Задача о двух конвертах с геометрическим распределением

[epros]

Andrey Lukyanov в сообщении #348192 писал(а):

Тогда ясно, что можно просто всегда менять конверты. С вероятностью 1/4 мы будем находить в 1-м конверте 100 рублей и менять их на 200, а в остальных 3/4 случаев мы будем (в среднем) оставаться при своих. Следовательно, всегда обменивая конверты, мы будем дополнительно получать в среднем 25 рублей за игру.

Я предлагаю такое решение парадокса: Вы некорректно подсчитали среднее (25 рублей за игру). Ибо то, что "в остальных 3/4 случаев мы будем (в среднем) оставаться при своих", в реальности неосуществимо: Матожидание суммы, которую казино должно положить в конверты, бесконечно, а это означает, что есть реальный шанс того, что казино будет вынуждено нарушить условия игры (генератор случайных чисел скажет им, что они должны положить миллиард, а они подумают: "Ну, на фиг", - и положат меньшую сумму).

[Andrey Lukyanov]

epros в сообщении #348646 писал(а):

Я предлагаю такое решение парадокса: Вы некорректно подсчитали среднее (25 рублей за игру). Ибо то, что "в остальных 3/4 случаев мы будем (в среднем) оставаться при своих", в реальности неосуществимо: Матожидание суммы, которую казино должно положить в конверты, бесконечно, а это означает, что есть реальный шанс того, что казино будет вынуждено нарушить условия игры (генератор случайных чисел скажет им, что они должны положить миллиард, а они подумают: "Ну, на фиг", - и положат меньшую сумму).

А зачем нам казино? Можно всё эмулировать в компьютере (ну или на бумажке, если так больше нравится). Нам ведь не нужно что-то реально выигрывать, нам надо разобраться с парадоксом.

[epros]

Andrey Lukyanov в сообщении #348765 писал(а):

А зачем нам казино? Можно всё эмулировать в компьютере (ну или на бумажке, если так больше нравится). Нам ведь не нужно что-то реально выигрывать, нам надо разобраться с парадоксом.

Ну так компьютере на каких-то суммах тоже может произойти overflow. В этом вся и фишка. Если Вы рассматриваете задачу с ограниченными суммами в конвертах, то получаете нулевое матожидание выигрыша "стратегии выбора второго" сравнительно со случайным выбором.

[Лукомор]

Andrey Lukyanov в сообщении #348629 писал(а):

Не пишите ерунду. Такого варианта в условии нет.

Читаем условие внимательно:

Andrey Lukyanov в сообщении #348192 писал(а):

Предположим, что мы увидели в одном из конвертов x рублей. Тогда в другом может быть 0,5x или 2x руб.

[Andrey Lukyanov]

epros в сообщении #348796 писал(а):

Ну так компьютере на каких-то суммах тоже может произойти overflow. В этом вся и фишка. Если Вы рассматриваете задачу с ограниченными суммами в конвертах, то получаете нулевое матожидание выигрыша "стратегии выбора второго" сравнительно со случайным выбором.

Пусть у нас будет компьютер с бесконечной разрядностью и бесконечной памятью. У нас ведь не физическая задача, а математическая.

Лукомор в сообщении #348797 писал(а):

Читаем условие внимательно:

Читайте ещё внимательнее — особенно там, где задаётся распределение.

-- Ср сен 01, 2010 10:08:10 --

Можно ещё так объяснить:

С «обычными» распределениями дело обстоит следующим образом: чем больше игр мы проводим, тем больше всё усредняется. С нашим же распределением наоборот: чем больше игр мы проводим, тем больше флуктуации среднего значения по серии игр.

Представим себе, что у нас два игрока. Им каждый раз выдаются одинаковые пары конвертов, они выбирают в качестве «первого» один и тот же конверт, но один всегда меняет конверты, а другой никогда не меняет. Разница их выигрышей будет постоянно прыгать туда-сюда, и чем дальше, тем больше. Даже если тут и существует теоретическая разница в 25 рублей на игру, на фоне этих бесконечно растущих скачков заметить эту разницу невозможно в принципе.

Иначе говоря: всякие «средние выигрыши» имеет смысл высчитывать только там, где есть тенденция к усреднению. Здесь её нет.

[epros]

Andrey Lukyanov в сообщении #348802 писал(а):

epros в сообщении #348796 писал(а):

Ну так компьютере на каких-то суммах тоже может произойти overflow. В этом вся и фишка. Если Вы рассматриваете задачу с ограниченными суммами в конвертах, то получаете нулевое матожидание выигрыша "стратегии выбора второго" сравнительно со случайным выбором.

Пусть у нас будет компьютер с бесконечной разрядностью и бесконечной памятью. У нас ведь не физическая задача, а математическая.

Если Вы рассматриваете задачу исключительно как игру ума, не нуждающуюся в практических приложениях, то Вас не должны удивлять такие странности, как преимущество стратегии выбора второго конверта.

Знаете что мне напомнила эта задача? Задачу про бесконечную коробку, в которую на каждом шаге ангел кладёт 10 шаров с последовательными номерами (1-10, потом 11-20, потом 21-30...), а чёртик сразу после этого вынимает один шар с очередным номером (1, потом 2, потом 3...). Первый шаг делается за час до полудня, второй - за полчаса, третий за 1/3 часа, четвёртый - за 1/4 и т.д. Вопрос заключается в том, что будет находиться в коробке в полдень. Логически правильный ответ таков: коробка будет пуста. Он не кажется Вам не менее странным, чем ответ в Вашей вероятностной задаче?

-- Ср сен 01, 2010 10:23:10 --

Andrey Lukyanov в сообщении #348802 писал(а):

Иначе говоря: всякие «средние выигрыши» имеет смысл высчитывать только там, где есть тенденция к усреднению. Здесь её нет.

Да, верно. Закон больших чисел в задаче с расходящимися матожиданиями не работает.

[Andrey Lukyanov]

epros в сообщении #348805 писал(а):

Если Вы рассматриваете задачу исключительно как игру ума, не нуждающуюся в практических приложениях {skip}

Число $10^{10^{10}}$ — тоже лишь игра ума, поскольку в реальном мире такого числа нет. Тем не менее в математике это обычное натуральное число, ничем не хуже, чем 55 или 1089.

epros в сообщении #348805 писал(а):

Знаете что мне напомнила эта задача? Задачу про бесконечную коробку, в которую на каждом шаге ангел кладёт 10 шаров {skip}

То, что в математике существует много парадоксов, связанных с бесконечностью — ни для кого не секрет. Как эти шарики помогают разобраться именно с нашей задачей?

[epros]

Andrey Lukyanov в сообщении #348830 писал(а):

То, что в математике существует много парадоксов, связанных с бесконечностью — ни для кого не секрет. Как эти шарики помогают разобраться именно с нашей задачей?

Я бы сказал так: Если Вы ограничите допустимую сумму, которая может быть в конвертах, то Вы получите нулевое матожидание выигрыша того, кто берёт второй конверт, сравнительно с тем, кто берёт первый конверт. Точно так же, если Вы ограничите размер коробки, то процесс остановится на её переполнении, а не на том, что она окажется пуста. Но если мы не хотим исключать из задачи бесконечности, то должны быть готовы к совершенно иным, довольно странным результатам, ибо задачи (в обоих случаях) были намеренно сформулированы таким образом, чтобы получить такой результат.

Вы ведь специально сформулировали условия таким образом, что "в остальных 3/4 случаев мы будем (в среднем) оставаться при своих". Исходя из такого условия (в реальной жизни неосуществимого), Вы логически безупречным образом придёте к выводу, что берущий всегда 2-ой конверт в четверти случаев получит выигрыш в 100 рублей, т.е. в среднем по 25 рублей на ход. Каково условие, таков и вывод, нечему удивляться. Точно так же и в задаче с шарами: условие намеренно сформулировано таким образом, что всё положенное будет вынуто (хотя в реальной жизни такой процесс неосуществим).

[Andrey Lukyanov]

epros в сообщении #348837 писал(а):

Я бы сказал так: Если Вы ограничите допустимую сумму, которая может быть в конвертах, то {skip}

Если мы ограничим сумму, то это будет уже другое распределение, отличное от заданного. То есть это будет другая задача. Какой нам в этом интерес?

Нам ничто не мешает провести, скажем, серию из 100 игр (пусть даже только в компьютере). Теория должна объяснить, почему игрок, всегда меняющий конверты, не получит свои дополнительные 2500 рублей.

epros в сообщении #348837 писал(а):

{skip} Точно так же и в задаче с шарами: условие намеренно сформулировано таким образом, что всё положенное будет вынуто (хотя в реальной жизни такой процесс неосуществим).

Если Вы думаете, что всё будет вынуто, попробуйте сделать небольшую модификацию задачи с шарами:

Пусть вначале в коробке лежит только один шар, на котором написано "1". На очередном шаге ангел стирает старый номер, и пишет номер на единицу больше. Сколько в коробке будет шаров в полдень, и если их будет больше нуля, какие на них будут написаны номера?

Вот это действительно крутой парадокс.

[Лукомор]

Andrey Lukyanov в сообщении #348865 писал(а):

Если мы ограничим сумму, то это будет уже другое распределение, отличное от заданного. То есть это будет другая задача. Какой нам в этом интерес?

Вы ограничили уже минимальную сумму в конверте, и выбрали распределение отличное от исходной задачи.
Никакого интереса нам от этого нет.
Минимальная сумма в конверте практически не влияет на результат.
Вот если вы будете знать максимально возможную сумму, то будете выигрывать по крупному, не меняя конверт с максимальным выигрышем.
При этом будет уже всё равно, меняете вы конверты, или не меняете, в остальных случаях.

[venco]

Andrey Lukyanov в сообщении #348865 писал(а):

Если мы ограничим сумму, то это будет уже другое распределение, отличное от заданного.

Если сумму не ограничивать, то Ваш "парадокс" сводится к формуле $\infty+25=\infty$, совершенно естественной для бесконечности.

[epros]

Andrey Lukyanov в сообщении #348865 писал(а):

Если мы ограничим сумму, то это будет уже другое распределение, отличное от заданного. То есть это будет другая задача. Какой нам в этом интерес?

Приблизимся к реальности. Получим постановку задачи, решение которой верифицируемо на практике.

Цитата:

Нам ничто не мешает провести, скажем, серию из 100 игр (пусть даже только в компьютере). Теория должна объяснить, почему игрок, всегда меняющий конверты, не получит свои дополнительные 2500 рублей.

Вы уже сами заметили, что в такой постановке задачи закон больших чисел не работает, т.е. среднее арифметическое по серии испытаний не сходится к матожиданию. Поэтому ожидания игроком лишних 2500 рублей на практике никоим образом верифицированы быть не могут.

Вас эти ожидания лишних 2500 рублей почему-то удивляют, но ведь согласно условиям этой же задачи этот же игрок должен ожидать, что за эти 100 испытаний через его руки пройдут бесконечные суммы денег. Понятное дело, это не имеет никакого отношения к реальности. Вас это не удивляет?

Andrey Lukyanov в сообщении #348865 писал(а):

Если Вы думаете, что всё будет вынуто, попробуйте сделать небольшую модификацию задачи с шарами:

Это вы к чему?

[Andrey Lukyanov]

Собственно, парадокс уже разобран, все всё поняли (кроме Лукомора, который так и не прочитал условие задачи). Дальше обсуждать особо нечего.

epros в сообщении #348880 писал(а):

Это вы к чему?

Если Вы решите задачу с одним шариком, то сразу станет ясно, как решать задачу с десятью.

Jnrty:

Продолжение дискуссии по поводу задачи Литлвуда, как не имеющее отношения к задаче о двух конвертах, перенесено в тему "По мотивам Литлвуда".
Прошу всех участников обсуждения воздерживаться от offtopicа.

[Лукомор]

Andrey Lukyanov в сообщении #348881 писал(а):

кроме Лукомора, который так и не прочитал условие задачи

"А чё сразу Лукомор?" (с) Лукомор.
Ведь совершенно ясно, что Вы рассматриваете другую задачу, поэтому естественно, что оптимальная стратегия игрока будет другая.
Я бы, например, на месте игрока, менял конверты с нечётными суммами денег в них, и не менял - с чётными.

[Лукомор]

Andrey Lukyanov в сообщении #348192 писал(а):

Если же в 1-м конверте мы увидели 200 рублей или больше, то тогда вероятность уполовинить сумму при обмене равна 2/3, а вероятность удвоить равна 1/3, так что в среднем при обмене мы ничего не теряем и ничего не приобретаем.

Это неверное утверждение...