})A_{l}(x_1,...,x_{2N})]ds_1=0$
Т.е. вдоль характеристик уравнение удовлетворяется. Значит величина $\phi=\phi(s_1,...,s_{2N})$ является решением уравнения Пфаффа. Подставляя вместо $s_l$ значения аргументов функции градиента, получим $\phi=\phi(x_1,...,x_{2N})$, которая является решением уравнения Пфаффа и удовлетворяет условию $\frac{\partial \phi}{\partial x_l}=A_l(x_1,...,x_{2N})$

[alekcey]

Вас не затруднит на примере единичной окружности с центром в начале координат
$\[xdx + ydy = 0\]$ показать восстановление функции по её градиенту (или сферы $\[xdx + ydy + zdz = 0\]$)?

[evgeniy]

Могу решить только первое уравнение, так как требуется четное количество функций.Уравнение характеристик
$\frac{dx}{dt}=-y$
$\frac{dy}{dt}=x$
сводится к дифференциальному уравнению
$\frac{d^2x}{dt^2}+x=0$Решение имеет вид
$x=c_1exp(it)+c_2exp(-it)$
$y=-ic_1exp(it)+ic_2exp(-it)$
определяем из этого уравнения величину экспоненты, получим
$exp(it)=(ix-y)/(2ic_1)$
$exp (-it)=(ix+y)/(2ic_2)$
Перемножаем оба выражения, получим
$1=(-x^2-y^2)/(-4c_1c_2)$
или функцию потенциала
$\phi(x,y)=x^2+y^2$
Из этого примера следует некоторое уточнение алгоритма. Оказывается функция, являющаяся потенциалом определяется, а не является произвольной.
Дело в том, что неизвестных функций 2N, и полученных уравнений характеристик 2N, а задающих начальные условия коэффициентов 2N+1. 2N констант, определяющих решение уравнений характеристик плюс время. Т.е. разрешая эту систему уравнений, получим $P(s_{2N-1},s_{2N})=g(x_1,...,x_N)$. т.е. потенциал не произволен, а получается из решения. Но если взять произвольную функцию от потенциала, то снова получится потенциал, уже новый. Т.е. все таки потенциал произволен.

[alekcey]

Спасибо. Получается, Вы решаете в “буквенном” виде. Поскольку в жизни всё делается численно, то интересовал, конечно, численный подход. (Сфера численно тоже находится, если интересно.) Если окружность единичная с центром в начале, то начальной точкой может послужить любая на ней, как и на сфере… (или у нас одна константа, исходя из предварительной информации)…
Примерно такой же приём используется при решении систем нелинейных уравнений с числом переменных большим числа уравнений. Система сводится к уравнениям Пфаффа. Поверхность (кривая) ищется в виде набора кривых по выбранным направлениям. (В случае алгебраических систем можно говорить о полном решении.)…

Поскольку alekcey, несмотря на настоятельную просьбу, не привел подробного и строгого изложения рекламируемого им метода, он, за его рекламу, на первый раз блокируется на неделю. / GAA

[evgeniy]

Я построил, еще один пример решения уравнения Пфаффа. Уравнение
$x^2ydx+xdy=0$Он содержит потенциал $x^2/2+lny=const$
уравнение характеристик
$\frac{dx}{dt}=-x$
$\frac{dy}{dt}=x^2y$
ПЕрвое уравнение содержит решение
$x=c_1exp(-t)$
второе
$lny/c_1^2=c_2-exp(-2t)/2$
Объединяя эти два уравнения получим, исключая экспоненту
$lny+x^2/2=c_2c_1^2$
Получил Ваше сообщение. НЕ понял как можно считать нелинейную систему уравнений с числом переменных больше числа уравнений. ТОлько с помощью метода наименьших квадратов, и решение получается приближенным с ошибкой, поясните чего я не понял.
Да уравнение характеристик в случае сложных функций решается в численном виде и результат получается приближенный.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #363281 писал(а):

Определение функции по ее градиенту зависит от пути интегрирования и только в частных случаях эта задача решается. Оказывается решение зависит от произвольной функции и при выборе этой функции становится однозначным.

Локальное условие хорошо известно,
оно состоит в том, что
$\frac{\partial A_j}{\partial x_k}=\frac{\partial A_k}{\partial x_j}.$
У Вас это условие отсутствует. вы делаете вид, что можете восстановить функцию по градиенту без него --- обман.

[evgeniy]

Во- первых существует условие интегрирования уравнения Пфаффа более сложное см. учебник Смирнова по высшей математике. Во-вторых, я объясняю, почему не интегрируется уравнение Пфаффа. Так же как дифференциальные уравнения не интегрируются без начальных условий, также и уравнения Пфаффа не интегрируются без дополнительных условий.
Начальные условия для задачи Коши у обыкновенных дифференциальных уравнений это функции $x_i^0=x_i^0(t_0)$. Причем решение в пространстве $x_l, l=1,...,N$ зависит от пути, по которому определяются эти функции.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #364982 писал(а):

Во- первых существует условие интегрирования уравнения Пфаффа более сложное см. учебник Смирнова по высшей математике.

Вы невнимательно читали. Написанное мной условие- ннеобходимое и достаточное для локальной разрешимости восстановления функции по градиенту. Если у Вас есть какое-то другое-приведите его. Вы никакогоп условия разрешимости этой задачи не привели.

evgeniy в сообщении #364982 писал(а):

Так же как дифференциальные уравнения не интегрируются без начальных условий,

Чепуха. Прекрасно интегрируются. Единственности может не быть, однако.

evgeniy в сообщении #364982 писал(а):

также и уравнения Пфаффа не интегрируются без дополнительных условий.

Так сформулируйте эти условия. То, что вы написали-неверно. Для двух переменных условий нет, достаточно подобрать интегрирующий множитель. Для большего количества переменных условия для Пфаффа есть, но они не связаны с данными Коши.

[evgeniy]

shwedka как мне кажется, Вы немного заговариваетесь. КАк это интегрировать дифференциальные уравнения без начальных условий. Поясните пожалуйста.
Но суть не в этом, я понял, какую задачу я решил. Я решил множество двумерных задач, добавив в уравнение Пфаффа дополнительный коэффициент. Ведь у меня по существу описано решение парной задачи и равны нулю каждая пара по отдельности. Недаром же все рассмотренные примеры двумерных задач определяют решение с точностью до множителя. Уравнение Пфаффа, которые решены, имеют вид
$\sum_{n=1}^{N}\alpha_n(x_1,...,x_{2N})[A_n(x_1,...,x_{2N})dx_n+A_{n+N}(x_1,...,x_{2N})dx_{n+N}]=0$
Т.е. в результате решения может появиться, а может и не появиться множитель (равняться единице) $\alpha_n$. При постановки задачи, решаемое уравнение Пфаффа этот множитель не содержит. КАкой смысл в таком решении. Оно определяет интегрируемый случай, и если описываемый уравнением Пфаффа процесс в природе сходится, то именно благодаря введению этих множителей.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #365165 писал(а):

КАк это интегрировать дифференциальные уравнения без начальных условий.

сколько угодно! Вы вспомните понятие 'общее решение'.

evgeniy в сообщении #365165 писал(а):

Я решил множество двумерных задач, добавив в уравнение Пфаффа дополнительный коэффициент.

Вы не доказали, что решения отдельных парных задач согласованы.

По-прежнему, Вы игнорируете вопрос. Как Вы решаете задачу о нахождении функции по ее градиенту, если необходимое условие нарушено.

[evgeniy]

Задача разбивается на N связанных задач, путем решение N парных одномерных задач. Такая конструкция из парных задач каждая по отдельности находит интегрирующий множитель у двумерной задачи. причем все уравнения связаны. Почему я говорю, что решается двумерная задача. Об этом говорит правильность решения трех двумерных задач.
$xdx+ydy=0$
$x^2ydx+xdx=0$
$sinq_2dq_1+cosq_2dq_2=0$
причем 2 и3 задачи не удовлетворяют условию $rot\vec A=0$.
Но вообще-то я бы переделал алгоритм решения в связи с получением решения в данных примерах. Чисто абстрактно строя алгоритм, я был не точен.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #365176 писал(а):

Задача разбивается на N связанных задач, путем решение N парных одномерных задач

Повторяю. Не доказано, что решения парных одномерных задач по разным парам переменных согласованы.
Если считаете, что доказано, то процитируйте!

[evgeniy]

Считаю, что не доказано, но примеры подтверждают правильность предложенного метода и буду думать как доказать.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #365294 писал(а):

но примеры подтверждают правильность предложенного метода

И не забудьте про необходимые условия. Без них ничего не получится.

[evgeniy]

Незнакомый мне Alekcey!
В своем сообщении Вы пишите, что мой метод работает в общем случае. Из общения со Shwedkoy я понял, что решаю N парных уравнений
$A_l(q_1,...,q_{2N})dx_l+A_{l+k}(q_1,...,q_{2N})dx_{l+N}=0$
ПРичем определяю потенциал, общий для всех уравнений, но его градиент не совпадает с функциями $A_l(q_1,...,q_{2N})$, а определяется с точностью до множителя, общего у парных уравнений. У каждого парного уравнения общий. Причем, так как пары произвольны, то этот множитель общий для всех уравнений. Если надо определить функции $A_l(q_1,...,q_{2N})$, ортогональные приращениям $dx_l$, то мой метод работает, так как попарное уравнение решается. А если необходимо восстановить потенциал, то его градиент совпадает с точностью до множителя, общего для всех парных уравнений. Это не доказательство, правильности метода, а просто некоторые соображения в его правильности. Т.е. из решения произвольных пар уравнений, следует общность интегрирующего множителя.
Alekcey, спасибо за послание.