По мотивам Литлвуда

[ShMaxG]

Не знаю, у меня и у автора все шары пронумерованы (иначе -- смысла абсолютно никакого). Обсуждать тему больше не собираюсь.

[Andrey Lukyanov]

Новая задача по тому же поводу, в двух вариантах.

Вариант 1

У нас есть коробка. В ней лежит шар, на котором написано «1». Имеется также бесконечный мешок, в котором находится бесконечное число шаров. Все шары в мешке, кроме одного, пронумерованы, начиная с 2. И на одном оставшемся шаре написано $\infty$ («бесконечность»).

За одну минуту до полудня шар из коробки выбрасывается, и на его место кладётся шар из мешка, обладающий наименьшим номером (среди тех, что в мешке). ($\infty$ считается наибольшим номером.) Вся операция занимает нулевой промежуток времени.

За 1/2 минуты до полудня операция повторяется.

За 1/3 минуты до полудня операция повторяется.

И т. д.

Что будет в коробке в полдень?

Вариант 2

У нас есть коробка. В ней лежит шар, на котором написано «1».

За одну минуту до полудня номер на шаре стирается, а вместо него пишется номер на единицу больше (при этом тот, кто пишет номера, умеет также рисовать значок $\infty$, и знает, что $\infty$ больше любого натурального числа). Вся операция занимает нулевой промежуток времени.

За 1/2 минуты до полудня операция повторяется.

За 1/3 минуты до полудня операция повторяется.

И т. д.

Что будет в коробке в полдень?

Существенно:

Эквивалентны ли эти 2 варианта задачи?

[a ^ a]

ShMaxG в сообщении #349569 писал(а):

Не знаю, у меня и у автора все шары пронумерованы (иначе -- смысла абсолютно никакого).

И смысл и мораль задач с шарами: существуют шары не имеющие номера (даже не натурального)
Это выходит за рамки ТМ, хоть и не означает, что это не математическая проблема, но на данный момент это к сожалению синонимы.

[Хорхе]

В первом варианте в коробке ничего не будет -- все исчезнет в черной дыре, ведь бесконечное количество шаров обладают бесконечной массой.

Во втором варианте в коробке тоже ничего не будет. От все усиливающегося трения шар нагреется и расплавится.

[zhoraster]

Темы слиты.

[serval]

Andrey Lukyanov в сообщении #349579 писал(а):

Новая задача по тому же поводу, в двух вариантах.

Я же говорил - ковыряние в носу есть мощный математический метод.

[В.О.]

Литлвуд в исходной задаче записывает бесконечный ряд. Вместо сложения операция объединения в теории множеств. Вопрос заключается в нахождении бесконечной суммы, т.е. предела частичных сумм. Понятие предела требует определения топологии.
Тому кто хочет грамотно решить задачу Литлвуда и все аналогичные. Для этого нужно:

1. Определить топологию на множестве шаров.

2. Определить последовательность частичных сумм, которая зависит от способа группировки шаров. Аналогией является группировка слагаемых в теореме Римана о сумме знакопеременного ряда. Сам Литлвуд объединил все слагаемые с отрицательным знаком, в результате получилось пустое множество. Но можно группировать по другому, чем и занимаются участники темы.
Т.е. нужно доказать аналог теоремы Римана для условно сходящихся рядов.

3. Наверняка, все это давно сделано.

[Someone]

В.О. в сообщении #349813 писал(а):

Литлвуд в исходной задаче записывает бесконечный ряд.

Ерунда, никакого ряда он не определяет. Он определяет последовательность множеств. Рекурсивно:
$A_0=\varnothing$, $A_n=(A_{n-1}\cup\{k\in\mathbb N:10n-9\leqslant k\leqslant 10n\})\setminus\{n\}$ для $n\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$.
Понятие ряда для множеств просто не определено.

В.О. в сообщении #349813 писал(а):

Вопрос заключается в нахождении бесконечной суммы, т.е. предела частичных сумм. Понятие предела требует определения топологии.

Никаких "частичных сумм" здесь нет, потому что нет ряда. Просто задана последовательность множеств.
Понятие предела последовательности множеств определяется без всякой топологии следующим образом.
1) Верхним пределом последовательности множеств называется множество тех элементов, которые принадлежат бесконечному числу этих множеств. Верхний предел выражается через теоретико-множественные операции:

$$\limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k\text{.}$$

2) Нижним пределом последовательности множеств называется множество тех элементов, которые принадлежат всем этим множествам, за исключением конечного числа. Нижний предел также выражается через теоретико-множественные операции:

$$\liminf_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k\text{.}$$

Из определений сразу следует, что

$$\liminf_{n\to\infty}A_n\subseteq\limsup_{n\to\infty}A_n\text{.}$$

3) Если выполняется равенство

$$\liminf_{n\to\infty}A_n=\limsup_{n\to\infty}A_n\text{,}$$

то это общее значение называется пределом последовательности множеств:

$$\lim_{n\to\infty}A_n=\liminf_{n\to\infty}A_n=\limsup_{n\to\infty}A_n\text{.}$$

Поскольку в последовательности множеств, определённых Литлвудом, каждый шар принадлежит только конечному числу множеств (а именно, шар с номером $n\in\mathbb N$ принадлежит множествам $A_k$ при $\frac n{10}\leqslant k<n$, и никаким другим), то $\limsup\limits_{n\to\infty}A_n=\varnothing$; поэтому также $\liminf\limits_{n\to\infty}A_n=\varnothing$ и $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\varnothing$.

В.О. в сообщении #349813 писал(а):

зависит от способа группировки шаров

Группировка шаров и вообще последовательность операций у Литлвуда определены однозначно. Поэтому никаких "способов" нет.

В.О. в сообщении #349813 писал(а):

Аналогией является группировка слагаемых в теореме Римана о сумме знакопеременного ряда.

Операции над множествами не аналогичны арифметическим. Последовательности множеств не аналогичны числовым рядам.

В.О. в сообщении #349813 писал(а):

Но можно группировать по другому, чем и занимаются участники темы.

Участники обсуждения занимаются, в основном, троллингом.

Всё это уже столько обсуждалось в темах "Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"", "В защиту Литлвуда" и "Шары, ангелы и чертенки снова", что все вновь появляющиеся обсуждения на эту тему следует закрывать немедленно. Тем более, что весь "парадокс" выеденного яйца не стоит, правильное решение было озвучено уже на первой странице первой из тем, и всё, что сейчас обсуждается в двух новых темах ("Задача о двух конвертах с геометрическим распределением", где, кстати, обсуждение задачи Литлвуда является злостным оффтопиком, и "По мотивам Литлвуда"), не является новым по сравнению с тремя старыми темами, в частности, и предел последовательности множеств, насколько я помню, тоже обсуждался.

[В.О.]

Someone в сообщении #349863 писал(а):

Понятие ряда для множеств просто не определено.


Никаких "частичных сумм" здесь нет, потому что нет ряда.

Замените слово "объединение " словом "сумма" множеств, слово "дополнение" словом "вычитание". Вот ряд и получится. Такую замену часто делают в книжках. Не понимаю, что вызвало такую реакцию.

Любую последовательность можно представить как последовательность частичных сумм некоторого ряда. К предыдущему члену последовательности нужно добавить разность между следующим и предыдущим членами. Прием тоже не мной придуман.

Вы очень подробно описали сходимость последовательности множеств в дискретной топологии, если не ошибаюсь. Но ведь возможны, в принципе, и другие виды сходимости?

Другое дело, что для подмножеств счетной последовательности, вероятно, возможна нетривиальная сходимость только к пустому множеству и ко всему множеству. Но это нужно доказывать.

[Andrey Lukyanov]

Andrey Lukyanov в сообщении #349579 писал(а):

Новая задача по тому же поводу, в двух вариантах.

Вариант 1

У нас есть коробка. В ней лежит шар, на котором написано «1». Имеется также бесконечный мешок, в котором находится бесконечное число шаров. Все шары в мешке, кроме одного, пронумерованы, начиная с 2. И на одном оставшемся шаре написано $\infty$ («бесконечность»).

За одну минуту до полудня шар из коробки выбрасывается, и на его место кладётся шар из мешка, обладающий наименьшим номером (среди тех, что в мешке). ($\infty$ считается наибольшим номером.) Вся операция занимает нулевой промежуток времени.

За 1/2 минуты до полудня операция повторяется.

За 1/3 минуты до полудня операция повторяется.

И т. д.

Что будет в коробке в полдень?

Вариант 2

У нас есть коробка. В ней лежит шар, на котором написано «1».

За одну минуту до полудня номер на шаре стирается, а вместо него пишется номер на единицу больше (при этом тот, кто пишет номера, умеет также рисовать значок $\infty$, и знает, что $\infty$ больше любого натурального числа). Вся операция занимает нулевой промежуток времени.

За 1/2 минуты до полудня операция повторяется.

За 1/3 минуты до полудня операция повторяется.

И т. д.

Что будет в коробке в полдень?

Существенно:

Эквивалентны ли эти 2 варианта задачи?

Раз никто не решил, придётся самому решить.

Правильный ответ в обоих вариантах: в коробке будет шар с нечитаемым номером.

Шар же с надписью $\infty$ так и останется неиспользованным.


А для исходной задачи Литлвуда (там, где вкладывается по 10 шаров, а выбрасывается по 1) правильный ответ будет: в коробке будет бесконечное количество шаров с нечитаемыми номерами.

Естественно, возникает вопрос: откуда возьмутся лишние шары? Очень просто. Если шары могут уходить в никуда (как в задаче с двумя магазинами), то почему бы им не прийти ниоткуда? За гранью бесконечности свои правила.

Кстати, в задаче с двумя магазинами второй магазин как раз будет заполнен шарами с нечитаемыми номерами, а исходные нумерованные шары уйдут в никуда.


Этот вариант решения хорош ещё тем, что одинаково хорошо работает и с нумерованными, и с ненумерованными шарами (если шары изначально были ненумерованные, то и потом будет всё то же самое).


В общем, каков вопрос — таков и ответ.

[a ^ a]

Someone в сообщении #349863 писал(а):

Ерунда, никакого ряда он не определяет. Он определяет последовательность множеств.

Будьте последовательны.
1).Для начала определите множество, когда происходят события(положил-вынул).
$S=\{1/n\}, n\in \mathbb{N}$;
2).По условию на каждом событии, множество помещенных в корзину шаров ($p$) и извлеченных ($i$) не эквивалентно:
$S_{true}=\{n \in S : p_n>i_n\}$ - подмножество множества событий $S$, когда условие выполнено.
Можно короче, по условию не существует события, когда множества помещенных и извлеченных шаров равны: $\forall n (n \in \mathbb{N} \to p_n \neq i_n)$;
Перед тем, как идти дальше, убедитесь, что подмножество $S_{false}$ множества событий $S$, когда условие нарушается: $S_{false}=\{n \in S : p_n \leqslant i_n\}= {\varnothing}$ пусто;
3).А теперь спокойно определяйте Вашу последовательность множеств (не забыв заменить $\mathbb{N}$ на $S$ и пронумеровать кучу подмножеств $S_{false}$ в предельном переходе).

Собственно, п.2 мы уже обсудили с epros в соседней теме:

a ^ a в сообщении #349368 писал(а):

По условию, шары разные, номера одни и теже.
Формально ($a,b$ - шары, $n$ - их номера): $n=n \to a_n=b_n$ - ложь, по условию.
Для того, чтобы понять, о каких шарах идет речь, их номеров не достаточно, по условию. Частный случай, когда все шары $a,b$, составляют множество $C$, с подмножествами : $A=\{a_n \in C | n \in \mathbb {N}\}, B=\{b_n \in C | n \in \mathbb{N}\}$, не позволяет сделать однозначный вывод о соотношении множеств $A,B,C$. Чего уж говорить об общем случае, когда шары $a,b $ не обязательно составляют множество.

[Someone]

В.О. в сообщении #349928 писал(а):

Замените слово "объединение " словом "сумма" множеств, слово "дополнение" словом "вычитание". Вот ряд и получится. Такую замену часто делают в книжках. Не понимаю, что вызвало такую реакцию.

"Вам шашечки или ехать"? Да, объединение множеств иногда называют суммой, пересечение - произведением. Операции "дополнение" в стандартной теории множеств нет, точнее, это некоторый специальный случай операции вычитания множеств (термин используется в достаточно специфических условиях). Но эта, с позволения сказать, "аналогия" не идёт дальше названий и обозначений. Никакой содержательной аналогии между теоретико-множественными и арифметическими операциями нет, просто некоторые их свойства при "арифметических" обозначениях записываются одинаково для множеств и для чисел (например, $A(B+C)=AB+AC$). Однако, например, равенство $(A-B)+B=A$ всегда верно для чисел и далеко не всегда верно для множеств. А именно его Вам нужно использовать, чтобы преобразовать последовательность множеств в "ряд". Замечу ещё, что преобразование числовой последовательности в ряд порой бывает очень полезным, так как для рядов есть множество признаков сходимости, в то время как для множеств понятие, "аналогичное" ряду, сводится к простой и гораздо более общей операции объединения семейства множеств.

В.О. в сообщении #349928 писал(а):

Любую последовательность можно представить как последовательность частичных сумм некоторого ряда. К предыдущему члену последовательности нужно добавить разность между следующим и предыдущим членами. Прием тоже не мной придуман.

Числовую последовательность - да. А в случае множеств ложная "аналогия" Вас подводит. Последовательность Литлвуда нельзя получить указанным Вами способом.

В.О. в сообщении #349928 писал(а):

Вы очень подробно описали сходимость последовательности множеств в дискретной топологии, если не ошибаюсь.

Вы могли бы заметить, что определение предела последовательности множеств не содержит упоминаний какой-либо топологии.

В.О. в сообщении #349928 писал(а):

Но ведь возможны, в принципе, и другие виды сходимости?

Возможны. Какое отношение они имеют к задаче Литлвуда? Задача сформулирована как задача теории множеств и решается средствами теории множеств. Придумывая всякие сходимости на множестве подмножеств натурального ряда, можно получить любой предел, какой захочется, поэтому это не интересно.

В.О. в сообщении #349928 писал(а):

Другое дело, что для подмножеств счетной последовательности, вероятно, возможна нетривиальная сходимость только к пустому множеству и ко всему множеству. Но это нужно доказывать.

Это чушь, поэтому доказывать этого не нужно.

Andrey Lukyanov в сообщении #349936 писал(а):

Правильный ответ в обоих вариантах: в коробке будет шар с нечитаемым номером.

Видите ли, во второй задаче действительно в коробке будет шар, раз уж мы его не вынимали, а номера на нём действительно никакого не будет, так как мы все номера стёрли. Но в первой-то задаче вообще не было "шара с нечитаемым номером". Откуда он взялся?

Andrey Lukyanov в сообщении #349936 писал(а):

Кстати, в задаче с двумя магазинами второй магазин как раз будет заполнен шарами с нечитаемыми номерами

Тот же вопрос: откуда взялись щары с нечитаемыми номерами, если по условию задачи таких шаров не было?

Andrey Lukyanov в сообщении #349936 писал(а):

Естественно, возникает вопрос: откуда возьмутся лишние шары? Очень просто. Если шары могут уходить в никуда (как в задаче с двумя магазинами), то почему бы им не прийти ниоткуда? За гранью бесконечности свои правила.

Извините, но это настолько глупо, что даже не смешно.

Теперь скажите, что Вы пошутили, а я не понял юмора.

a ^ a в сообщении #349956 писал(а):

Будьте последовательны.
...

Какое отношение Ваши идиотствования имеют к обсуждаемой задаче? Почти всем и так ясно, что Вы занимаетесь троллингом.

[a ^ a]

Someone в сообщении #349960 писал(а):

Какое отношение Ваши идиотствования имеют к обсуждаемой задаче? Почти всем и так ясно, что Вы занимаетесь троллингом.

Я обсуждаю условия задачи, а не Ваши условия ее обсуждения.

[Jnrty]

a ^ a в сообщении #349965 писал(а):

Я обсуждаю условия задачи, а не Ваши условия ее обсуждения.

Вам уже объясняли, что Ваши рассуждения об одинаковых и разных шарах не имеют отношения к обсуждаемой задаче. Если в условии задачи сказано, что шары разные - значит они разные. Весь смысл слова "разные" состоит в том, что шары можно отличить друг от друга. Если сказано, что на разных шарах написаны разные номера, значит так и есть. Всё. При этом шары не обязаны быть множествами, в теории множеств эти шары могут рассматриваться как атомы.
Игнорирование объяснений и повторение одного и того же рассматривается как троллинг.

Jnrty:

Посему - предупреждение за троллинг.
Поскольку количество глупостей, сказанных по поводу задачи Литлвуда в четырёх темах (включая текущую), давно превысило разумные пределы, эту тему также закрываю.