Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

myhand · 03/03/10 ∞ 4558

Пардон муа. А не уточните, как действуют Ваши операторы? Из каких элементов состоит пространство состояний, на котором действуют операторы?

"В качестве операторов мы примем функции от времени и состояния. Более точно, речь идет о дифференциальных операторах специального вида, определяемых этими функциями."

Мне кажется, пояснить это принципиально. Иначе текст без отсылки к книге - явно не понятен для непосвященного.

"Выражение $[\varphi, \psi]$ мы интерпретируем, как результат действия оператора $\varphi$ на функцию $\psi$ ." Так на что у вас оператор-то действует? Элемент "пространства состояний" - произвольная функция координат, импульса и времени? Все верно?

vek88 в сообщении #301050 писал(а):

Начнем с простейшего случая – одной материальной точки. Как задать состояние одной материальной точки? Например, можно с помощью вектора пространственных координат $x_\alpha$ и вектора скорости $\dot x_\alpha$ .

Уже тривиальный вопрос - а почему не добавить $\ddot x$ ? Или еще парочку высших производных?

Менее тривиальный вопрос. А что, если у частицы есть, например - тензор инерции + соответствующие степени свободы (напр. Эйлеровы углы). Это с Вашей точки зрения - не "частица"?

vek88 в сообщении #301121 писал(а):

Оператор пространственных сдвигов будем задавать функцией (=оператором) Гамильтона $P_4 = H$ .

Пространственных? Не временных?

vek88 · 15/10/09 1344

myhand в сообщении #301136 писал(а):

Менее тривиальный вопрос. А что, если у частицы есть, например - тензор инерции + соответствующие степени свободы (напр. Эйлеровы углы). Это с Вашей точки зрения - не "частица"?

vek88 в сообщении #301121 писал(а):

Оператор пространственных сдвигов будем задавать функцией (=оператором) Гамильтона $P_4 = H$ .

Пространственных? Не временных?

Отвечаю на очевидные вещи. Давайте раньше времени не усложнять - пока не будет ни тензоров, ни спинов.

Оператор $H$ - конечно, я ошибся. Это оператор временных сдвигов.

Все остальные вопросы завтра - все рассмотрим более подробно. А пока считайте, что я попытался сэкономить на подробности изложения - и оказался неправ.

С уважением,
vek88

vek88 · 15/10/09 1344

Похоже, что я слишком быстро разогнался – все-таки, как оказалось, я кое-что помню. Причем, именно из физики. Теперь постараюсь понятным языком донести свои интуитивные рассуждения до аудитории, имея в виду вопросы уважаемого myhand.

Пространство состояний или фазовое пространство. Вот определение из Википедии.

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, на котором представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.

Сущность понятия фазового пространства заключается в том, что состояние сколь угодно сложной системы представляется в нём одной единственной точкой, а эволюция этой системы — перемещением этой точки. Кроме того, в механике движение этой точки определяется сравнительно простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.

В случае механических систем это пространство четной размерности, координатами в котором являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы).

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.

Так что наше состояние одной материальной точки – пара $x_\alpha$ , $p_\alpha$ - вполне соответствует общепринятому понятию состояния материальной точки.

Идем дальше. Поскольку есть состояние, могут представлять интерес и те или иные функции состояния. Обратим внимание, что сами $x_\alpha$ , $p_\alpha$ - это тоже функции от состояния, например, $x_\alpha$ - это вектор-функция от $x_\alpha$ .

Итак, у нас есть объекты – функции состояния. Теперь необходимо определить операторы. Разумеется, изначально нас интересуют операторы, действующие на состояния. Но результат действия операторов на состояние в общем случае может представлять собой некоторую функцию от состояния, на которую мы можем захотеть снова подействовать некоторым оператором и т.д. Следовательно, мы должны опредлить наши операторы на множестве функций состояния.

А теперь, внимание, главный трюк - каждая функция состояния однозначно определяет оператор. Например, пусть мы хотим подействовать оператором $\varphi(t, x_\alpha, p_\alpha)$ на функцию $\psi(t, x_\alpha, p_\alpha)$ . Конечно это вольность выражения - правильно было бы сказать подействовать оператором, определяемым функцией $\varphi(t, x_\alpha, p_\alpha)$ . Как же мы применяем оператор (определяемый функцией $\varphi(t, x_\alpha, p_\alpha)$ ? Очень просто - не ломая голову над философскими проблемами бытия, мы просто говорим, что результат применения оператора $\varphi(t, x_\alpha, p_\alpha)$ к функции $\psi(t, x_\alpha, p_\alpha)$ равен $[\varphi, \psi] =\frac{\partial \varphi}{\partial x_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial p_\alpha} -\frac{\partial \varphi}{\partial p_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial x_\alpha}.$ Итак, выражение $[\varphi, \psi]$ мы интерпретируем, как результат действия оператора $\varphi$ на функцию $\psi$ . И еще раз призываю смотреть на это чисто технически и прагматически в духе "нажми на кнопку - получишь рузультат".

Упражнение. Примените оператор импульса материальной точки к ее вектору координат. Каков физический смысл этой операции?

Указание. Сопоставьте эту операцию со смещением координат на вектор $a_\alpha$ .

Замечание о выборе фазового пространства. Пока мы ставили задачу рассмотрения системы взаимодействующих материальных точек. Соответственно, выбрали общепринятое в этом случае фазовое пространство.

Если же, например, мы захотим рассмотреть квантовую механику одной безспиновой частицы, то выберем в качестве фазового пространства гильбертово пространство волновых функций от $x_\alpha$ .

И т.д.

Почему не взять, например, вторые производные? Не знаю - попробуйте. Может быть, это даст что-нибудь интересное? Хотя я сомневаюсь в этом.

Да и в конце концов - надо понимать, что мы здесь не изобретаем новую классическую механику. Мы всего лишь заняты ее выводом из Галилеевской инвариантности.

Padawan · 13/12/05 4604

$[p_\beta,x_\gamma]=-\delta_{\beta\gamma}$
А в Ландау-Лифшице скобки Пуассона от Ваших знаком отличаются.

Значит у нас алгебра Ли - это подалгебра алгебры дифференциальных операторов? Соответственно группа - группа преобразований фазового пространства? А зачем мы хотим, чтобы она была изоморфна группе Галилея?

vek88 · 15/10/09 1344

Padawan в сообщении #301316 писал(а):

(1) $[p_\beta,x_\gamma]=-\delta_{\beta\gamma}$
(2) А в Ландау-Лифшице скобки Пуассона от Ваших знаком отличаются.

(3) Значит у нас алгебра Ли - это подалгебра алгебры дифференциальных операторов? (4) Соответственно группа - группа преобразований фазового пространства? А зачем мы хотим, чтобы она была изоморфна группе Галилея?

1. Хочу добавить, что $p_\alpha$ - генератор сдвигов 3-пространства. Т.к. $(1+a_\alpha p_\alpha) f(x_\beta) = [(1+a_\alpha p_\alpha), f(x_\beta)] = f(x) - a_\alpha \frac{\partial f}{\partial x_\alpha} \approx f(x_\alpha - a_\alpha).$ Здесь первая формула - операторная запись общего вида. Такую запись следует использовать осторожно, поскольку она двусмысленна (второй смысл - просто умножение выражения в скобках на функцию). Вторая формула - конкретная запись, принятая в нашем случае.

2. Еще раз проверил у Гантмахера - кажется, я списал верно. Призываю не брать в голову такие "мелочи" (это ведь только определение - а как его использовать на практике, другой вопрос), если они не приводят к серьезным ошибкам. А в этом мы убедимся (или нет) по ходу дела. И, если надо, исправим.

Да и у нас ведь не лекции и семинары в ВУЗе, а исследование. А в любом исследовании может занести не туда. Главное понять это вовремя, и исправить.

3. Похоже, что так. Но в таких вопросах я полагаюсь на Вас, поскольку алгебру Вы знаете и/или помните лучше меня.

4. Мы ищем представление группы Галилея автоморфизмами $S$ , чтобы в $S$ для рассматриваемой системы материальных точек можно было определить: сдвиги в пространстве, 3-повороты, переходы в движущуюся ИСО, а главное - развитие системы во времени (мы "пренебрежительно" называем это сдвигами во времени). Например, если нам известны начальные значения координат и имульсов системы материальных точек, мы сможем определить траектории движения этих точек.

А что нам еще нужно от того или иного способа формализации механики? Да, пожалуй, больше ничего и не нужно. Интересно, что при нашем способе построения механики мы даже и не тявкнем про законы Ньютона, силы и т.д. Хотя, разумеется, мы сможем вывести их наличие в качестве побочного продукта.

В частности, наши построения автоматически (по построению) будут означать Галилей-инвариантность, т.е. справедливость принципа относительности Галилея.

В следующем разделе мы аккуратно, подробно и без спешки будем искать представление алгебры Ли группы Галилея автоморфизмами "одночастичного" фазового пространства.

Padawan · 13/12/05 4604

Прост я не понимаю инвариантность чего это означает?

Ну допусти мы в $S$ нашли представление группы Галилиея автоморфизмами. Мы объявляем эти автоморфизмы сдвигами в пространстве, 3-поворотами, переходами в движущуюся ИСО, и сдвигами по времени?

vek88 · 15/10/09 1344

Padawan в сообщении #301449 писал(а):

Прост я не понимаю инвариантность чего это означает?

Ну допусти мы в $S$ нашли представление группы Галилиея автоморфизмами. Мы объявляем эти автоморфизмы сдвигами в пространстве, 3-поворотами, переходами в движущуюся ИСО, и сдвигами по времени?

Да, конечно. Например, задав начальные координаты и импульсы Земли и Луны в момент $0$ , и применив к ним экспоненту от Гамильтониана с параметром $t$ , мы получим координаты Земли и Луны в момент $t.$ Т.е. мы сможем делать в точности то, что делаем в ньютоновой механике.

И, кстати, здесь уместно задать глупый вопрос - а что означает принцип относительности Галилея? Это ведь независимость законов природы от выбора ИСО. А если так, какова здесь роль преобразования Галилея? Мы что, для каждого закона должны сидеть и проверять его независимость от выбора ИСО? Это будет долго и нудно. Поэтому проще сразу строить эти законы в терминах группы автоморфизмов конкретных фазовых пространств, изоморфной группе Галилея.

А вообще, я опять призываю к терпению. Прошу учесть, что у нас все тривиально - а трудности только из-за необычности и непривычности рассматриваемой методы. В таких случаях наша теоретическая мысль начинает путаться. Лучший способ преодолеть это - рассмотреть простейшие практические примеры с постепенным их усложнением.

И призываю не искать здесь глубокого (или второго) смысла. Мы все увидим и убедимся, что все просто. В частности, в ближайших одной-двух темах мы убедимся, что для свободных Галилей-инвариантных частиц энергия $E=\frac{p^2}{2m}.$ План дальнейшего изложения. Сначала убедимся, что представление алгебры Ли группы Галилея в одночастичном фазовом пространстве не существует. А тогда вспомним про оператор Казимира (оператор массы в нашем случае) - и все получится, в том числе и эта формула для энергии. Потом тривильно обобщим результаты на $n$ свободных частиц. И, наконец, рассмотрим простейшие взаимодействия частиц.

Padawan · 13/12/05 4604

Цитата:

Поэтому проще сразу строить эти законы в терминах группы автоморфизмов конкретных фазовых пространств, изоморфной группе Галилея.

Вот это непонятно. Тут, видимо, какой-то глубокий физический смысл, который я как математик не понимаю.

vek88 · 15/10/09 1344

Padawan в сообщении #301509 писал(а):

Цитата:

Поэтому проще сразу строить эти законы в терминах группы автоморфизмов конкретных фазовых пространств, изоморфной группе Галилея.

Вот это непонятно. Тут, видимо, какой-то глубокий физический смысл, который я как математик не понимаю.

Ну относительно проще - это я загнул. Если бы проще, мы бы не корячились тут.

А вот в том, чтобы при формулировке классических (рялятивистских) законов сразу думать о Галилей- (соответственно, Лоренц-) инвариантности, в этом действительно глубокий смысл. О котором ИМХО не подозревает и большинство физиков, а не только математиков (хотя, скорее всего, где-то в курсе физики они слышали об этом). Но есть традиция. Например классическую механику изучают по традиционной схеме: сила, законы Ньютона и т.д. К тому же теоретико-групповой подход слишком сложен для изучения в курсе физике.

Как физик, честно скажу - я вот так сразу не могу объяснить, почему, например, второй и третий закон Ньютона удовлетворяют принципу относительности Галилея (с первым все ясно). Кто-нибудь может объяснить мне это на пальцах? Это что, где-то доказывали в курсе физики? Ничего подобного - нам сказали про принцип относительности Галилея - мы поверили - и все - просто забыли об этом.

Как математик, позволю себе встречный и очень глупый вопрос. Почему классическая механика удовлетворяет принципу относительности Галилея? В частности, как это доказали?

Padawan · 13/12/05 4604

Тоже не совсем понятно. Вот если взять конкретную систему уравнений $\dfrac{d^2 \vec{x_i}}{dt^2}=U_i(|{\vec{x_k}-\vec{x_l}|)$ , то понятно: при преобразованиях ${\vec x_i}'=x_i+\vec{a}$ , $t'=t+b$ , $\vec{x_i}'=J\vec{x_i}$ - переносы, вращения и т.д. системы как целого уравнения сохраняют свой вид (штрихи только появляются у переменных).

vek88 · 15/10/09 1344

Padawan в сообщении #301544 писал(а):

(1) Тоже не совсем понятно. (2) Вот если взять конкретную систему уравнений $\dfrac{d^2 \vec{x_i}}{dt^2}=U(|{\vec{x_k}-\vec{x_l}|)$ , то понятно: при преобразованиях ${\vec x_i}'=x_i+\vec{a}$ , $t'=t+b$ , $\vec{x_i}'=J\vec{x_i}$ - переносы, вращения и т.д. системы как целого уравнения сохраняют свой вид (штрихи только появляются у переменных).

1. Я бы усилил это до "совсем не понятно". В том смысле, что вытащи сейчас любого физика к доске и попроси его доказать Галилей-инвариантность классической механики - будет пипец - он у меня схлопочет пару.

2. А вот это Вы забегаете вперед (похоже, Вы забыли градиент потенциала - у Вас слева вектор, справа скаляр). В нашем подходе это вылезет автоматически из коммутации гамильтониана с генератором переносов (=оператором импульса). Кстати, Вы уже сейчас можете доказать, что для двух частиц $U=U(x^1_\alpha - x^2_\alpha)$ . Для этого достаточно рассмотреть уравнение для функции состояния $U$ $[p^1_\alpha + p^2_\alpha, U]=0.$ Оно выражает "мысль алгебры Ли" - коммутатор генераторов 3-сдвигов и сдвигов во времени алгебры Ли группы Галилея равен нулю. А если добавить условие коммутации с $J_\alpha$ , то Вы придете к тому, что $U=U((x^1_\alpha - x^2_\alpha)^2).$ Впрочем, я тоже забегаю вперед.

myhand · 03/03/10 ∞ 4558

vek88 в сообщении #301530 писал(а):

Почему классическая механика удовлетворяет принципу относительности Галилея? В частности, как это доказали?[/b]

Экспериментами-с. Было обнаружено, что все наблюдаемые механические явления - не позволяют различить покой и равномерное прямолинейное движение.

vek88 в сообщении #301530 писал(а):

А вот в том, чтобы при формулировке классических (рялятивистских) законов сразу думать о Галилей- (соответственно, Лоренц-) инвариантности, в этом действительно глубокий смысл. О котором ИМХО не подозревает и большинство физиков, а не только математиков (хотя, скорее всего, где-то в курсе физики они слышали об этом). Но есть традиция. Например классическую механику изучают по традиционной схеме: сила, законы Ньютона и т.д. К тому же теоретико-групповой подход слишком сложен для изучения в курсе физике.

Теоретико-групповой подход не то, чтобы сложен - он менее "физичен". Служит не для построения единственно верной механики (скажем какого-то общего вида "допустимого" гамильтониана, удовлетворяющего всем принципам симметрии) - а для _классификации_ таких возможных механических структур. Скажем, если мы припишем нашей "частице" дополнительные инвариантные характеристики (тензор инерции, к примеру) - сможем получить также "вполне допустимый" из соображений симметрии гамильтониан материальной точки, более сложный чем приведенный Вами.

Так что физики выбирают более физичный подход - типа ЛЛ (т. I и II). Лагранжиан/функция лагранжа, действие etc.

vek88 в сообщении #301530 писал(а):

Как физик, честно скажу - я вот так сразу не могу объяснить, почему, например, второй и третий закон Ньютона удовлетворяют принципу относительности Галилея (с первым все ясно). Кто-нибудь может объяснить мне это на пальцах?

Объяснить - никак. Это ведь один из постулатов. А вот сделать определенные утверждения о том как симметрии ограничивают тем самым допустимый вид сил - запросто. Силы должны зависеть от инвариантных для соответствующих симметрий величин. Типа $|\vec r_i - \vec r_j|$ . Как просили, не совсем строго и полно - на пальцах.

vek88 · 15/10/09 1344

myhand в сообщении #301557 писал(а):

vek88 в сообщении #301530 писал(а):

Почему классическая механика удовлетворяет принципу относительности Галилея? В частности, как это доказали?[/b]

Экспериментами-с. Было обнаружено, что все наблюдаемые механические явления - не позволяют различить покой и равномерное прямолинейное движение.

vek88: Это не было и не могло быть обнаружено для всех ...

vek88 в сообщении #301530 писал(а):

А вот в том, чтобы при формулировке классических (рялятивистских) законов сразу думать о Галилей- (соответственно, Лоренц-) инвариантности, в этом действительно глубокий смысл. О котором ИМХО не подозревает и большинство физиков, а не только математиков (хотя, скорее всего, где-то в курсе физики они слышали об этом). Но есть традиция. Например классическую механику изучают по традиционной схеме: сила, законы Ньютона и т.д. К тому же теоретико-групповой подход слишком сложен для изучения в курсе физике.

Теоретико-групповой подход не то, чтобы сложен - он менее "физичен". Служит не для построения единственно верной механики (скажем какого-то общего вида "допустимого" гамильтониана, удовлетворяющего всем принципам симметрии) - а для _классификации_ таких возможных механических структур. Скажем, если мы припишем нашей "частице" дополнительные инвариантные характеристики (тензор инерции, к примеру) - сможем получить также "вполне допустимый" из соображений симметрии гамильтониан материальной точки, более сложный чем приведенный Вами.

Так что физики выбирают более физичный подход - типа ЛЛ (т. I и II). Лагранжиан/функция лагранжа, действие etc.

vek88: Разумеется, физики (как и прочие специалисты) применяют методы в зависимости от конкретных задач. Вот мы здесь и следуем этому принципу с учетом нашей конкретной задачи. К тому же, выбор методов (при наличии нескольких) в значительной степени вопрос традиций. А о традициях не спорят.

И кстати, мы ведь придем к каноническим уравнениям Гамильтона, которые тоже выбраны физиками. Или я не прав?

vek88 в сообщении #301530 писал(а):

Как физик, честно скажу - я вот так сразу не могу объяснить, почему, например, второй и третий закон Ньютона удовлетворяют принципу относительности Галилея (с первым все ясно). Кто-нибудь может объяснить мне это на пальцах?

Объяснить - никак. Это ведь один из постулатов. А вот сделать определенные утверждения о том как симметрии ограничивают тем самым допустимый вид сил - запросто. Силы должны зависеть от инвариантных для соответствующих симметрий величин. Типа $|\vec r_i - \vec r_j|$ . Как просили, не совсем строго и полно - на пальцах.

Давайте не путать постулат и следствие из него. Я спросил о том, как показать, что 2-й и 3-й законы Ньютона следуют из постулата об относительности? И это, разумеется, можно показать.

А про инвариантность ... Вы говорите ровно то, что мы приняли за основу в нашем подходе. Более того, точнее, чем на пальцах, Вы этого не сделаете ... без применения подхода, рассматриваемого нами в этой теме.

myhand · 03/03/10 ∞ 4558