Найдем продолжения операторов из нашей галилеевой алгебры (напомню, что у нас пока
) .
т.е. здесь
. По формулам продолжения
находим
Такми образом, первое продолжение оператора
равно
Едем дальше,
. Здесь
. По формулам продолжения находим
и
У операторов
коэффициенты являются константами, поэтому их продолжения равны им самим (см. формулы продолжения).
Итак, запишем все продолженный операторы вместе
Заметим, что операция продолжения векторных полей
является линейной (формулы продолжения линейны относительно коэффициентов
оператора) и
сохраняет коммутаторы, т.е.
-- продолжение коммутатора равно коммутатору продолжений. В последнее свойство придется поверить на слово, потому что я забыл как оно доказывается по-простому, из свойств коммутатора, а "в лоб" получаются слишком длинные вычисления. Но если не верится, можно взять и посчитать коммутаторы операторов
и убедиться, что они равны коммутаторам исходных операторов. Эти два свойства показывают, что операция продолжения векторных полей является изоморфизмом алгебр Ли, а значит, и групп Ли.
Таким образом,
продолженная группа также является представлением группы Галилея, но уже в продолженном пространстве.
Так как дифференциальное уравнение
является уравнением второго порядка, то нам потребуется
второе продолжение группы , которое мы обозначим
. Группа
действует во
втором продолженном пространстве . Элементами этого пространства являются квадратичные ростки функции
.
Действие группы
описывается уравнениями
,
из сообщения #303316 и