Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[vek88]

myhand в сообщении #302710 писал(а):

Теперь я затрону основную "цель" Ваших "доказательств". Постоянство массы.

(1) Вы показали, что гамильтониан системы невзаимодействующих частиц при известных предположениях о пространстве состояний - следует из симметрий классической механики.

(2) Думаю, любой физик сказал бы, что пока в понятие "масса" не было вложено никакого физического содержания. Оно будет ясно, если Вы рассмотрите взаимодействие частиц. Причем хоть самые простейшие, когда частицы взаимодействуют только в одной пространственно-временной точке (столкновения). Но такие, в которых число частиц может и меняться (неупругие).

Итак: до и после - свободные частицы. До: $n$ частиц, после $m\ne n$. Vek88-сан - считаете ли Вы, что из одних только принципов симметрии Вам удалось показать, что интегралы движения систем свободных частиц в точке столкновения должны _неприрывно_ сшиваться?

1. И взаимодействующих тоже. По крайней мере для некоторых простейших классов взаимодействия.

2. К сожалению, мне это не удастся показать по простой причине - это за меня очень давно уже сделали другие. Генератор "масса", он же оператор Казимира, очевидным образом сохраняет массу любой замкнутой Галилей- (Лоренц-) инвариантной системы (частицы, твердое тело, поле, ...), поскольку он коммутирует с генератором $H$ (сдвигов во времени) алгебры Галилея (соответственно, Пуанкаре). А поскольку он коммутирует вообще со всеми генераторами алгебры Галилея (соответственно, Пуанкаре), масса замкнутой системы одна и та же в любой ИСО.

Например, при слипании двух частиц масса все-равно сохраняется, т.е. сумма масс до столкновения равна сумме масс после столкновения. Именно по этой причине классическая механика не в состоянии объяснить дефект массы, как пытаются это сделать некоторые орлы на нашем форуме.

Так что ИМХО исходя из физики все должно сшиваться. А вот, математически, ничего не могу сказать о конкретных математических моделях - возможно, в каких-то случаях придется иметь дело с некими сингулярностями. Этот вопрос выходит за рамки моих познаний.

С учетом сказанного, вложить какой-то особый смысл в понятие массы при рассмотрении неупругих столкновений в классике не удается - сохраняется и все тут.

А вот опускаясь от Галилей-инвариантности к понятию силы, действующей на частицу или тело, разумеется, мы придем к традиционному ньютоновскому понимаю инертной массы. Я этого не делал - говорю это по принципу а как же может быть иначе?

Кстати, классификация неприводимых представлений группы Галилея говорит (см. Фушич, Никитин), что в классе представлений с ненулевой массой есть еще два оператора Казимира (т.е. коммутирующие со всеми остальными и потому дающие интегралы движения). Это спин (целый или полуцелый) и внутренняя энергия. Последнее полезно для всяких неупругих взаимодействий, трения и т.д.

[myhand]

vek88 в сообщении #302821 писал(а):

Так что ИМХО исходя из физики все должно сшиваться. А вот, математически, ничего не могу сказать о конкретных математических моделях - возможно, в каких-то случаях придется иметь дело с некими сингулярностями. Этот вопрос выходит за рамки моих познаний.

Таки ИМХО? Или все-таки будет?

Модель более чем конкретная. До - свободные частицы. После - тоже. Только число - разное, в общем случае. Частицы до и после - разные (разные массы, определяется взаимодействием). Взаимодействие - только в одной точке (т.е. то, чему целая глава выделена в ЛЛI - столкновения частиц).

Следует неприрывная сшивка интегралов (энергия, импульс, масса) в этом случае - только из галилеевой инвариантности?

Мне кажется, рассуждения о коммутативности работают, когда у Вас одно представление (фазовое пространство до или после взаимодействия, соответственно). Нет?

vek88 в сообщении #302821 писал(а):

А вот опускаясь от Галилей-инвариантности к понятию силы, действующей на частицу или тело, разумеется, мы придем к традиционному ньютоновскому понимаю инертной массы. Я этого не делал - говорю это по принципу а как же может быть иначе?

Только вот _взаимодействие_ для этого нужно ввести совершенно определенным образом (см. последнее замечание В. Войтик). Способом, который ни из какой инвариантности не следует...

А если чуть сложнее? Какие еще инварианты есть? Ну, например, $(\vec v_a - \vec v_b)^2$, квадрат скалярного произведения $\vec x_a - \vec x_b$ и разности скоростей... Их можно ввести в лагранжиан. Получим галилей-инвариантную теорию. Масса на ускорение = сила (зависящая от к-т и скорости) ?

Пример. $L=m_a {\vec v_a}^2 / 2 + m_b {\vec v_b}^2 /2 + k f((\vec v_a - \vec v_b)^2, (\vec x_a - \vec x_b)^2)$.

[vek88]

Уважаемый myhand!

В самом начале я предупредил, что не претендую на построение всей механики. У меня на это нет ни времени, ни желания. Впрочем, готов обсуждать важнейшие моменты.

Итак, сразу у меня вопрос - а зачем вообще углубляться в формализм рассмотрения конкретного взаимодействия точечных частиц в точке их встречи? Это ведь нонсенс. Хотя бы потому, что невозможно точечной неквантовой частицей попасть в другую точечную неквантовую частицу. Поэтому в неквантовой механике в таких случаях применяют законы сохранения энергии и импульса. А больше ничего не надо. А заниматься "сшивкой" в качестве академического упражнения мне не интересно.

О силах и взаимодействии. Ну, разумеется. Например, в случае попарных потенциалов все получится. Но я не претендую на исследование этого вопроса. Хотя и готов услышать от Вас готовые результаты по этому вопросу.

ИгорЪ в сообщении #302432 писал(а):

Честно говоря, в ЛЛ1 лагранжиан выведен из общих предположений на одной странице. К чему весь этот огород? Пока одно наукообразие.

Уважаемый ИгорЪ!

Теперь, когда мы освоили азы, предлагаю Вам простое домашнее задание. В фазовом пространстве одночастичных безспиновых волновых функций определите вид гамильтониана, исходя из Галилей-инвариантности.

Указание.
1. В качестве операторов возьмите эрмитовы операторы.
2. Следуйте нашей схеме раздела 6.

Надеюсь теперь Вы проникнитесь, что у нас все просто и понятно, а квантовая механика строится вообще элементарно.

[ИгорЪ]

vek88 в сообщении #302890 писал(а):

В фазовом прстранстве одночастичных безспиновых волновых функций определите вид гамильтониана, исходя из Галилей-инвариантности.

я как то чё то пропустил видимо, но можно дать определение, что такое есть [color=#008000]одночастичная безспиновая волновая функция?[/color]

[vek88]

ИгорЪ в сообщении #302897 писал(а):

vek88 в сообщении #302890 писал(а):

В фазовом прстранстве одночастичных безспиновых волновых функций определите вид гамильтониана, исходя из Галилей-инвариантности.

я как то чё то пропустил видимо, но можно дать определение, что такое есть одночастичная безспиновая волновая функция?

Да просто комплексная функция $\psi(\overrightarrow{r})$. А эрмитовость операторов - сохранение интеграла по всему 3-пространству от квадрата модуля функции $\psi(\overrightarrow{r})$.

[myhand]

vek88 в сообщении #302890 писал(а):

Итак, сразу у меня вопрос - а зачем вообще углубляться в формализм рассмотрения конкретного взаимодействия точечных частиц в точке их встречи? Это ведь нонсенс.

Не хотите "сталкивать" - пусть у Вас точечная частица "разваливается" на несколько. Это ведь частный случай.

Тоже нонсенс? К нему вопрос без ответа "Мне кажется, рассуждения о коммутативности работают, когда у Вас одно представление (фазовое пространство до или после взаимодействия, соответственно). Нет?" См. предыдущий пост.

vek88 в сообщении #302890 писал(а):

Поэтому в неквантовой механике в таких случаях применяют законы сохранения энергии и импульса. А больше ничего не надо. А заниматься "сшивкой" в качестве академического упражнения мне не интересно.

Понятно, что "применяют". А вот откуда они берутся? Эти законы сохранения. Вернее так: сшивка законов сохранения. Это же не "академическое упражнение" - Вы ведь и хотели доказать постоянство массы из галилеевой инвариантности. Вот Вам реальный повод. А не случай гамильтониана невзаимодействующих частиц.

[vek88]

vek88 в сообщении #302904 писал(а):

А эрмитовость операторов - сохранение интеграла по всему 3-пространству от квадрата модуля функции $\psi(\overrightarrow{r})$.

Уважаемый ИгорЪ!

Да уж, это я ляпнул - зачеркните. Вот ведь что значит - давно не брал в руки шашек.

Исправляю - это операторы для представления группы Галилея в нашем гильбертовом пространстве волновых функций сохраняют нормировку волновой функции - для этого они унитарны.

А генераторы для представления алгебры Галилея действительно эрмитовы.

Дополнительная подсказка - сначала рекомендую найти генератор малых пространственных сдвигов $P_\alpha$ волновых функций $\psi(x_\alpha)$. Это будет оператор импульса частицы.

-- Сб мар 27, 2010 00:04:06 --

myhand в сообщении #302908 писал(а):

vek88 в сообщении #302890 писал(а):

Итак, сразу у меня вопрос - а зачем вообще углубляться в формализм рассмотрения конкретного взаимодействия точечных частиц в точке их встречи? Это ведь нонсенс.

Не хотите "сталкивать" - пусть у Вас точечная частица "разваливается" на несколько. Это ведь частный случай.

Тоже нонсенс? К нему вопрос без ответа "Мне кажется, рассуждения о коммутативности работают, когда у Вас одно представление (фазовое пространство до или после взаимодействия, соответственно). Нет?" См. предыдущий пост.

vek88 в сообщении #302890 писал(а):

Поэтому в неквантовой механике в таких случаях применяют законы сохранения энергии и импульса. А больше ничего не надо. А заниматься "сшивкой" в качестве академического упражнения мне не интересно.

Понятно, что "применяют". А вот откуда они берутся? Эти законы сохранения. Вернее так: сшивка законов сохранения. Это же не "академическое упражнение" - Вы ведь и хотели доказать постоянство массы из галилеевой инвариантности. Вот Вам реальный повод. А не случай гамильтониана невзаимодействующих частиц.

Уважаемый myhand!

Это Вы к чему ляпнули: "А не случай гамильтониана невзаимодействующих частиц"? Я ведь привел реальный пример и для взамодействующих через парные потенциалы частиц. Для иллюстрации группового подхода, в частности, для иллюстрации (и не больше) закона сохранения массы, этого достаточно. Большего я нигде не обещал - просмотрите внимательно тему.

При этом обращаю Ваше внимание, сам закон сохранения массы, фактически, нами доказан для любой Галилей-инвариантной теории. В том смысле, что если теория с ненулевой массой Галилей-инвариантна, то масса замкнутой системы сохраняется. Напомню - это следует из того, оператор массы коммутирует с гамильтонианом. Если именно это Вам не понятно, так и скажите.

А иллюстрировать этот закон в каждой теории, а тем более даже в какой-то измышляемой Вами, но даже еще не построенной - это мартышкин труд. А что делаете Вы - просите меня проверять этот закон в каждом конкретном случае.

Но тогда я попрошу Вас проверить мне закон сохранения энергии в каждом конкретном случае. Как Вам это понравится? Например, для такого вечного двигателя - на велосипед впереди устанавливается пропеллер - он крутится от набегающего воздуха - и тянет велосипед вперед. Попробуйте доказать конкретными расчетами баланса энергии, что этот двигатель работать не будет (этот двигатель я изобратал где-то лет в 8-10).

Или Вы думаете, что можно построить что-то Галилей-инвариантное с несохранением массы? Тогда флаг Вам в руки - постройте и покажите нам.

Льва узнают по следам от когтей - так поработайте сами и оставьте пару царапин на твердом граните науки.

С уважением,
vek88

[myhand]

vek88 в сообщении #302933 писал(а):

это следует из того, оператор массы коммутирует с гамильтонианом. Если именно это Вам не понятно, так и скажите.

С которым? Гамильтониан системы разный. Была одна свободная частица - развалилась на три.

[vek88]

myhand в сообщении #302949 писал(а):

vek88 в сообщении #302933 писал(а):

это следует из того, оператор массы коммутирует с гамильтонианом. Если именно это Вам не понятно, так и скажите.

С которым? Гамильтониан системы разный. Была одна свободная частица - развалилась на три.

Неа! Гамильтониан не разный - ... его еще вообще пока нет.

Я же сказал Вам - Вы поработайте, постройте Галилей-инвариантную теорию, которую имеете в виду. Если таковая существует, разумеется.

А потом приходите с ней сюда - а мы уж вволю ее пообсуждаем.

Итак, ждемс.

[myhand]

vek88 в сообщении #302953 писал(а):

myhand в сообщении #302949 писал(а):

Была одна свободная частица - развалилась на три.

Неа! Гамильтониан не разный - ... его еще вообще пока нет.

До распада: $H = \frac{P^2}{2 M}$. После: $H' = \frac{p_a^2}{2 m_a} + \frac{p_b^2}{2 m_b}$.

[vek88]

myhand в сообщении #302962 писал(а):

vek88 в сообщении #302953 писал(а):

myhand в сообщении #302949 писал(а):

Была одна свободная частица - развалилась на три.

Неа! Гамильтониан не разный - ... его еще вообще пока нет.

До распада: $H = \frac{P^2}{2 M}$. После: $H' = \frac{p_a^2}{2 m_a} + \frac{p_b^2}{2 m_b}$.

А какое фазовое пространство у Вас? Или у Вас сначала одно, а потом другое? Напоминаю, что значит построить представление алгебры Галилея. В механике точек это значит, что нужно:

1. Выбрать фазовое пространство в соответствии с решаемой задачей.

2. Построить 11 функций состояния, удовлетворяющих коммутаторам алгебры Галилея.

Для начала хотя бы выполните пункт 1, т.е. покажите нам Ваше фазовое пространство.

[ИгорЪ]

Как известно, лагранжиан релятивистской свободной частицы содержит репараметризационную калибровочную симметрию, возникает связь, которая при квантовании превращается в уравнение Клейна-Гордона. При квантовании нерелятивистской частицы, аналогично получается уравнение Шредингера. Продолжаю искренне не понимать, к чему весь этот уже 8 страничный огород. Вы публично учитесь?

[vek88]

Уважаемый ИгорЪ!

Я предложил Вам убедиться и показать это другим, как просто получается нерелятивистская (и релятивистская) квантовая механика из Галилей- (Пуанкаре-) инвариантности. Вместо этого вы написали, что:

ИгорЪ: «Как известно, лагранжиан релятивистской свободной частицы содержит репараметризационную калибровочную симметрию, возникает связь, которая при квантовании превращается в уравнение Клейна-Гордона. При квантовании нерелятивистской частицы, аналогично получается уравнение Шредингера.»

А теперь берем человека, который не знает смысла шести (!) терминов: лагранжиан, репараметризационная, калибровочная, симметрия, связь, квантование. Думаю, что Ваши объяснения принципов построения квантовой механики он не поймет. И объяснять ему это придется долго и нудно.

А как у нас в теме? Элементарно. И поскольку Вы не захотели сделать домашнее задание, сделаю это за Вас. Итак, для $n$ частиц фазовое пространство – это гильбертово пространство комплексных функций вида $\psi(x_1_\alpha, … , x_n_\alpha) .$ Мы ограничимся пока одной частицей, т.е. рассматриваем функции вида $\psi(x_\alpha).$ Указанные функции принято называть волновыми функциями. Скалярное произведение функций $\varphi(x_\alpha), \psi(x_\alpha)$ в нашем фазовом пространстве определено как

$$\int \varphi(x_\alpha)^* \psi(x_\alpha) dx_1 dx_2 dx_3.$$

Мы ищем представление группы Галилея унитарными операторам, чтобы сохранялось скалярное произведение. Поскольку мы ограничились локальным рассмотрение представлений, то каждый унитарный оператор $U$ можно представить через эрмитов генератор $X$ в виде

$$U \approx 1+ i a X.$$

Далее следуем разделу 6 этой темы. Генератор $P_\alpha$ очевидно представляется в виде

$$P_\alpha = -i \frac{\partial}{\partial x_\alpha}$$

и называется оператором импульса. По тем же причинам очевидно, что

$$J_\alpha = \varepsilon_\alpha_\beta_\gamma x_\beta P_\gamma .$$

Это оператор момента импульса. Поскольку гамильтониан коммутирует с $ P_\alpha, J_\alpha$, он является функцией от квадрата импульса, т.е.

$$H=H(P^2_\alpha).$$

Далее, воспроизводя построения раздела 6, получаем

$$H=\frac{P^2_\alpha}{2m} = -\frac{\Delta}{2m}.$$

На $n$ частиц это обобщается так же, как в рассмотренном выше случае.

Меняя Галилея на Пуанкаре столь же элементарно получаем в релятивистьском случае

$$H=\sqrt{ m^2 + P^2_\alpha} = \sqrt{m^2 - \Delta}.$$

И все это Вам не интересно? На ладно, если бы Вы это знали. А то ведь не знали! Например, уверен, что гамильтониан свободной релятивистской частицы в виде

$$H= \sqrt{m^2 - \Delta}.$$

Вы видите впервые в жизни. Честно скажу, Ваша реакция на интересные и незнакомые Вам вещи мне кажется очень странной.

И еще - Вы сказали что-то о том, что я учу это? И опять Вы не правы. Я вспоминаю. А заодно решил поделиться этими интересными вещами с коллегами.

А учить это я не могу по простой причине - этого нет в учебниках. Или Вы покажете такой учебник?

[AlexDem]

Ну вот, а я надеялся почитать потом "Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике" и всё там поподробнее найти... На мой непросвещённый взгляд - хорошее изложение, можно бы и ещё подробней - зачем мы к представлениям переходим (что вообще может дать смена синтаксиса) и зачем вообще там операторы нужны - не была понятна их необходимость. В общем, те вещи, которые обычно принимаются на веру, как раз - самые интероесные, а здесь через них часто перескакавали. Хотя я ещё не вник во все рассуждения.

Много полезнее разнообразной околонаучной бодяги... Просто у всех свой уровень, поэтому для всех не может быть равной пользы.

[vek88]

AlexDem в сообщении #303160 писал(а):

Ну вот, а я надеялся почитать потом "Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике" и всё там поподробнее найти... На мой непросвещённый взгляд - хорошее изложение, можно бы и ещё подробней - зачем мы к представлениям переходим (что вообще может дать смена синтаксиса) и зачем вообще там операторы нужны - не была понятна их необходимость. В общем, те вещи, которые обычно принимаются на веру, как раз - самые интероесные, а здесь через них часто перескакавали. Хотя я ещё не вник во все рассуждения.

Много полезнее разнообразной околонаучной бодяги... Просто у всех свой уровень, поэтому для всех не может быть равной пользы.

Уважаемый AlexDem!

(Оффтоп)

Спасибо за моральную поддержку. Разумеется, я решил поделиться с коллегами независимо от одобрения или неодобрения кем-либо моих материалов, поскольку точно знаю, что кому-то это точно будет интересно и полезно. А иначе зачем бы мне уродоваться - одни только формулы набить сто потов сойдет. Хотя, честно скажу, не очень приятно, когда кто-то заявляет - зачем я горожу огород.

Но по своему опыту знаю, что люди разные и очень по-разному реагируют, например, на одну и ту же лекцию. Так что, насчет "у всех свой уровень, поэтому для всех не может быть равной пользы" полностью согласен с Вами.

Так что еще раз спасибо за поддержку.

Позволю себе несколько дополнительных замечаний общего характера по поводу понятия инвариантности. Разумеется, в простейших случаях нет необходимости в построении представления группы Галилея или Пуанкаре. Например, почему мы знаем, что волновое уравнение релятивистски инвариантно? Да просто потому, что дифференциальный оператор

$$\frac{\partial^2 }{\partial x^2_\alpha}-\frac{\partial^2 }{\partial t^2}$$

является скаляром (поскольку это квадрат 4-вектора в метрике $1,1,1,-1$).

Однако в общем случае подобные вещи не всегда очевидны. Более очевидная и применимая ко всем случаям жизни точка зрения (хотя в чем-то более сложная математически) - групповая. Сводится к выбору:

1. Фазового пространства (или пространства состояний), соответствующего решаемой задаче.

2. Генераторов рассматриваемой группы - т.е. операторов, действующих на этом фазовом пространстве, и удовлетворяющих коммутационным уравнениям используемой группы.

А уж полученные генераторы задают инвариантным образом все "движения" системы, в частности, $H$ определяет развитие системы во времени.

А можно сказать и так: коммутаторы группы на данном фазовом пространстве - это уравнения для "нахождения инвариантных уравнений движения в данном фазовом пространстве".

И еще о пользе теории групп. Напомню, что понятие спина ИМХО вообще невозможно изложить без теории представлений групп (в данном случае группы вращений 3-пространства).

С уважением,
vek88