2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 19  След.
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение26.03.2010, 19:43 


15/10/09
1344
myhand в сообщении #302710 писал(а):
Теперь я затрону основную "цель" Ваших "доказательств". Постоянство массы.

(1) Вы показали, что гамильтониан системы невзаимодействующих частиц при известных предположениях о пространстве состояний - следует из симметрий классической механики.

(2) Думаю, любой физик сказал бы, что пока в понятие "масса" не было вложено никакого физического содержания. Оно будет ясно, если Вы рассмотрите взаимодействие частиц. Причем хоть самые простейшие, когда частицы взаимодействуют только в одной пространственно-временной точке (столкновения). Но такие, в которых число частиц может и меняться (неупругие).

Итак: до и после - свободные частицы. До: $n$ частиц, после $m\ne n$. Vek88-сан - считаете ли Вы, что из одних только принципов симметрии Вам удалось показать, что интегралы движения систем свободных частиц в точке столкновения должны _неприрывно_ сшиваться?
1. И взаимодействующих тоже. По крайней мере для некоторых простейших классов взаимодействия.

2. К сожалению, мне это не удастся показать по простой причине - это за меня очень давно уже сделали другие. Генератор "масса", он же оператор Казимира, очевидным образом сохраняет массу любой замкнутой Галилей- (Лоренц-) инвариантной системы (частицы, твердое тело, поле, ...), поскольку он коммутирует с генератором $H$ (сдвигов во времени) алгебры Галилея (соответственно, Пуанкаре). А поскольку он коммутирует вообще со всеми генераторами алгебры Галилея (соответственно, Пуанкаре), масса замкнутой системы одна и та же в любой ИСО.

Например, при слипании двух частиц масса все-равно сохраняется, т.е. сумма масс до столкновения равна сумме масс после столкновения. Именно по этой причине классическая механика не в состоянии объяснить дефект массы, как пытаются это сделать некоторые орлы на нашем форуме.

Так что ИМХО исходя из физики все должно сшиваться. А вот, математически, ничего не могу сказать о конкретных математических моделях - возможно, в каких-то случаях придется иметь дело с некими сингулярностями. Этот вопрос выходит за рамки моих познаний.

С учетом сказанного, вложить какой-то особый смысл в понятие массы при рассмотрении неупругих столкновений в классике не удается - сохраняется и все тут.

А вот опускаясь от Галилей-инвариантности к понятию силы, действующей на частицу или тело, разумеется, мы придем к традиционному ньютоновскому понимаю инертной массы. Я этого не делал - говорю это по принципу а как же может быть иначе?

Кстати, классификация неприводимых представлений группы Галилея говорит (см. Фушич, Никитин), что в классе представлений с ненулевой массой есть еще два оператора Казимира (т.е. коммутирующие со всеми остальными и потому дающие интегралы движения). Это спин (целый или полуцелый) и внутренняя энергия. Последнее полезно для всяких неупругих взаимодействий, трения и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение26.03.2010, 21:10 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #302821 писал(а):
Так что ИМХО исходя из физики все должно сшиваться. А вот, математически, ничего не могу сказать о конкретных математических моделях - возможно, в каких-то случаях придется иметь дело с некими сингулярностями. Этот вопрос выходит за рамки моих познаний.


Таки ИМХО? Или все-таки будет?

Модель более чем конкретная. До - свободные частицы. После - тоже. Только число - разное, в общем случае. Частицы до и после - разные (разные массы, определяется взаимодействием). Взаимодействие - только в одной точке (т.е. то, чему целая глава выделена в ЛЛI - столкновения частиц).

Следует неприрывная сшивка интегралов (энергия, импульс, масса) в этом случае - только из галилеевой инвариантности?

Мне кажется, рассуждения о коммутативности работают, когда у Вас одно представление (фазовое пространство до или после взаимодействия, соответственно). Нет?

vek88 в сообщении #302821 писал(а):
А вот опускаясь от Галилей-инвариантности к понятию силы, действующей на частицу или тело, разумеется, мы придем к традиционному ньютоновскому понимаю инертной массы. Я этого не делал - говорю это по принципу а как же может быть иначе?


Только вот _взаимодействие_ для этого нужно ввести совершенно определенным образом (см. последнее замечание В. Войтик). Способом, который ни из какой инвариантности не следует...

А если чуть сложнее? Какие еще инварианты есть? Ну, например, $(\vec v_a - \vec v_b)^2$, квадрат скалярного произведения $\vec x_a - \vec x_b$ и разности скоростей... Их можно ввести в лагранжиан. Получим галилей-инвариантную теорию. Масса на ускорение = сила (зависящая от к-т и скорости) ?

Пример. $L=m_a {\vec v_a}^2 / 2 + m_b {\vec v_b}^2 /2 + k f((\vec v_a - \vec v_b)^2, (\vec x_a - \vec x_b)^2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение26.03.2010, 22:03 


15/10/09
1344
Уважаемый myhand!

В самом начале я предупредил, что не претендую на построение всей механики. У меня на это нет ни времени, ни желания. Впрочем, готов обсуждать важнейшие моменты.

Итак, сразу у меня вопрос - а зачем вообще углубляться в формализм рассмотрения конкретного взаимодействия точечных частиц в точке их встречи? Это ведь нонсенс. Хотя бы потому, что невозможно точечной неквантовой частицей попасть в другую точечную неквантовую частицу. Поэтому в неквантовой механике в таких случаях применяют законы сохранения энергии и импульса. А больше ничего не надо. А заниматься "сшивкой" в качестве академического упражнения мне не интересно.

О силах и взаимодействии. Ну, разумеется. Например, в случае попарных потенциалов все получится. Но я не претендую на исследование этого вопроса. Хотя и готов услышать от Вас готовые результаты по этому вопросу.
ИгорЪ в сообщении #302432 писал(а):
Честно говоря, в ЛЛ1 лагранжиан выведен из общих предположений на одной странице. К чему весь этот огород? Пока одно наукообразие.
Уважаемый ИгорЪ!

Теперь, когда мы освоили азы, предлагаю Вам простое домашнее задание. В фазовом пространстве одночастичных безспиновых волновых функций определите вид гамильтониана, исходя из Галилей-инвариантности.

Указание.
1. В качестве операторов возьмите эрмитовы операторы.
2. Следуйте нашей схеме раздела 6.

Надеюсь теперь Вы проникнитесь, что у нас все просто и понятно, а квантовая механика строится вообще элементарно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение26.03.2010, 22:11 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
vek88 в сообщении #302890 писал(а):
В фазовом прстранстве одночастичных безспиновых волновых функций определите вид гамильтониана, исходя из Галилей-инвариантности.

я как то чё то пропустил видимо, но можно дать определение, что такое есть [color=#008000]одночастичная безспиновая волновая функция?[/color]

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение26.03.2010, 22:21 


15/10/09
1344
ИгорЪ в сообщении #302897 писал(а):
vek88 в сообщении #302890 писал(а):
В фазовом прстранстве одночастичных безспиновых волновых функций определите вид гамильтониана, исходя из Галилей-инвариантности.

я как то чё то пропустил видимо, но можно дать определение, что такое есть одночастичная безспиновая волновая функция?
Да просто комплексная функция $\psi(\overrightarrow{r})$. А эрмитовость операторов - сохранение интеграла по всему 3-пространству от квадрата модуля функции $\psi(\overrightarrow{r})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение26.03.2010, 22:34 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #302890 писал(а):
Итак, сразу у меня вопрос - а зачем вообще углубляться в формализм рассмотрения конкретного взаимодействия точечных частиц в точке их встречи? Это ведь нонсенс.


Не хотите "сталкивать" - пусть у Вас точечная частица "разваливается" на несколько. Это ведь частный случай.

Тоже нонсенс? К нему вопрос без ответа "Мне кажется, рассуждения о коммутативности работают, когда у Вас одно представление (фазовое пространство до или после взаимодействия, соответственно). Нет?" См. предыдущий пост.

vek88 в сообщении #302890 писал(а):
Поэтому в неквантовой механике в таких случаях применяют законы сохранения энергии и импульса. А больше ничего не надо. А заниматься "сшивкой" в качестве академического упражнения мне не интересно.


Понятно, что "применяют". А вот откуда они берутся? Эти законы сохранения. Вернее так: сшивка законов сохранения. Это же не "академическое упражнение" - Вы ведь и хотели доказать постоянство массы из галилеевой инвариантности. Вот Вам реальный повод. А не случай гамильтониана невзаимодействующих частиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение26.03.2010, 23:39 


15/10/09
1344
vek88 в сообщении #302904 писал(а):
А эрмитовость операторов - сохранение интеграла по всему 3-пространству от квадрата модуля функции $\psi(\overrightarrow{r})$.
Уважаемый ИгорЪ!

Да уж, это я ляпнул - зачеркните. Вот ведь что значит - давно не брал в руки шашек.

Исправляю - это операторы для представления группы Галилея в нашем гильбертовом пространстве волновых функций сохраняют нормировку волновой функции - для этого они унитарны.

А генераторы для представления алгебры Галилея действительно эрмитовы.

Дополнительная подсказка - сначала рекомендую найти генератор малых пространственных сдвигов $P_\alpha$ волновых функций $\psi(x_\alpha)$. Это будет оператор импульса частицы.

-- Сб мар 27, 2010 00:04:06 --

myhand в сообщении #302908 писал(а):
vek88 в сообщении #302890 писал(а):
Итак, сразу у меня вопрос - а зачем вообще углубляться в формализм рассмотрения конкретного взаимодействия точечных частиц в точке их встречи? Это ведь нонсенс.
Не хотите "сталкивать" - пусть у Вас точечная частица "разваливается" на несколько. Это ведь частный случай.

Тоже нонсенс? К нему вопрос без ответа "Мне кажется, рассуждения о коммутативности работают, когда у Вас одно представление (фазовое пространство до или после взаимодействия, соответственно). Нет?" См. предыдущий пост.
vek88 в сообщении #302890 писал(а):
Поэтому в неквантовой механике в таких случаях применяют законы сохранения энергии и импульса. А больше ничего не надо. А заниматься "сшивкой" в качестве академического упражнения мне не интересно.
Понятно, что "применяют". А вот откуда они берутся? Эти законы сохранения. Вернее так: сшивка законов сохранения. Это же не "академическое упражнение" - Вы ведь и хотели доказать постоянство массы из галилеевой инвариантности. Вот Вам реальный повод. А не случай гамильтониана невзаимодействующих частиц.
Уважаемый myhand!

Это Вы к чему ляпнули: "А не случай гамильтониана невзаимодействующих частиц"? Я ведь привел реальный пример и для взамодействующих через парные потенциалы частиц. Для иллюстрации группового подхода, в частности, для иллюстрации (и не больше) закона сохранения массы, этого достаточно. Большего я нигде не обещал - просмотрите внимательно тему.

При этом обращаю Ваше внимание, сам закон сохранения массы, фактически, нами доказан для любой Галилей-инвариантной теории. В том смысле, что если теория с ненулевой массой Галилей-инвариантна, то масса замкнутой системы сохраняется. Напомню - это следует из того, оператор массы коммутирует с гамильтонианом. Если именно это Вам не понятно, так и скажите.

А иллюстрировать этот закон в каждой теории, а тем более даже в какой-то измышляемой Вами, но даже еще не построенной - это мартышкин труд. А что делаете Вы - просите меня проверять этот закон в каждом конкретном случае.

Но тогда я попрошу Вас проверить мне закон сохранения энергии в каждом конкретном случае. Как Вам это понравится? Например, для такого вечного двигателя - на велосипед впереди устанавливается пропеллер - он крутится от набегающего воздуха - и тянет велосипед вперед. Попробуйте доказать конкретными расчетами баланса энергии, что этот двигатель работать не будет (этот двигатель я изобратал где-то лет в 8-10).

Или Вы думаете, что можно построить что-то Галилей-инвариантное с несохранением массы? Тогда флаг Вам в руки - постройте и покажите нам.

Льва узнают по следам от когтей - так поработайте сами и оставьте пару царапин на твердом граните науки.

С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 00:56 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #302933 писал(а):
это следует из того, оператор массы коммутирует с гамильтонианом. Если именно это Вам не понятно, так и скажите.


С которым? Гамильтониан системы разный. Была одна свободная частица - развалилась на три.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 01:06 


15/10/09
1344
myhand в сообщении #302949 писал(а):
vek88 в сообщении #302933 писал(а):
это следует из того, оператор массы коммутирует с гамильтонианом. Если именно это Вам не понятно, так и скажите.
С которым? Гамильтониан системы разный. Была одна свободная частица - развалилась на три.
Неа! Гамильтониан не разный - ... его еще вообще пока нет.

Я же сказал Вам - Вы поработайте, постройте Галилей-инвариантную теорию, которую имеете в виду. Если таковая существует, разумеется.

А потом приходите с ней сюда - а мы уж вволю ее пообсуждаем.

Итак, ждемс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 01:17 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
vek88 в сообщении #302953 писал(а):
myhand в сообщении #302949 писал(а):
Была одна свободная частица - развалилась на три.
Неа! Гамильтониан не разный - ... его еще вообще пока нет.


До распада: $H = \frac{P^2}{2 M}$. После: $H' = \frac{p_a^2}{2 m_a} + \frac{p_b^2}{2 m_b}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 09:13 


15/10/09
1344
myhand в сообщении #302962 писал(а):
vek88 в сообщении #302953 писал(а):
myhand в сообщении #302949 писал(а):
Была одна свободная частица - развалилась на три.
Неа! Гамильтониан не разный - ... его еще вообще пока нет.


До распада: $H = \frac{P^2}{2 M}$. После: $H' = \frac{p_a^2}{2 m_a} + \frac{p_b^2}{2 m_b}$.
А какое фазовое пространство у Вас? Или у Вас сначала одно, а потом другое? Напоминаю, что значит построить представление алгебры Галилея. В механике точек это значит, что нужно:

1. Выбрать фазовое пространство в соответствии с решаемой задачей.

2. Построить 11 функций состояния, удовлетворяющих коммутаторам алгебры Галилея.

Для начала хотя бы выполните пункт 1, т.е. покажите нам Ваше фазовое пространство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 12:29 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Как известно, лагранжиан релятивистской свободной частицы содержит репараметризационную калибровочную симметрию, возникает связь, которая при квантовании превращается в уравнение Клейна-Гордона. При квантовании нерелятивистской частицы, аналогично получается уравнение Шредингера. Продолжаю искренне не понимать, к чему весь этот уже 8 страничный огород. Вы публично учитесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 15:50 


15/10/09
1344
Уважаемый ИгорЪ!

Я предложил Вам убедиться и показать это другим, как просто получается нерелятивистская (и релятивистская) квантовая механика из Галилей- (Пуанкаре-) инвариантности. Вместо этого вы написали, что:

ИгорЪ: «Как известно, лагранжиан релятивистской свободной частицы содержит репараметризационную калибровочную симметрию, возникает связь, которая при квантовании превращается в уравнение Клейна-Гордона. При квантовании нерелятивистской частицы, аналогично получается уравнение Шредингера.»

А теперь берем человека, который не знает смысла шести (!) терминов: лагранжиан, репараметризационная, калибровочная, симметрия, связь, квантование. Думаю, что Ваши объяснения принципов построения квантовой механики он не поймет. И объяснять ему это придется долго и нудно.

А как у нас в теме? Элементарно. И поскольку Вы не захотели сделать домашнее задание, сделаю это за Вас. Итак, для $n$ частиц фазовое пространство – это гильбертово пространство комплексных функций вида $\psi(x_1_\alpha, … , x_n_\alpha) .$ Мы ограничимся пока одной частицей, т.е. рассматриваем функции вида $\psi(x_\alpha).$ Указанные функции принято называть волновыми функциями. Скалярное произведение функций $\varphi(x_\alpha), \psi(x_\alpha)$ в нашем фазовом пространстве определено как $$\int \varphi(x_\alpha)^* \psi(x_\alpha) dx_1 dx_2 dx_3.$$ Мы ищем представление группы Галилея унитарными операторам, чтобы сохранялось скалярное произведение. Поскольку мы ограничились локальным рассмотрение представлений, то каждый унитарный оператор $U$ можно представить через эрмитов генератор $X$ в виде $$U \approx 1+ i a X.$$ Далее следуем разделу 6 этой темы. Генератор $P_\alpha$ очевидно представляется в виде $$P_\alpha = -i \frac{\partial}{\partial x_\alpha}$$ и называется оператором импульса. По тем же причинам очевидно, что

$$J_\alpha = \varepsilon_\alpha_\beta_\gamma x_\beta P_\gamma .$$ Это оператор момента импульса. Поскольку гамильтониан коммутирует с $ P_\alpha, J_\alpha$, он является функцией от квадрата импульса, т.е. $$H=H(P^2_\alpha).$$ Далее, воспроизводя построения раздела 6, получаем $$H=\frac{P^2_\alpha}{2m} = -\frac{\Delta}{2m}.$$ На $n$ частиц это обобщается так же, как в рассмотренном выше случае.

Меняя Галилея на Пуанкаре столь же элементарно получаем в релятивистьском случае $$H=\sqrt{ m^2 + P^2_\alpha} = \sqrt{m^2 - \Delta}.$$ И все это Вам не интересно? На ладно, если бы Вы это знали. А то ведь не знали! Например, уверен, что гамильтониан свободной релятивистской частицы в виде $$H= \sqrt{m^2 - \Delta}.$$ Вы видите впервые в жизни. Честно скажу, Ваша реакция на интересные и незнакомые Вам вещи мне кажется очень странной.

И еще - Вы сказали что-то о том, что я учу это? И опять Вы не правы. Я вспоминаю. А заодно решил поделиться этими интересными вещами с коллегами.

А учить это я не могу по простой причине - этого нет в учебниках. Или Вы покажете такой учебник?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 16:33 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Ну вот, а я надеялся почитать потом "Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике" и всё там поподробнее найти... На мой непросвещённый взгляд - хорошее изложение, можно бы и ещё подробней - зачем мы к представлениям переходим (что вообще может дать смена синтаксиса) и зачем вообще там операторы нужны :) - не была понятна их необходимость. В общем, те вещи, которые обычно принимаются на веру, как раз - самые интероесные, а здесь через них часто перескакавали. Хотя я ещё не вник во все рассуждения.

Много полезнее разнообразной околонаучной бодяги... Просто у всех свой уровень, поэтому для всех не может быть равной пользы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности
Сообщение27.03.2010, 18:35 


15/10/09
1344
AlexDem в сообщении #303160 писал(а):
Ну вот, а я надеялся почитать потом "Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике" и всё там поподробнее найти... На мой непросвещённый взгляд - хорошее изложение, можно бы и ещё подробней - зачем мы к представлениям переходим (что вообще может дать смена синтаксиса) и зачем вообще там операторы нужны :) - не была понятна их необходимость. В общем, те вещи, которые обычно принимаются на веру, как раз - самые интероесные, а здесь через них часто перескакавали. Хотя я ещё не вник во все рассуждения.

Много полезнее разнообразной околонаучной бодяги... Просто у всех свой уровень, поэтому для всех не может быть равной пользы.
Уважаемый AlexDem!

(Оффтоп)

Спасибо за моральную поддержку. Разумеется, я решил поделиться с коллегами независимо от одобрения или неодобрения кем-либо моих материалов, поскольку точно знаю, что кому-то это точно будет интересно и полезно. А иначе зачем бы мне уродоваться - одни только формулы набить сто потов сойдет. Хотя, честно скажу, не очень приятно, когда кто-то заявляет - зачем я горожу огород.

Но по своему опыту знаю, что люди разные и очень по-разному реагируют, например, на одну и ту же лекцию. Так что, насчет "у всех свой уровень, поэтому для всех не может быть равной пользы" полностью согласен с Вами.

Так что еще раз спасибо за поддержку.

Позволю себе несколько дополнительных замечаний общего характера по поводу понятия инвариантности. Разумеется, в простейших случаях нет необходимости в построении представления группы Галилея или Пуанкаре. Например, почему мы знаем, что волновое уравнение релятивистски инвариантно? Да просто потому, что дифференциальный оператор $$\frac{\partial^2 }{\partial x^2_\alpha}-\frac{\partial^2 }{\partial t^2}$$ является скаляром (поскольку это квадрат 4-вектора в метрике $1,1,1,-1$).

Однако в общем случае подобные вещи не всегда очевидны. Более очевидная и применимая ко всем случаям жизни точка зрения (хотя в чем-то более сложная математически) - групповая. Сводится к выбору:

1. Фазового пространства (или пространства состояний), соответствующего решаемой задаче.

2. Генераторов рассматриваемой группы - т.е. операторов, действующих на этом фазовом пространстве, и удовлетворяющих коммутационным уравнениям используемой группы.

А уж полученные генераторы задают инвариантным образом все "движения" системы, в частности, $H$ определяет развитие системы во времени.

А можно сказать и так: коммутаторы группы на данном фазовом пространстве - это уравнения для "нахождения инвариантных уравнений движения в данном фазовом пространстве".

И еще о пользе теории групп. Напомню, что понятие спина ИМХО вообще невозможно изложить без теории представлений групп (в данном случае группы вращений 3-пространства).

С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 19  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group