Задача о двух материальных точках

[PapaKarlo]

Nemorozov в сообщении #238095 писал(а):

PapaKarlo в сообщении #237906 писал(а):

В уравнении нет сил, действующих на стержень, поскольку уравнение описывает движение системы, в которую стержень не входит.

Что значит нет сил. Если они не учтены в уравнениях, это еще не значит, что их нет.

Если написано "в уравнении нет сил, действующих на стержень", это означает преимущественно только одно: в уравнение не входят величины, которые называются "силы, действующие на стержень". В это уравнение не входят еще многие другие величины, например, сила притяжения Солнца к Земле. Но из этого странно делать вывод, что Солнце не притягивается к Земле. Обдумайте это "сложное" рассуждение и сравните с Вашим, а также с тем, что я писал об отсутствии сил, действущих на стержень.

Nemorozov в сообщении #238095 писал(а):

Если проиходит деформация пружин, концы которых прикреплены к стержню, значит есть и силы, действующие на стержень. И если Геронимус их не учел, то закон движения масс m1 и m2, полученный из уравнений не будет соответствовать реальному поведению системы.

Хуже того - поскольку тела с массами $m_1$ и $m_2$ притягиваются к ядру Галактики, и эти силы Геронимус тоже не учел, то изначально весь учебник Геронимуса выеденного яйца не стоит - ведь в нем нигде не учитываются силы притяжения к ядру Галактики.

Предложение: Вы учитываете все, что считаете нужным, получаете решение, проводите натурный эксперимент и излагаете результаты. Глядишь, споры вокруг ничего и прекратятся...

[anik]

PapaKarlo в сообщении #238125 писал(а):

Предложение: Вы учитываете все, что считаете нужным, получаете решение, проводите натурный эксперимент и излагаете результаты. Глядишь, споры вокруг ничего и прекратятся...

По поводу натурного эксперимента, вы читали этот текст?

anik в сообщении #237715 писал(а):

Представьте себе, что нам захотелось экспериментально проверить поведение колечек и стержня в задаче Геронимуса. Посмотрите на его рисунок, и подумайте, как реально это осуществить. Сразу возникает вопрос: этот стержень с колечками и пружинками находится в невесомости? Тогда он изолирован. Если мы пытаемся провести этот эксперимент в лаборатории, то стержень с колечками просто упадёт на пол. Нам придётся его как минимум держать руками за его концы или закрепить его конец с какой-либо опорой, связанной с Землёй. (Та самая штриховка, о которой я неоднократно упоминал). И это не "выдуманные мною правила". Но как только мы физически закрепим стержень, со стержнем уже будет связана масса Земли, и говорить о влиянии внутренних сил на движение центра масс в этом случае становится бессмысленным.

Как по-вашему можно осуществить натурный эксперимент?

[ewert]

PapaKarlo в сообщении #238125 писал(а):

Хуже того - поскольку тела с массами $m_1$ и $m_2$ притягиваются к ядру Галактики, и эти силы Геронимус тоже не учел, то изначально весь учебник Геронимуса выеденного яйца не стоит - ведь в нем нигде не учитываются силы притяжения к ядру Галактики.

Фактически всё ещё гораздо, гораздо хуже: галактик-то ведь много. И любой учебник, не учитывающий хоть один элемент из множества галактик -- немедленно фтопку!

[PapaKarlo]

ewert в сообщении #238166 писал(а):

Фактически всё ещё гораздо, гораздо хуже: галактик-то ведь много. И любой учебник, не учитывающий хоть один элемент из множества галактик -- немедленно фтопку!

Я просто не хотел нагнетать атмосферу оголтелого пессимизма...

anik в сообщении #238155 писал(а):

По поводу натурного эксперимента, вы читали этот текст?

Да.

anik в сообщении #238155 писал(а):

Как по-вашему можно осуществить натурный эксперимент?

Решение этого вопроса я отдаю на откуп экспериментатору.

[Антипка]

PapaKarlo в сообщении #238204 писал(а):

anik в сообщении #238155 писал(а):

Как по-вашему можно осуществить натурный эксперимент?

Решение этого вопроса я отдаю на откуп экспериментатору.

Могу предложить вариант. В Испаниии недалеко от г. Салоу в местечке Порт-Авентура есть некий объект, можно сказать, тренажер для космонавтов, обеспечивающий практически свободный полёт в течение ~4c. Презачётная, я вам доложу, вещица. Вход - свободный, правда платный, но в одну цену входит практически неограниченной число подходов. Экспериментследует проводить так: в исходной точке экспериментатор держит в одной (вытянутой) руке макет устройства, в дрогой - камеру, на которую снимает всё, происходящее с макетом. Как только вытянутая рука почувствует, что макет "потерял вес", просто разжать пальцы на этой руке и начать съемку.

[PapaKarlo]

Антипка в сообщении #238212 писал(а):

ход - свободный, правда платный, но в одну цену входит практически неограниченной число подходов.

Последнее особо важно для набора статистики. Nemorozov, anik, у вас есть поле для экспериментальной деятельности! За точным адресом лаборатории - к Антипка.

[anik]

PapaKarlo в сообщении #238204 писал(а):

anik в сообщении #238155 писал(а):

Как по-вашему можно осуществить натурный эксперимент?

Решение этого вопроса я отдаю на откуп экспериментатору.

Роль экспериментатора взял на себя Антипка, обратите внимание на его текст:

Антипка в сообщении #238212 писал(а):

Могу предложить вариант. В Испаниии недалеко от г. Салоу в местечке Порт-Авентура есть некий объект, можно сказать, тренажер для космонавтов, обеспечивающий практически свободный полёт в течение ~4c. Презачётная, я вам доложу, вещица. Вход - свободный, правда платный, но в одну цену входит практически неограниченной число подходов. Экспериментследует проводить так: в исходной точке экспериментатор держит в одной (вытянутой) руке макет устройства, в дрогой - камеру, на которую снимает всё, происходящее с макетом. Как только вытянутая рука почувствует, что макет "потерял вес", просто разжать пальцы на этой руке и начать съемку.

Вам не кажется, что Антипка предполагает, что стержень с колечками должен находиться в невесомости и в момент съёмки стержень ни с чем не связан, т.е. представляет собой изолированную систему? А вы говорите, что Геронимус не утверждал, что система изолирована. Как тут быть?

[ewert]

anik в сообщении #238237 писал(а):

Вам не кажется, что Антипка предполагает,

Нам не кажется. Однако что кажется: что те тавромахии могли бы быть и хоть чуток добросовестнее, предложив клиэнтам ну хоть какую страховку. Ну хоть даже тем же колечкам.

[anik]

ewert в сообщении #238241 писал(а):

anik в сообщении #238237 писал(а):

Вам не кажется, что Антипка предполагает,

Нам не кажется. Однако что кажется: что те тавромахии могли бы быть и хоть чуток добросовестнее, предложив клиэнтам ну хоть какую страховку. Ну хоть даже тем же колечкам.

Вы что, пьяны?

[PapaKarlo]

anik в сообщении #238237 писал(а):

Как тут быть?

Сухари сушить. Что еще остается?

anik в сообщении #238254 писал(а):

Вы что, пьяны?

Просто почти всем уже надоело переливать из пустого в порожнее, вот народ и прикалывается. Вы не заметили?

[ewert]

Не знаю, не в курсе. Однако обращаю внимание: Вы уж как минимум несколько недель не выдаёте в этой ветке ничего осмысленного. Вся Ваша аргументация сводится к тому, что "да, штриховка, но, конечно не штриховка, которая штриховка, и, следовательно, штриховкой не является, почему она штриховка и есть" и т.д.

У меня предложение -- из чистого альтруизму: почему бы Вам не запостить тут ну хоть чего физического?... Ну хоть ради развлечения?...

[Антипка]

anik в сообщении #238237 писал(а):

Вам не кажется, что Антипка предполагает, что стержень с колечками должен находиться в невесомости и в момент съёмки стержень ни с чем не связан, т.е. представляет собой изолированную систему? А вы говорите, что Геронимус не утверждал, что система изолирована. Как тут быть?

anik, я воспринимаю ситуацию исключительно с ваших слов. Вы обрисовали ситуацию, я подсказал, как вам быть. А что там у Геронимуса написано, я не знаю (кстати, фамилия какая-то латинская, вам не кажется?). Может, у Геронимуса там стержень в стену замурован - я не знаю. Я так понял, что лично вы хотите провести эксперимент со стержнем в состоянии невесоости - вот и подсказал вам вариант.

[anik]

Это сообщение было мною откорректировано по замечанию muninа. Вместо функции $-\cos$, Везде было ошибочно написано$\sin$

anik в сообщении #236541 писал(а):

На закреплённый горизонтально гладкий стержень насажены два колечка с различными массами, связанные пружиной. Колечки и пружина могут скользить по стержню без трения. Пружина сжимается и фиксируется, а затем, в момент времени $t = 0$ отпускается. Как будут двигаться колечки, если суммарный импульс этой системы колечек с пружиной в лабораторной СО равен нулю?
Какая точка на витках пружины будет оставаться неподвижной относительно стержня?
Указание: массой пружины и сопротивлением воздуха пренебречь.
В принципе, это задача изолированной системы двух масс, связанных пружиной, с нулевым начальным кинетическим моментом.
Кто-нибудь может привести решение этой задачи?
Придираться, конечно, легче. Если эту задачу никто не решит, то я сам приведу её решение.

Никто не привёл решение этой задачи, сославшись на её примитивность. Приведу собственное решение.
Введём обозначения:
$V$ – скорость движения центра масс $C$,
$V_1$ – скорость движения колечка с массой $m_1$,
$V_2$ – скорость движения колечка с массой $m_2$,
$T$ – кинетическая энергия системы,
$P$ – потенциальная энергия пружины,
$l$ – длина ненапряжённой пружины,
$S_{12}(t)$ – расстояние между колечками.
Возможны следующие случаи:
1.$V =0, T = 0,$ т.е. система неподвижна.
2.$V = 0, T \neq 0, S_{12}(t) = F(t),$ колечки колеблются относительно центра масс.
3.$V - const, T \neq 0, S_{12}(t) - const,$ система движется равномерно как единое целое.
4.$V - const, T \neq 0, S_{12}(t) = F(t)$ комбинированный случай 2. и 3.
Случаи 1. и 3. тривиальные.
Рассмотрим случай 2. Здесь нам нужно найти значение функции $F(t)$.
Внешние силы, которые могли бы действовать на систему, это силы тяжести. Но векторы сил тяжести направлены вертикально, т.е. нормально к стержню, и скомпенсированы силами реакции со стороны стержня. В горизонтальном направлении внешних сил нет.
Таким образом, равнодействующая внешних сил, приложенных к системе, равна нулю и мы можем считать, что система двух колечек и пружины изолирована.
В этом случае можно воспользоваться теоремой: «если внешние силы отсутствуют, то центр масс системы движется как материальная точка в том случае, когда на неё не действуют никакие силы; следовательно, он или остаётся неподвижным или движется прямолинейно и равномерно».
Зададим начальные условия движения. Сожмём пружину на величину $\Delta l$ и зафиксируем её, например, нитью. Сделаем так, чтобы два колечка с пружиной стали неподвижны относительно стержня. В момент времени $t = t_0$ освободим пружину от связи. В соответствии с приведённой теоремой, центр масс системы двух колечек останется неподвижным относительно стержня. Свяжем с центром масс колечек начало системы отсчёта. Эта система отсчёта неподвижна относительно лабораторной системы отсчёта, поэтому является инерциальной (в той мере, насколько можно считать инерциальной систему отсчёта, связанную с поверхностью Земли). Ось $OX$ этой системы отсчёта направим вдоль стержня в сторону колечка с массой $m_2$.
Давайте здесь немного порассуждаем. Что произойдёт, если мы освободим пружину от связи, например, пережжём нить? Совершенно очевидно, что при этом оба колечка придут в ускоренное движение, это же покажет эксперимент. Поэтому, если бы мы связали систему отсчёта с одним из колечек, то эта система отсчёта пришла бы в ускоренное движение относительно системы отсчёта, связанной с поверхностью Земли. Следовательно, одна из систем отсчёта оказалась бы неинерциальной. Очевидно, что неинерциальной окажется система отсчёта связанная с колечком. И сколько бы мы не оговаривали (или не уговаривали), что система отсчёта связанная с одним из колечек неподвижна, неподвижной на самом деле относительно ИСО она не станет, более того, она движется относительно ИСО с ускорением!
Одним из путей решения этой задачи, есть сведение задачи движения двух материальных точек к задаче о движении одной материальной точки. Заметим, что неподвижной относительно стержня оказывается точка на витках пружины, совпадающая с центром масс системы двух колечек (точнее, та точка на витке пружины, где виток пружины пересекается с плоскостью, нормальной к стержню и пересекающей стержень в центре масс). Разделим пружину в этой точке (центр масс) на две части, с жёсткостями $k_1$ и $k_2$. Теперь можно рассмотреть колебания каждого колечка отдельно: колечко с массой $m_1$ колеблется на пружине с жёсткостью $k_1$ и ненапряжённой длиной $l_1$; колечко с массой $m_2$ колеблется на пружине с жёсткостью $k_2$ и ненапряжённой длиной $l_2$. Эти пружины соединены одними концами с колечками, а другие концы пружин находятся в центре масс, т.е. неподвижны.
Решение этих задач рассмотрены во многих учебниках, и нет смысла здесь приводить их решение. Запишу сразу результат:
$ \left\{ \begin{array}{l} x_2 = S_{C2} + \Delta x_2 \cos \sqrt \frac {k_2}{m_2} t,\\ x_1 = -S_{C1} - \Delta x_1 \cos \sqrt \frac {k_1}{m_1} t, \end{array} \right. (1)$
1.Найдём жёсткости частей пружины $k_1$ и $k_2$ от центра масс до колечек $m_1$ и $m_2$ соответственно. Жёсткость всей пружины обозначим буквой $k$.
$ \left\{ \begin{array}{l} k_1m_2 - k_2 m_1 = 0,\\ k = \frac{k_1k_2}{k_1 + k_2}, \end{array} \right. $ решение этой системы: $ \left\{ \begin{array}{l} k_1 = \frac{k(m_1 + m_2)}{m_2},\\ k_2 = \frac{k(m_1 + m_2)}{m_1}, \end{array} \right. (2)$
2. Выразим $\Delta x_1$ и $\Delta x_2$, входящие в (1), через $\Delta l$:
$ \left\{ \begin{array}{l} k_1\Delta x_1 - k_2\Delta x_2 = 0,\\ \Delta x_1 + \Delta x_2 = \Delta l, \end{array} \right. $ решение этой системы: $ \left\{ \begin{array}{l} \Delta x_1 = \frac{k_2\Delta l}{k_1 + k_2},\\ \Delta x_2 = \frac{k_1\Delta l}{k_1 + k_2}, \end{array} \right. (3)$
3. Найдём $k_1 + k_2$, входящий в знаменатель (3), используя (2):

$k_1 + k_2 = \frac{k(m_1 + m_2)^2}{m_1m_2}$

4. Подставим $\Delta x_1$ и $\Delta x_2$ из (3) в уравнения (1), а также $k_1$ и $k_2$ из (2) получим:
$ \left\{ \begin{array}{l} x_2 = S_{C2} + \frac{\Delta lm_2}{m_1 + m_2} \cos \sqrt \frac {k(m_1 + m_2)}{m_1m_2} t,\\ x_1 = -S_{C1} - \frac{\Delta lm_1}{m_1m_2} \cos \sqrt \frac {k(m_1 + m_2)}{m_1m_2} t, \end{array} \right. (4)$
Мы видим, что колечки колеблются с одинаковой частотой в противофазе, амплитуды колебаний у них различные.
5. Заметим, что если вычесть из координаты $x_2$ координту $x_1$, то мы получим расстояние между точками как функцию времени $S_{12}(t)$, сделаем это
S_{12}(t) = l + \Delta l \cos \sqrt \frac {k(m_1 + m_2)}{m_1m_2} t,$ (5)
Это и есть искомая функция $S_{12}(t) = F(t)$.
$\Delta l$ - амплитуда колебаний, $\frac{k(m_1 + m_2}{m_1m_2}$ - круговая частота.
Если эти два колечка освободить от стержня и поместить в инерциальное простанство, то при условии, что $H = 0$, две массы связанные пружиной будут колебаться по закону (5), причём, линия, проходящая через массы $m_1$ и $m_2$ , будет сохранять неизменным направление в инерциальном пространстве.
Комбинированный случай 4. Колебание плюс равномерное и прямолинейное движения центра масс, мы рассматривать не будем, это элементарно.

[jetyb]

anik в сообщении #238448 писал(а):

3.$V - const, T \neq 0, S_{12}(t) - const,$ система движется равномерно как единое целое.
4.$V - const, T \neq 0, S_{12}(t) = F(t)$ комбинированный случай 2. и 3.

Центр масс системы движется с постоянной скоростью. Круто!
Я такое даже представить не могу.

anik, в качестве экперимента попробуйте сделать модель системы, оттянуть два шарика влево и понаблюдать за центром масс.

[ewert]

anik в сообщении #238448 писал(а):

Разделим пружину в этой точке (центр масс) на две части, с жёсткостями $k_1$ и $k_2$. Теперь можно рассмотреть колебания каждого колечка отдельно: колечко с массой $m_1$ колеблется на пружине с жёсткостью $k_1$ и ненапряжённой длиной $l_1$; колечко с массой $m_2$ колеблется на пружине с жёсткостью $k_2$ и ненапряжённой длиной $l_2$

Это никакое не решение. Как связаны Ваши замечательные $k_1$, $k_2$ и $k$ с фактическими жёсткостями $c_1$, $c_2$ и $c$, даными по условию задачи? Да и длины $l_1$, $l_2$ не имеют ничего общего с условием задачи. Короче: не система у Вас свободна, а Ваш поток сознания -- абсолютно свободен и не стеснён никакими размышлениями.