Волновая функция и аналитические функции от гиперчисел

[Time]

ИгорЪ в сообщении #269346 писал(а):

К тому же отвергаете предельные переходы и принцип соответствия.

Я не отвергаю предельных переходов и вполне принимаю их там, где речь идет о плавных изменениях чего-то там при плавных изменениях варьируемого параметра. В данном случае при плавных изменениях в величине скорости света группа симметрий пространства Минковского никак не меняется. Изменения происходят внезапно и скачком лишь когда величина скорости света принимается равной бесконечности. Но в этом случае перед нами уже и не пространство Минковского, а самое настоящее пространство Галилея. На мой вгляд о притворстве в непонимании очевидных вещей нужно говорить не применительно ко мне, а к кое кому другому.

ИгорЪ в сообщении #269346 писал(а):

Жалко видимо финслеризм, понравилось знаете ли.

А Вы попробуйте отделять мои личные качества от самой финслеровой геометрии. Независимо от того, имеются ли основания для моей правоты или нет. Я это направление не приватизировал, а среди финслероистов такая бездна различных направлений, что мало - точно не покажется. Другое дело, что для того что бы в них сориентироваться и выбрать единственно правильный путь потребуется, и хороший труд, и хорошая интуиция. Искренне желаю успехов на этом нелегком пути Многие на плутания потратили целую жизнь..

ИгорЪ в сообщении #269346 писал(а):

Рассмотрим сферу радиуса . Группа есть группа её движений. Устремим радиус в бесконечность. Сфера станет плоскостью, ну а группа перейдёт в евклидову группу - группу движений плоскости. Вычисления элементарны. Что здесь непонятного или неправильного?

Пример хороший. Наглядный и простой. Я и сам хотел его привести, но вы опередили. При этом он, скорее, говорит против вашей позиции в отношении предельного перехода по бесконечной скорости света.
При рассмотрении геометрии связанной с поверхностью двумерной сферы речь идет о двумерной римановой геометрии постоянной кривизны. У этого пространства полная группа движений трехпараметрическая и действительно связана с $SO(3)$. При увеличении радиуса кривизны с этой группой ничего не происходит вплоть до перехода к бесконечной величине радиуса. При этом техпараметрическая группа $SO(3)$ распадается на однопараметрическую $SO(2)$ и двухпараметрическую группу трансляций. Но это только в том случае, если к итоговой евклидовой плоскости не добавлять бесконечноудаленной точки. Вместе с ней, группу трансляций вместе с $SO(2)$ можно по-прежнему считать все той же $SO(3)$, то есть, ничего кардинального при переходе к бесконечному радиусу не произошло. Да и геометрия как была римановой до увеличения радиуса, так ею и осталась. В рассматриваемом же нами случае предполагаемого перехода от Минковского к Галилею скачком меняется именно метрика, что особенно явно видно в двумерном случае (по-видимому вы инстинктивно чувствуете тут опасность и усиленно обходите мою просьбу о двумерных примерах стороной), в котором двумерный Минковский имеет второй порядок метрики, а двумерный Галилей - первый, причем и по временнОй и по единственной пространственной координате также. Я вообще хочу заметить, что физики крайне неохотно соглашаются обсуждать особые свойства двумерного псевдоевклидова или псевдориманова пространств. А жаль, давно бы все встало на свои места.. Причем вопрос наличия или отсутствия предельного перехода от группы движений квадратичной метрики Минковского к унарной двумерной метрике Галилея - всего лишь самый безобидный и простой. Это мы с вами еще не затрагивали конформных групп обеих геометрий. Вот бы где стоило с пользой потратить время и силы... Ну, да видно, не судьба

[ИгорЪ]

Time в сообщении #269407 писал(а):

Но в этом случае перед нами уже и не пространство Минковского, а самое настоящее пространство Галилея.

Слава богу, это вы видите, остается понять чем плох предельный переход если значение предела функции никогда не равно значению этой функции. Вы это понимаете говоря слова

Time в сообщении #269407 писал(а):

Изменения происходят внезапно и скачком лишь когда величина скорости света принимается равной бесконечности.

или что то другое? Но это ведь обычное дело в мат. анализе! $f(x)=1/x$ например по вашему "скачком" переходит в ноль в пределе бесконечного аргумента и пользоваться этим запрещено?

[Time]

ИгорЪ в сообщении #269433 писал(а):

Слава богу, это вы видите,

Я это видел и знал задолго до нашего с вами диалога.

ИгорЪ в сообщении #269433 писал(а):

Но это ведь обычное дело в мат. анализе! например по вашему "скачком" переходит в ноль в пределе бесконечного аргумента и пользоваться этим запрещено?

Вы привели не равнозначный пример. Тут как раз все впорядке. А вот в отношении поведения группы движений в рассматриваемом нами выше случае применима, скорее, аналогия не с функцией $f(x)=1/x$, а c $f(x)=a$ при $x<c$ и $f(x)=b$ при $x>c$. Или иными словами, в точке $c$ функция $f(x)$ имеет разрыв.
Еще раз предлагаю внимательно рассмотреть пример двумерных пространства Минковского и двумерного пространства Галилея. Чем вам этот частный случай перехода не нравится?

[ИгорЪ]

Понятно, значит вы спорили за непрерывность. У нас то в преобразованиях лоренца функция обычная, $f(x)=\sqrt{1-(v/x)^2}$ никаких разрывов при стремлении $x$ в бесконечность. Так что тоже всё в порядке. В двумерии всё тоже самое.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #269467 писал(а):

Понятно, значит вы спорили за непрерывность.

Это - правда, но, как обычно, не вся.
Я пытаюсь вам говорить не просто об отсутствии непрерывности, но в отношении таковой применительно к группе конкретных симметрий. Эта группа не зависит от того, какую конкретно величину имеет скорость света (если та не нулевая и конечна). Она определяется метрической функцией, которая принципиально не меняется при изменении $c$ и меняется скачком, если от конечной величины скорости света перейти к бесконечной. А вы, почему-то, аппелируете к формальному виду преобразований координат (кстати, почему бу не посмотреть заодно и на преобразования скоростей?). Посмотрите, с чего начался спор. Не знаю как вы, а я с самого начала говорил о невозможности предельного перехода между группами симметрий двух пространств, имеющих метрические функции связанные с разными величинами "арности".

ИгорЪ в сообщении #269467 писал(а):

У нас то в преобразованиях лоренца функция обычная, никаких разрывов при стремлении в бесконечность. Так что тоже всё в порядке.

Меня не сильно волнует формальный вид преобразований координат (хотя он также у пространств с различными типами метрик - принципиально разный). Я говорил о несводимости друг к другу (ни по какому параметру) групп симметрий пространств с различными типами метрических функций. Это существенно иной признак, чем закон преобразования координат. Вспомните эрлангенскую программу Клейна. Если у двух геометрий наблюдаются одни и те же группы симметрий, то это не две геометрии, а одна. За дословность, естественно, не ручаюсь, но смысл, полагаю, передан верно.

ИгорЪ в сообщении #269467 писал(а):

В двумерии всё тоже самое.

Двумерие я предлагаю рассматривать, прежде всего, для того, что бы бросился в глаза первая степень метрической формы как по временнОй координате, так и по пространственной. В трех-, и в четырехмерном Минковском пространственные координаты образуют не унарную, а квадратичную форму и это иногда сбивает с толку.. Попробуйте не спорить, а посмотреть с карандашиком.. На всякий случай, еще раз повторюсь: смотрите не на преобразования координат, а на вид фундаментальной метрической формы одной и другой геометрий. Суть в них, а не в чем-то другом..

[ИгорЪ]

Эк вы расплывчато изъясняетесь.

Time в сообщении #269501 писал(а):

Я пытаюсь вам говорить не просто об отсутствии непрерывности, но в отношении таковой применительно к группе конкретных симметрий.

это что значит, можете точную формулировку дать?
1. Группу можно рассматривать вообще как самостоятельное понятие, без всяких метрик, и осуществлять вполне определенную операцию предельного перехода, переводящую её в другую группу. Я привёл достаточно доводов на этот счет. В ответ вы про какие то скачки говорите, не определяя и не показывая их. Вам не нравится что есть такая операция? Ничего не могу поделать. Читайте, например главу 13 http://www.physics.drexel.edu/~bob/LieGroups.html, но проще сказать что в книгах пишут неправду.
2. По поводу метрик. Разве в вашей книге не используется предельный переход? Формула 1.2.35 есть по сути разложение квадратного корня=релятивисткого случая при устремлении скорости света в бесконечность. Т.е. метрическая функция Галилея получена разложением в ряд по $1/c$ релятивистской метрической функции. Как собственно сделано и у ЛЛ2.
3. Разумеется при этом группы неизоморфны и метрики разные. Никто не говорит что это изоморфизм. Это операция позволяющая исследовать разные группы, строить представления одних зная представления других и т.д. В частности например квантовые группы Пуанкаре были построены так, поскольку стандартный способ к ним не подходит.
Если вы захотите ещё поспорить, излагайте ваши доводы конкретно с доказательствами.

[Someone]

Вообще-то, я не очень понимаю спора о предельных переходах. Можно многими способами определить вполне разумный предельный переход в множестве групп. Рассмотрим множество всех матриц вида

$$\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_{tt}&\lambda_{tx}&\lambda_{ty}&\lambda_{tz}&t_0\\ \lambda_{xt}&\lambda_{xx}&\lambda_{xy}&\lambda_{xz}&x_0\\ \lambda_{yt}&\lambda_{yx}&\lambda_{yy}&\lambda_{yz}&y_0\\ \lambda_{zt}&\lambda_{zx}&\lambda_{zy}&\lambda_{zz}&z_0\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}\text{.}$$

Это множество является двадцатимерным линейным пространством над полем действительных чисел $\mathbb R$ (последнюю строку нужно игнорировать, поскольку там во всех матрицах стоят одни и те же числа).
Множество матриц с ненулевым определителем является всюду плотным открытым подмножеством этого пространства. Кроме того, это множество является также группой. Эта группа действует на пространстве $\mathbb R^4$ следующим образом:

$$\begin{pmatrix}t\\ x\\ y\\ z\\ 1\end{pmatrix}=\Lambda\begin{pmatrix}t'\\ x'\\ y'\\ z'\\ 1\end{pmatrix}\text{.}$$

Группу Пуанкаре можно рассматривать как (замкнутую) подгруппу этой группы. Конкретные выражения элементов матрицы содержат параметр, который обычно называют скоростью света и обозначают буквой $c$. Насколько я знаю, сейчас этот параметр предпочитают называть скоростью распространения фундаментальных взаимодействий.
Для разных значений параметра $c$ получаются разные подгруппы, хотя они все изоморфны друг другу. При $c\to\infty$ эти подгруппы во вполне разумном смысле стремятся к некоторой предельной подгруппе.

(Оффтоп)

ИгорЪ в сообщении #268651 писал(а):

Someone в сообщении #268586 писал(а):

Насколько я понимаю, псевдоримановы многообразия всегда снабжаются обычной (хаусдорфовой) топологией, и обычным образом определяется гладкость, а риманова метрика или псевдометрика - это дополнительная структура на многообразии, не использующаяся при определении топологии.

Где то так, говорят математические физики, но вот так

AlexDem в сообщении #268588 писал(а):

Если топология не согласуется с метрикой - какой в ней смысл, можно определить любую.

жмут плечами математики.

Тут есть некоторая пикантность. Дело в том, что я никакой не "математический физик", а самый что ни ни есть чистый математик. Специалист в теоретико-множественной топологии.

То, что физики называют метрикой, с точки зрения тополога может вовсе не быть метрикой, потому что у топологов своё определение метрики, а у физиков - своё. Правда, встречаются разнообразные обобщения (псевдометрики, полуметрики, симметрики и т.п.; терминология не очень устоявшаяся и может меняться от автора к автору), но это в топологии экзотика, а в физике я их не встречал. С точки зрения тополога, метрика на множестве $X$ - это функция $\rho\colon X\times X\to\mathbb R$, удовлетворяющая следующим условиям:
1) $\rho(x,y)\geqslant 0$; $\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$;
2) $\rho(y,x)=\rho(x,y)$;
3) $\rho(x,z)\leqslant\rho(x,y)+\rho(y,x)$ (неравенство треугольника).
Если условие $\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ заменить условием $\rho(x,x)=0$, то получится определение псевдометрики. Другие обобщения получаются путём различных ослаблений перечисленных условий, но, повторюсь, в топологии это экзотика (кроме, может быть, псевдометрик).

$n$-мерным топологическим многообразием называется (обычно связное) топологическое пространство $X$, локально гомеоморфное пространству $\mathbb R^n$. Это означает, что для каждой точки пространства $X$ найдётся окрестность этой точки, гомеоморфная открытому подмножеству пространства $\mathbb R^n$.
Поэтому топология на многообразии задаётся независимо от метрики. Топологическое многообразие не обязано быть хаусдорфовым. Если оно хаусдорфово, то оно регулярно. (Добавление. Подумал и засомневался. Простого доказательства не вижу, контрпримеров тоже не знаю. Вдруг неверно?) Кажется, есть примеры хаусдорфовых, но не нормальных многообразий (точно не помню). Совершенно точно есть не паракомпактные и не метризуемые.
Затем на топологическом многообразии можно определять различные дополнительные структуры: метрику (в топологическом смысле), гладкость, риманову метрику или псевдометрику (это не то же самое, что псевдометрика в топологическом смысле) и т.д..

[Time]

Someone в сообщении #269582 писал(а):

Вообще-то, я не очень понимаю спора о предельных переходах. Можно многими способами определить вполне разумный предельный переход в множестве групп.

Затянувшийся выше спор касался не просто групп аффинных преобразований, для которых, собственно, и метрика не нужна, а вопроса наличия или отсутствия предельного перехода между группами движений определенных классов метрических пространств, в частности, пространства Минковского и Галилея. Свою позицию (если, конечно, хотите быть в контексте спора, а не просто имете желание высказать некое абстрактное утверждение) Вы должны были бы высказать в отношении того, существует ли передельный переход между группой движений одного метрического пространства и другого. При этом я специально раз пять просил своего оппонента приводить примеры не для четырехмерных, а для двумерных случаев, но он (как и Вы) как будто не замечает этой просьбы. Если б прислушались, то и писать формулы было бы легче, и до возможного консенсуса, быть может, добрались бы быстрее. Попробую сформулировать прямой вопрос. Давайте рассмотрим две метрики. Двумерную Минковского:
$s^2=c^2t^2-x^2$
и двумерную Галилея:
$s=ct$ для всех времениподобных интервалов и
$s=x$ для всех пространственноподобных интервалов.
Скажите, пожалуйста, имеется ли предельный переход между группой движений первого пространства и группой движений второго? При желании можно сузить вопрос, связав его конкретно со значением скорости света, равной бесконечности.
На всякий случай добавлю, что для пространства со второй метрикой матричные представления группы движений - избыточны, а порядок метрической формы - первый.

-- Чт дек 10, 2009 10:11:53 --

ИгорЪ в сообщении #269564 писал(а):

Эк вы расплывчато изъясняетесь.

Как умею..

ИгорЪ в сообщении #269564 писал(а):

можете точную формулировку дать?

Наш спор я понимаю как поиск ответа, имеется ли предельный переход между группами движений пространства Минковского и пространства Галилея при одинаковой размерности обоих.

ИгорЪ в сообщении #269564 писал(а):

1. Группу можно рассматривать вообще как самостоятельное понятие, без всяких метрик, и осуществлять вполне определенную операцию предельного перехода, переводящую её в другую группу.

Можно рассматривать группы аффинных преобразований. Тут метрика, действительно, непричем. Но мы с вами начали наш спор именно с рассмотрения групп движений двух метрических (в широком понимании метрики, естественно) пространств. Давайте этого момента и придерживаться.

ИгорЪ в сообщении #269564 писал(а):

В ответ вы про какие то скачки говорите, не определяя и не показывая их.

Я и пояснял свою позицию, и примеры приводил. Просто, вы смотрите совсем в другую сторону. Сейчас тоже самое. Зачем-то, вместо групп движдений метрическийх пространств стали говорить о всей группе аффинных преобразований. Может сразу к произвольным тогда уж перейдем?

ИгорЪ в сообщении #269564 писал(а):

но проще сказать что в книгах пишут неправду

Полагаю, что в хороших книгах именно правда написана. Просто не нужно правду, найденную для одной ситуации выдавать за правду для совсем другой. Выше вы именно так и попытались сделать, перейдя от вопроса связи групп движений метрических пространств к связям внутри групп аффинных преобразований. Это существенно разные группы.

Time в сообщении #269713 писал(а):

2. По поводу метрик. Разве в вашей книге не используется предельный переход? Формула 1.2.35 есть по сути разложение квадратного корня=релятивисткого случая при устремлении скорости света в бесконечность. Т.е. метрическая функция Галилея получена разложением в ряд по релятивистской метрической функции. Как собственно сделано и у ЛЛ2.

Снова лихая подмена. Выше мы говорили о таком понимании пространства Галилея, в котором индикатриса (гиперповерхность концов единичных векторов) является гиперплоскостью, а вы внезапно в качестве "опровергающего" примера стали приводить пространство с совсем иной метрической функцией. Финслерово пространство с метрикой вытекающей из формулы 1.2.35 имеет совсем иную индикатрису. Более того, оно не относится к классу финслеровых пространств, в которых справедливы аксиомы скалярного полипроизведения. Как с такими работать я лично вообще не знаю, вернее, кое что знаю, но не разделяю оптимизма по поводу такого "умения". Более того, я даже не знаю группы движений этого пространства. Ну разве что только ее подгруппу в виде трансляций. А вы знаете?
Ну и, наконец, почему вы все время книгу Гарасько именуете моей? Я имею к ней весьма косвенное отношение и предупреждал, что далеко не со всеми ее утверждениями согласен.

ИгорЪ в сообщении #269564 писал(а):

3. Разумеется при этом группы неизоморфны и метрики разные. Никто не говорит что это изоморфизм. Это операция позволяющая исследовать разные группы, строить представления одних зная представления других и т.д.

Следует ли первое предложение вставки понимать так, что утверждение о предельном переходе между неизоморфными метриками Минковского и Галилея, а также между связанными с ними группами движений (с чего и начался этот подзатянувшийся спор) вами снимается?
Что касается различных приемов при исследованиях разных групп я ничего против них и не выдвигал, особенно, если иметь в виду не группы движений метрических пространств, а всевозможные группы.

ИгорЪ в сообщении #269564 писал(а):

Если вы захотите ещё поспорить, излагайте ваши доводы конкретно с доказательствами.

Как мне лучше ответить: "слушаюсь" или "есть"?

[ИгорЪ]

Если в матрице двумерной группы Лоренца

$$\Lambda=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}&\frac{v}{\sqrt{1-(v/c)^2}}&\\\frac{v/c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}} &\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\end{pmatrix}\text{.}$$

устремить скорость света в бесконечность, получится матрица двумерной группы Галилея

$$\Lambda=\begin{pmatrix}1&v&\\0 &1\end{pmatrix}\text{.}$$

-- Чт дек 10, 2009 12:47:39 --

ИгорЪ в сообщении #269801 писал(а):

Следует ли первое предложение вставки понимать так, что утверждение о предельном переходе между неизоморфными метриками Минковского и Галилея, а также между связанными с ними группами движений (с чего и начался этот подзатянувшийся спор) вами снимается?

А вы полагаете что неизоморфные объекты не могут быть связаны предельным переходом? Выше пример.

[ИгорЪ]

Someone
Получается что "метрике" минковского нет места в тех метриках которые вы перечислили в топологии? Она просто дополнительный объект? Нет причин беспокоится за неединственность пределов?
Ну и с неравенствами треугольников та же история? Извините за массу вопросов.

[AlexDem]

ИгорЪ, а где Вы слышали или читали о нехаусдорфовости пр-ва Минковского, или это какой-то широко известный и не стоящий упоминания в книгах факт? Нашёл сейчас книгу А.В.Чернавский "Лекции по дифференциальной геометрии I. Многообразия", там немного рассматриваются вопросы ограничений многообразий на топологию. Раньше ничего не мог найти в этом направлении.

[ИгорЪ]

Да если честно я увидел, что "шары" в метрике Минковского пересекаются всегда и заподозрил нехаусдорфовость, почитал немного Фоменко, посоветовался с одним великим топологом, ну и вроде уверился в этом. А поскольку занялся физикой, встала задача о физ. смысле этого факта. Вот в квантовой механике, кстати галилеевский случай тоже нехаусдорфов, а она на галилее строится, есть волновые свойства, неопределенность и т.д. там вопрос однозначности предела видимо этими свойствами забивается. Но в релятивистском случае мне кажется возникает вновь в вопросах расходимостей и перенормировок, а также в схожей теории фазовых переходов. Но это только догадки. Книгу посмотрю, спаибо. Ваши тексты требуют времени, так что пока вчитываюсь.

[Someone]

Time в сообщении #269713 писал(а):

Вы должны были бы высказать в отношении того, существует ли передельный переход между группой движений одного метрического пространства и другого.

Видите ли, в такой постановке сам вопрос о предельном переходе является бессмысленным. Невозможно говорить о предельном переходе одного, фиксированного объекта в другой, не равный ему объект. Нужно, чтобы было семейство объектов. И чтобы на этом семействе было определено понятие предела.
Рассмотрим, например, группу Пуанкаре. Говорить о пределе этой группы самой по себе бессмысленно. Однако мы можем определить действие элементов этой группы на пространстве $\mathbb R^4$ той формулой, которую я приводил выше, не выписывая конкретных выражений элементов матрицы. Если их выписать, то в них будет содержаться некий параметр $c$. Классическая механика этого параметра не содержит, и, чтобы получить классическую механику как предельный случай релятивистской, от этого параметра нужно избавиться. Смысл параметра $c$ в релятивистской механике - универсальная скорость распространения взаимодействий. В классической механике взаимодействия распространяются мгновенно, поэтому устремляем $c\to\infty$. И действие элементов группы Пуанкаре превращается в действие элементов группы Галилея. Здесь предельный переход является осмысленным, поскольку имеется семейство объектов (действий элемента группы Пуанкаре на $\mathbb R^4$, различающихся величиной параметра $c$) и имеется достаточно естественное понятие предела на этом семействе.

Time в сообщении #269713 писал(а):

Давайте рассмотрим две метрики. Двумерную Минковского:
$s^2=c^2t^2-x^2$
и двумерную Галилея:
$s=ct$ для всех времениподобных интервалов и
$s=x$ для всех пространственноподобных интервалов.

Нехорошо у Вас про метрику Галилея сказано. Параметра $c$ в ней не должно быть, поскольку в классической механике его нет. И.М.Яглом (Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. "Наука", Москва, 1969. Стр. 51) определяет иначе: расстояние между точками $A_1(t_1,x_1)$ и $A_2(t_2,x_2)$ как $d(A_1,A_2)=|t_2-t_1|$, а для случая $t_1=t_2$ определяет особое расстояние $\delta(A_1,A_2)=|x_2-x_1|$ (У Яглома другие обозначения).
Определим метрику Минковского как $s(A_1,A_2)=\sqrt{\left|(t_2-t_1)^2-\frac{(x_2-x_1)^2}{c^2}\right|}$ и при $c\to\infty$ получим то, что у Яглома.

Time в сообщении #269713 писал(а):

имеется ли предельный переход между группой движений первого пространства и группой движений второго?

Чем двумерный случай хуже четырёхмерного?

ИгорЪ в сообщении #269833 писал(а):

Получается что "метрике" минковского нет места в тех метриках которые вы перечислили в топологии? Она просто дополнительный объект? Нет причин беспокоится за неединственность пределов?
Ну и с неравенствами треугольников та же история? Извините за массу вопросов.

Ну, если "шар" в метрике Минковского определить как

$$\{(t,x,y,z)\in\mathbb R^4:|c^2(t-t_0)^2-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2-(z-z_0)^2|<R^2\}\text{,}$$

то, подбирая такие "шары", можно получить ограниченное открытое множество (в обычной евклидовой метрике). Поэтому эти "шары" порождают ту же самую топологию, что и обычные шары. Но использовать метрику Минковского в определении предела напрямую неудобно, поскольку она не обладает нужными для этого свойствами.
С точки зрения топологии ситуация с многообразиями такая, как я описал. Первичной структурой является топология, а всё остальное - это дополнительные структуры, определённым образом согласованные с топологией и друг другом. Что думают по этому поводу физики, я не знаю. Расстановка приоритетов может быть другой.

[AlexDem]

К физикам тогда один вопрос - куда девали метрику?!

[ИгорЪ]

Someone в сообщении #270047 писал(а):

подбирая такие "шары", можно получить ограниченное открытое множество (в обычной евклидовой метрике)

это я не понял, можно подробнее?