2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 19  След.
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 19:35 
Аватара пользователя


29/01/09
390
vek88 в сообщении #303132 писал(а):
А учить это я не могу по простой причине - этого нет в учебниках. Или Вы покажете такой учебник?

ПМСМ Вы слишком категоричны. Разумеется материал который Вы изложили имеется в учебниках. Новым у Вас является то, что Вы попытались построить кл. механику не применяя лагранжев подход. Для кв. механики всё это известно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 19:52 


15/10/09
1344
В. Войтик в сообщении #303267 писал(а):
vek88 в сообщении #303132 писал(а):
А учить это я не могу по простой причине - этого нет в учебниках. Или Вы покажете такой учебник?
ПМСМ Вы слишком категоричны. Разумеется материал который Вы изложили имеется в учебниках. Новым у Вас является то, что Вы попытались построить кл. механику не применяя лагранжев подход. Для кв. механики всё это известно...
Уважаемый В. Войтик!

ИМХО Вы не точны. Хотя бы в том, что нового в изложенном мной вообще ничего нет с точки зрения известно/не известно в науке. И я предупреждал об этом в самом начале. А вот с точки зрения методики преподавания - я такого в учебной литературе не видел. Об этом я тоже сказал в самом начале темы. А в цитируемом Вами сообщении просил предъявить учебник.

С учетом сказанного, будьте добры дать ссылку на учебник, хотя бы по квантам, где гамильтониан выводится из Галилей- или Пуанкаре-инвариантности.

С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 20:01 
Заслуженный участник


13/12/05
4065
Я попробую подойти к выводу классической механики из Галилеевой инвариантности таким бесхитростным путем:
Найти наиболее общее дифференциальное уравнение второго порядка вида
$$
\mathbf{x}''=\mathbf F(\mathbf x,\mathbf x',t),\eqno (1)
$$
где $\mathbf x=(x_1,y_1,z_1,\ldots,x_n,y_n,z_n)$, которое не изменяет свой вид при преобразованиях Галилея.

Рассмотрим расширенной фазовое пространство $\widetilde S=\{(x_1,y_1,z_1,\ldots\,x_n,y_n,z_n,t)\}$, пополненное временем.

В этом пространстве действует группа преобразования, являющеяся представлением группы Галилея.
Генераторы имеют вид
$$
P_1=\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i},\; P_2=\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial y_i},\; P_3=\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial z_i}
$$
$$
T=\frac{\partial}{\partial t}
$$
$$
X_1=\sum_{i=1}^n t\frac{\partial}{\partial x_i},\; X_2=\sum_{i=1}^n t\frac{\partial}{\partial y_i},\; X_3=\sum_{i=1}^n t\frac{\partial}{\partial z_i}
$$
$$
J_1=\sum_{i=1}^n -z_i\frac{\partial}{\partial y_i}+y_i\frac{\partial}{\partial z_i},\; J_2=\sum_{i=1}^n -z_i\frac{\partial}{\partial x_i}+x_i\frac{\partial}{\partial z_i},\; J_3=\sum_{i=1}^n -y_i\frac{\partial}{\partial x_i}+x_i\frac{\partial}{\partial y_i}
$$
Таким образом, преобразования, порожденные этими операторами, означают сдвиги и повороты системы как целого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 20:08 


15/10/09
1344
Уважаемый myhand!

Понимаю Ваше желание увидеть модель неупругих столкновений точечных частиц в классической механике. Я бы тоже хотел посмотреть на такую.

Однако ИМХО Вы как-то неудачно преподнесли свое желание под лозунгом проверки закона сохранения массы. Вы бы сразу сказали, че хотите. Я бы Вас быстрей понял и не упирался бы рогом.

Итак, мне не известна Галилей (или Пуанкаре) инвариантная модель неупругих столкновений неквантовых точечных частиц. Сильно подозреваю, что такая не существует в природе.

Что делают физики для описания такой модели. Берут не точечные тела. Например, для упругих столкновений берут "стальные" шарики. При этом, если речь идет об имитации точечных частиц, не вникают в конкретную динамику самого процесса столкновения. А дальше логика понятна - берем законы сохранения энергии и имульса (масса сохраняется само собой) - и приравниваем энергию и импульс до и после. Например, таким образом мы заключаем, что после столкновения идеального стального шара с в покоящимся идеальным (вращение и трение не учитываем) они разлетаются под прямым углом (если не ошибаюсь).

То же самое делаем и с неупругим столкновением. Разумеется, масса снова сохраняется.

Вот все, что могу сказать по этому поводу.

С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 20:33 
Аватара пользователя


29/01/09
390
vek88 в сообщении #303276 писал(а):

ИМХО Вы не точны. Хотя бы в том, что нового в изложенном мной вообще ничего нет с точки зрения известно/не известно в науке. И я предупреждал об этом в самом начале.

Значит я Вас неверно понял.
Цитата:
А вот с точки зрения методики преподавания - я такого в учебной литературе не видел. Об этом я тоже сказал в самом начале темы. А в цитируемом Вами сообщении просил предъявить учебник.
С учетом сказанного, будьте добры дать ссылку на учебник, хотя бы по квантам, где гамильтониан выводится из Галилей- или Пуанкаре-инвариантности.

Я такого учебника по квантовой механике не знаю... По классической механике есть одноимённый учебник Голдстейна, который даёт набросок построения классической механики из канонических преобразований. Правда вывода гамильтониана свободной частицы и у него нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 20:53 
Заслуженный участник


13/12/05
4065
Для начала, конечно, рассмотрим случай одной частицы: $n=1$.
Чтобы записать условие инвариантности уравнения $(1)$ потребуется небольшое теоретическое введение.
Пусть в пространстве $\widetilde S =\{(x,y,z,t)\}$ действует однопараметрическая группа преобразований $G$
$$
\widetilde x=f(x,y,z,t;a),\; \widetilde y=g(x,y,z,t;a),\; \widetilde z=h(x,y,z,t;a),\; \widetilde t=k(x,y,z,t;a),
$$
где $a$ -- групповой параметр.

Наряду с исходным пространством $\widetilde S$ я хочу ввести первое продолженное пространство $\widetilde S_1=\{(x,y,z,x',y',z',t)\}$, элементы которого - это линейные ростки функции $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$. Я хочу продолжить действие группы $G$ c $\widetilde S$ на $\widetilde S_1$, получив таким образом первую продолженную группу $G_1$, действующую как
$$
\widetilde x=f(x,y,z,t;a),\; \widetilde y=g(x,y,z,t;a),\; \widetilde z=h(x,y,z,t;a),\; \widetilde t=k(x,y,z,t;a)\eqno (2)
$$
$$
\widetilde {x'}=f_1(x,y,z,x',y',z', t;a),\; \widetilde {y'}=g_1(x,y,z,x',y',z',t;a),\; \widetilde {z'}=h_1(x,y,z,x',y',z',t;a)\eqno (2')
$$
Функции $f_1,g_1,h_1$ подбираются так, чтобы равенства $dx=x'dt, dy=y'dt, dz=z'dt$ при подстановке в них вместо $x,y,z,t$ преобразованных значений $\widetilde x,\widetilde y,\widetilde z,\widetilde t$ сохранились. Таким образом, росток функции $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ должен перейти в росткок функции $\widetilde x=\widetilde x(\widetilde t), \widetilde y=\widetilde y(\widetilde t), \widetilde z=\widetilde z(\widetilde t)$.
Например, найдем $f_1$
Имеем $d\widetilde x=\widetilde {x'}d\widetilde t$. Подставляя сюда $(2)$, получим $df=f_1dk$, или $\left(f_xx'+f_yy'+f_zz'+f_t\right)dt=f_1\left(k_xx'+k_yy'+k_zz'+k_t\right)dt$, т.е.
$$
f_1=\dfrac{f_xx'+f_yy'+f_zz'+f_t}{k_xx'+k_yy'+k_zz'+k_t}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 20:57 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #303285 писал(а):
Понимаю Ваше желание увидеть модель неупругих столкновений точечных частиц в классической механике. Я бы тоже хотел посмотреть на такую.

Однако ИМХО Вы как-то неудачно преподнесли свое желание под лозунгом проверки закона сохранения массы. Вы бы сразу сказали, че хотите. Я бы Вас быстрей понял и не упирался бы рогом.


А почему неудачно? Разве распад частицы на две - не простейший процесс, на примере которого в релятивистском случае имеет смысл говорить о "несохранении массы"?

vek88 в сообщении #303285 писал(а):
А дальше логика понятна - берем законы сохранения энергии и имульса (масса сохраняется само собой) - и приравниваем энергию и импульс до и после. Например, таким образом мы заключаем, что после столкновения идеального стального шара с в покоящимся идеальным (вращение и трение не учитываем) они разлетаются под прямым углом (если не ошибаюсь).

То же самое делаем и с неупругим столкновением. Разумеется, масса снова сохраняется.


Число шариков не меняется - так что это неинтересно. Вот "логика" менее понятна, когда число шариков меняется. Пример я привел выше, но вы в упор его не замечаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 21:33 


15/10/09
1344
myhand в сообщении #303319 писал(а):
(1) А почему неудачно? Разве распад частицы на две - не простейший процесс, на примере которого в релятивистском случае имеет смысл говорить о "несохранении массы"?

(2) Число шариков не меняется - так что это неинтересно. Вот "логика" менее понятна, когда число шариков меняется. Пример я привел выше, но вы в упор его не замечаете.
Уважаемый myhand!

1. Причем здесь релятивистский случай? Я ведь изначально заварил эту кашу, чтобы пресечь инсинуации на тему несохранения массы в классической механике.

2. Повторяю: предъявите Ваше фазовое пространство - тогда и будем посмотреть дальше.

А сейчас я с большей пользой займусь рассмотрением новых постов уважаемго Padawan, где рассматривается очень интересное представление группы Галилея.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 23:20 
Заслуженный участник


13/12/05
4065
В соответствие с общими установками от vek88, нас интересует не столько сама группа $G$, сколько её генератор $X$, и аналогично не столько продолженная группа $G_1$, сколько её генератор $X_1$. Генератор $X_1$ продолженной группы $G_1$ называется первым продолжением оператора $X$. Покажем, как его вычислять.
Пусть
$$X=\xi\dfrac{\partial}{\partial x}+\eta\dfrac{\partial}{\partial y}+\zeta\dfrac{\partial}{\partial z}+\tau\dfrac{\partial}{\partial t},\eqno (3)$$ где $\xi,\eta,\zeta,\tau$ -- функции от $x,y,z,t$.
Продолженный оператор будет иметь вид
$$X_1=X+\xi_1\dfrac{\partial}{\partial x'}+\eta_1\dfrac{\partial}{\partial y'}+\zeta_1\dfrac{\partial}{\partial z'},\eqno (3')$$
где $\xi_1,\eta_1,\zeta_1$ уже будут функциями от $x,y,z,t,x',y',z'$.

Продифференцируем равенство $df=f_1dk$ по параметру $a$ в точке $a=0$. Учитывая, что $k\mid_{a=0}=t,\; f_1\mid_{a=0}=x'$, получим $D\xi=\xi_1+x'D\tau$, т.е.
$$
\xi_1=D\xi-x'D\tau,
$$
где $D\xi=\xi_xx'+\xi_yy'+\xi_zz'+\xi_t$ -- полная производная по $t$.
Аналогично получаются и другие формулы продолжения для коэффициентов продолженного оператора $X_1$. Запишем их все вместе:
$$
\xi_1=D\xi-x'D\tau,\; \eta_1=D\eta-y'D\tau,\; \zeta_1=D\zeta-z'D\tau \eqno (4)
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение28.03.2010, 08:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4065
Найдем продолжения операторов из нашей галилеевой алгебры (напомню, что у нас пока $n=1$) .
$$J_1=-z\dfrac{\partial}{\partial y}+y\dfrac{\partial}{\partial z}=0\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}-z\dfrac{\partial}{\partial y}+y\dfrac{\partial}{\partial z}+0\cdot\dfrac{\partial}{\partial t},$$
т.е. здесь $\xi=0,\;\eta=-z,\;\zeta=y,\;\tau=0$. По формулам продолжения $(4)$ находим
$$\xi_1=0,\; \eta_1=-z',\;\zeta_1=y'$$
Такми образом, первое продолжение оператора $J_1$ равно
$$J_1^{(1)}=J_1-z'\frac{\partial}{\partial y'}+y'\frac{\partial}{\partial z'}$$

Едем дальше, $X_1=t\dfrac{\partial}{\partial x}$. Здесь $\xi=t,\;\eta=\zeta=\tau=0$. По формулам продолжения находим $\xi_1=1,\; \eta_1=\zeta_1=0$ и
$$
X_1^{(1)}=X_1+\frac{\partial}{\partial x'}
$$
У операторов $P_1,P_2,P_3, T$ коэффициенты являются константами, поэтому их продолжения равны им самим (см. формулы продолжения).

Итак, запишем все продолженный операторы вместе
$$
P_1^{(1)}=P_1,\;\; P_2^{(1)}=P_2,\;\; P_3^{(1)}=P_3 ,\;\; T^{(1)}=T 
$$
$$
X_1^{(1)}=X_1+\frac{\partial}{\partial x'},\;\; X_2^{(1)}=X_2+\frac{\partial}{\partial y'},\;\; X_3^{(1)}=X_3+\frac{\partial}{\partial z'} \eqno (5)
$$
$$
J_1^{(1)}=J_1-z'\frac{\partial}{\partial y'}+y'\frac{\partial}{\partial z'},\;\; J_2^{(1)}=J_2-z'\frac{\partial}{\partial x'}+x'\frac{\partial}{\partial z'},\;\; J_3^{(1)}=J_3-y'\frac{\partial}{\partial x'}+x'\frac{\partial}{\partial y'}
$$

Заметим, что операция продолжения векторных полей является линейной (формулы продолжения линейны относительно коэффициентов $\xi,\eta,\zeta,\tau$ оператора) и сохраняет коммутаторы, т.е. $[X,Y]_1=[X_1,Y_1]$ -- продолжение коммутатора равно коммутатору продолжений. В последнее свойство придется поверить на слово, потому что я забыл как оно доказывается по-простому, из свойств коммутатора, а "в лоб" получаются слишком длинные вычисления. Но если не верится, можно взять и посчитать коммутаторы операторов $(5)$ и убедиться, что они равны коммутаторам исходных операторов. Эти два свойства показывают, что операция продолжения векторных полей является изоморфизмом алгебр Ли, а значит, и групп Ли.
Таким образом, продолженная группа также является представлением группы Галилея, но уже в продолженном пространстве.


Так как дифференциальное уравнение $(1)$ является уравнением второго порядка, то нам потребуется второе продолжение группы $G$, которое мы обозначим $G_2$. Группа $G_2$ действует во втором продолженном пространстве $\widetilde S_2=\{(x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'')\}$. Элементами этого пространства являются квадратичные ростки функции $x=x(t),\; y=y(t),\; z=z(t)$.
Действие группы $G_2$ описывается уравнениями $(2)$, $(2')$ из сообщения #303316 и
$$
\widetilde {x''}=f_2(x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'', t;a),\; \widetilde {y''}=g_2(x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'',t;a),\; \widetilde {z''}=h_2(x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'',t;a)\eqno (2'')
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение28.03.2010, 09:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4065
При этом функции $f_2,\; g_2,\; h_2$ подбираются так, чтобы равенство $dx'=x''dt$ (и ему подобные) сохранилось при переходе к преобразованным переменным $\widetilde x, \widetilde t$, т.е. чтобы было $d\widetilde {x'}=\widetilde {x''}d\widetilde t$.

Если, $X_2=X_1+\xi_2\dfrac{\partial}{\partial x''}+\eta_2\dfrac{\partial}{\partial y''}+\zeta_2\dfrac{\partial}{\partial z''}$ -- второе продолжение оператора $X$ (он же генератор группы $G_2$), то поступая как выше, для его коэффициентов найдем такие формулы
$$
\xi_2=D\xi_1-x''D\tau,\; \eta_2=D\eta_1-y''D\tau,\; \zeta_2=D\zeta_1-z''D\tau \eqno (6)
$$
Здесь $\xi_2,\; \eta_2,\; \zeta_2$ -- функции от переменных $x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'',t$.

Запишем вторые продолженные операторы, вычисленные по формулам $(6)$
$$
P_1^{(2)}=P_1,\;\; P_2^{(2)}=P_2,\;\; P_3^{(2)}=P_3 ,\;\; T^{(2)}=T 
$$
$$
X_1^{(2)}=X_1^{(1)},\;\; X_2^{(2)}=X_2^{(1)},\;\; X_3^{(2)}=X_3^{(1)} \eqno (7)
$$
$$
J_1^{(2)}=J_1^{(1)}-z''\frac{\partial}{\partial y''}+y''\frac{\partial}{\partial z''},\;\; J_2^{(2)}=J_2^{(1)}-z''\frac{\partial}{\partial x''}+x''\frac{\partial}{\partial z''},\;\; J_3^{(2)}=J_3^{(1)}-y''\frac{\partial}{\partial x''}+x''\frac{\partial}{\partial y''}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение28.03.2010, 10:47 
Заслуженный участник


13/12/05
4065
Система дифференциальных уравнений $(1)$, в которой переменные $x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'',t$ считаются независимыми, задает некоторую многомерную поверхность $E$ в $10$-мерном втором продолженном пространстве $\widetilde S_2=\{(x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'',t)\}$.

Вопрос. Какова размерность поверхности $E$ а) в случае $n=1$ б) в случае произвольного $n$ ?

Инвариантность уравнения $(1)$ означает, что поверхность $E$ инвариантна относительно действия группы $G_2$. Т.е. преобразования группы $G_2$ переводят $E$ в себя.

А это равносильно тому, что векторные поля-генераторы $G_2$ должны касаться поверхности $E$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение28.03.2010, 12:17 
Заслуженный участник


13/12/05
4065
Запишу систему $(1)$ в развернутом виде
$$
\left\{ \begin{array}{l}
x''=F_1(x,y,z,x',y',z',t)\\
y'' = F_2(x,y,z,x',y',z',t)\\
z'' = F_3(x,y,z,x',y',z',t)
\end{array} \right.
$$
удобнее все перенести в одну сторону
$$
\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x,y,z,x',y',z',t)-x''=0\\
F_2(x,y,z,x',y',z',t)-y''=0\\
F_3(x,y,z,x',y',z',t)-z''=0
\end{array} \right.
$$

Теперь записываю условие касания векторов $(7)$ этой поверхности $E$.
$P_1^{(2)},\;\; P_2^{(2)},\;\; P_3^{(2)},\;\; T^{(2)}$:
$$\frac{\partial}{\partial x} \left (F_1-x''\right)=0,\; \frac{\partial}{\partial y} \left (F_1-x''\right)=0,\; \frac{\partial}{\partial z} \left (F_1-x''\right)=0,\; \frac{\partial}{\partial t} \left (F_1-x''\right)=0$$
$$
\frac{\partial}{\partial x} \left (F_2-y''\right)=0,\; \frac{\partial}{\partial y} \left (F_2-y''\right)=0,\; \frac{\partial}{\partial z} \left (F_2-y''\right)=0,\; \frac{\partial}{\partial t} \left (F_2-y''\right)=0$$
$$
\frac{\partial}{\partial x} \left (F_3-z''\right)=0,\; \frac{\partial}{\partial y} \left (F_3-z''\right)=0,\; \frac{\partial}{\partial z} \left (F_3-z''\right)=0,\; \frac{\partial}{\partial t} \left (F_3-z''\right)=0$$
Напомню, что переменные $x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'',t$ мы считаем независимыми. Поэтому из выписанных уравнений получается, что функции $F_1,\; F_2,\; F_3$ не зависят от $x,y,z,t$.

Едем дальше.
$X_1^{(2)},\; X_2^{(2)},\; X_3^{(2)}$ (сразу кое-что упрощаю):
$$
\frac{\partial F_i}{\partial x'}=0,\;\; \frac{\partial F_i}{\partial y'}=0,\;\; \frac{\partial F_i}{\partial z'}=0,\quad i=1,2,3
$$
Значит, функции $F_1,\; F_2,\; F_3$ не могу зависеть и от скоростей $x',y',z'$, т.е. являются некоторыми константами.

-- Вс мар 28, 2010 12:59:21 --

Наконец, рассмотрим операторы пространственных вращений
$J_1^{(2)},\; J_2^{(2)},\; J_3^{(2)}$ (упрощаю с учетом предыдущего, и не выписываю $0=0$):
$$J_2^{(2)}(F_1-x'')=z'',\; J_3^{(2)} (F_1-x'')=y''$$
$$J_1^{(2)}(F_2-y'')=z'',\; J_3^{(2)} (F_2-y'')=-x''$$
$$J_1^{(2)}(F_3-z'')=-y'',\; J_2^{(2)} (F_3-z'')=-x''$$
(со знаками мог ошибиться, но это не принципиально)

На поверхности $E$ эти величины должны обращаться в нуль в силу условия касания, так что окончательно, уравнения поверхности $E$ $\equiv$ уравнения движения $(1)$ имеют вид
$$
\left\{ \begin{array}{l}
x'' = 0\\
y'' = 0\\
z'' = 0
\end{array} \right.
$$
Получили первый закон Ньютона - свободная материальная точка в ИСО движется прямолинейно и равномерно.

Дальше рассмотрим случай двух точек $n=2$ и, я надеюсь, получится вывести второй и третий законы Ньютона, а заодно и показать, как из галилеевой инвариантности естественно возникает понятие массы материальной точки.
Жду ваших комментариев.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение28.03.2010, 14:22 
Заслуженный участник


13/12/05
4065
Перехожу к случаю $n=2$. Надо ввести более краткие обозначения для координат.
$\alpha$-ую координату $i$-ой частицы обозначим $x_i^\alpha$, $\alpha=1,2,3$, $i=1,\ldots,n$.

Уравнения $(1)$ имеют вид
$${x_i^\alpha}''=F_i^\alpha(\mathbf{x},t),$$
где $\mathbf x$ - совокупность всех координат всех частиц.

Продолженные операторы, будут иметь вид
Первое продолжение:
$$
P_1^{(1)}=P_1,\;\; P_2^{(1)}=P_2,\;\; P_3^{(1)}=P_3 ,\;\; T^{(1)}=T 
$$
$$
X_1^{(1)}=X_1+\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i^1'},\;\; X_2^{(1)}=X_2+\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i^2'},\;\; X_3^{(1)}=X_3+\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i^3'} \eqno (5n)
$$
$$
J_1^{(1)}=J_1+\sum\limits_{i=1}^n-x_i^3'\frac{\partial}{\partial x_i^2'}+x_i^2'\frac{\partial}{\partial x_i^3'},\;\; J_2^{(1)}=J_2+\sum\limits_{i=1}^n-x_i^3'\frac{\partial}{\partial x_i^1'}+x_i^1'\frac{\partial}{\partial x_i^3'},\;\; J_3^{(1)}=J_3+\sum\limits_{i=1}^n-x_i^2'\frac{\partial}{\partial x_i^1'}+x_i^1'\frac{\partial}{\partial x_i^2'}
$$
Эти операторы действуют в первом продолженном пространстве $\widetilde S_1=\{(\mathbf{x},\mathbf{x}',t)\}$


Второе продолжение:
$$
P_1^{(2)}=P_1,\;\; P_2^{(2)}=P_2,\;\; P_3^{(2)}=P_3 ,\;\; T^{(2)}=T 
$$
$$
X_1^{(2)}=X_1^{(1)},\;\; X_2^{(2)}=X_2^{(1)},\;\; X_3^{(2)}=X_3^{(1)} \eqno (7n)
$$
$$
J_1^{(2)}=J_1^{(1)}+\sum\limits_{i=1}^n-x_i^3''\frac{\partial}{\partial x_i^2''}+x_i^2''\frac{\partial}{\partial x_i^3''},\;\; J_2^{(2)}=J_2^{(1)}+\sum\limits_{i=1}^n-x_i^3''\frac{\partial}{\partial x_i^1''}+x_i^1''\frac{\partial}{\partial x_i^3''},\;\; J_3^{(2)}=J_3^{(1)}+\sum\limits_{i=1}^n-x_i^2''\frac{\partial}{\partial x_i^1''}+x_i^1''\frac{\partial}{\partial x_i^2''}
$$
Эти операторы действуют во втором продолженном пространстве $\widetilde S_2=\{(\mathbf{x},\mathbf{x}',\mathbf{x}'', t)\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение28.03.2010, 16:12 


15/10/09
1344
Padawan в сообщении #303517 писал(а):
Жду ваших комментариев.
Уважаемый Padawan!

Было бы удивительно, если бы получилось что-то другое.

А относительно комментариев - для меня это сложно так сразу - распечатал - с большим удовольствием разбираюсь - только после этого смогу комментировать более серьезно. Пока могу только сказать, что идея очень здравая - зачем мудрить со всякими гамильтоновыми системами и скобками Пуассона (которые большинство физиков ИМХО или не проходили или забыли), когда можно пойти по стандартному пути - от уравнений для ускорения.

С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... 19  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group