Это сообщение было мною откорректировано по замечанию
muninа. Вместо функции
, Везде было ошибочно написано
На закреплённый горизонтально гладкий стержень насажены два колечка с различными массами, связанные пружиной. Колечки и пружина могут скользить по стержню без трения. Пружина сжимается и фиксируется, а затем, в момент времени
отпускается. Как будут двигаться колечки, если суммарный импульс этой системы колечек с пружиной в лабораторной СО равен нулю?
Какая точка на витках пружины будет оставаться неподвижной относительно стержня?
Указание: массой пружины и сопротивлением воздуха пренебречь.
В принципе, это задача изолированной системы двух масс, связанных пружиной, с нулевым начальным кинетическим моментом.
Кто-нибудь может привести решение этой задачи?
Придираться, конечно, легче. Если эту задачу никто не решит, то я сам приведу её решение.
Никто не привёл решение этой задачи, сославшись на её примитивность. Приведу собственное решение.
Введём обозначения:
– скорость движения центра масс
,
– скорость движения колечка с массой
,
– скорость движения колечка с массой
,
– кинетическая энергия системы,
– потенциальная энергия пружины,
– длина ненапряжённой пружины,
– расстояние между колечками.
Возможны следующие случаи:
1.
т.е. система неподвижна.
2.
колечки колеблются относительно центра масс.
3.
система движется равномерно как единое целое.
4.
комбинированный случай 2. и 3.
Случаи 1. и 3. тривиальные.
Рассмотрим случай 2. Здесь нам нужно найти значение функции
.
Внешние силы, которые могли бы действовать на систему, это силы тяжести. Но векторы сил тяжести направлены вертикально, т.е. нормально к стержню, и скомпенсированы силами реакции со стороны стержня. В горизонтальном направлении внешних сил нет.
Таким образом, равнодействующая внешних сил, приложенных к системе, равна нулю и мы можем считать, что система двух колечек и пружины изолирована.
В этом случае можно воспользоваться теоремой: «если внешние силы отсутствуют, то центр масс системы движется как материальная точка в том случае, когда на неё не действуют никакие силы; следовательно, он или остаётся неподвижным или движется прямолинейно и равномерно».
Зададим начальные условия движения. Сожмём пружину на величину
и зафиксируем её, например, нитью. Сделаем так, чтобы два колечка с пружиной стали неподвижны относительно стержня. В момент времени
освободим пружину от связи. В соответствии с приведённой теоремой, центр масс системы двух колечек останется неподвижным относительно стержня. Свяжем с центром масс колечек начало системы отсчёта. Эта система отсчёта неподвижна относительно лабораторной системы отсчёта, поэтому является инерциальной (в той мере, насколько можно считать инерциальной систему отсчёта, связанную с поверхностью Земли). Ось
этой системы отсчёта направим вдоль стержня в сторону колечка с массой
.
Давайте здесь немного порассуждаем. Что произойдёт, если мы освободим пружину от связи, например, пережжём нить? Совершенно очевидно, что при этом оба колечка придут в ускоренное движение, это же покажет эксперимент. Поэтому, если бы мы связали систему отсчёта с одним из колечек, то эта система отсчёта пришла бы в ускоренное движение относительно системы отсчёта, связанной с поверхностью Земли. Следовательно, одна из систем отсчёта оказалась бы неинерциальной. Очевидно, что неинерциальной окажется система отсчёта связанная с колечком. И сколько бы мы не оговаривали (или не уговаривали), что система отсчёта связанная с одним из колечек неподвижна, неподвижной на самом деле относительно ИСО она не станет, более того, она движется относительно ИСО с ускорением!
Одним из путей решения этой задачи, есть сведение задачи движения двух материальных точек к задаче о движении одной материальной точки. Заметим, что неподвижной относительно стержня оказывается точка на витках пружины, совпадающая с центром масс системы двух колечек (точнее, та точка на витке пружины, где виток пружины пересекается с плоскостью, нормальной к стержню и пересекающей стержень в центре масс). Разделим пружину в этой точке (центр масс) на две части, с жёсткостями
и
. Теперь можно рассмотреть колебания каждого колечка отдельно: колечко с массой
колеблется на пружине с жёсткостью
и ненапряжённой длиной
; колечко с массой
колеблется на пружине с жёсткостью
и ненапряжённой длиной
. Эти пружины соединены одними концами с колечками, а другие концы пружин находятся в центре масс, т.е. неподвижны.
Решение этих задач рассмотрены во многих учебниках, и нет смысла здесь приводить их решение. Запишу сразу результат:
1.Найдём жёсткости частей пружины
и
от центра масс до колечек
и
соответственно. Жёсткость всей пружины обозначим буквой
.
решение этой системы:
2. Выразим
и
, входящие в (1), через
:
решение этой системы:
3. Найдём
, входящий в знаменатель (3), используя (2):
4. Подставим
и
из (3) в уравнения (1), а также
и
из (2) получим:
Мы видим, что колечки колеблются с одинаковой частотой в противофазе, амплитуды колебаний у них различные.
5. Заметим, что если вычесть из координаты
координту
, то мы получим расстояние между точками как функцию времени
, сделаем это
(5)
Это и есть искомая функция
.
- амплитуда колебаний,
- круговая частота.
Если эти два колечка освободить от стержня и поместить в инерциальное простанство, то при условии, что
, две массы связанные пружиной будут колебаться по закону (5), причём, линия, проходящая через массы
и
, будет сохранять неизменным направление в инерциальном пространстве.
Комбинированный случай 4. Колебание плюс равномерное и прямолинейное движения центра масс, мы рассматривать не будем, это элементарно.