Задача о двух материальных точках

[Munin]

anik в сообщении #238448 писал(а):

Возможны следующие случаи:
...
3.$V - const, T \neq 0, S_{12}(t) - const,$ система движется равномерно как единое целое.
4.$V - const, T \neq 0, S_{12}(t) = F(t)$ комбинированный случай 2. и 3.

И вам даже не приходит в голову, что эти варианты противоречат условиям:

anik в сообщении #236541 писал(а):

Как будут двигаться колечки, если суммарный импульс этой системы колечек с пружиной в лабораторной СО равен нулю?

Минус балл.

anik в сообщении #238448 писал(а):

Случаи 1. и 3. тривиальные.

Нет анализа, при каких условиях будет иметь место 1, а при каких 2. Минус полбалла.

anik в сообщении #238448 писал(а):

Сожмём пружину на величину $\Delta l$ и зафиксируем её, например, нитью.

В условиях не было указано способа фиксации. Если вы его конкретизируете, то должны объяснить, что не уменьшаете тем самым общности рассмотрения. Минус полбалла.

anik в сообщении #238448 писал(а):

Свяжем с центром масс колечек начало системы отсчёта. Эта система отсчёта неподвижна относительно лабораторной системы отсчёта, поэтому является инерциальной (в той мере, насколько можно считать инерциальной систему отсчёта, связанную с поверхностью Земли).

Не начало системы отсчёта, а начало отсчёта. Система отсчёта та же самая. Помарка, минус 0,1 балла.

anik в сообщении #238448 писал(а):

Заметим, что неподвижной относительно стержня оказывается точка на витках пружины, совпадающая с центром масс системы двух колечек (точнее, та точка на витке пружины, где виток пружины пересекается с плоскостью, нормальной к стержню и пересекающей стержень в центре масс).

Метод полагается на однородность пружины по длине, не оговорённую в условиях, и потому недостаточно общий. Минус полбалла. За остроумие (использован не стандартный метод рассмотрения) можно накинуть балл.

anik в сообщении #238448 писал(а):

Решение этих задач рассмотрены во многих учебниках, и нет смысла здесь приводить их решение. Запишу сразу результат:
$ \left\{ \begin{array}{l} x_2 = S_{C2} - \Delta x_2 \sin \sqrt \frac {k_2}{m_2} t,\\ x_1 = -S_{C1} + \Delta x_1 \sin \sqrt \frac {k_1}{m_1} t, \end{array} \right. (1)$

Результат записан в недостаточно общем виде: в более общем под синусом стоит ещё и начальная фаза. Это не помарка, а ошибка: начальные условия (пружина сжата, колечки неподвижны) несовместимы с нулевой начальной фазой, а требуют начальной фазы $\pi/2.$ Таким образом, минус целый балл.

anik в сообщении #238448 писал(а):

Найдём жёсткости частей пружины $k_1$ и $k_2$ от центра масс до колечек $m_1$ и $m_2$ соответственно. Жёсткость всей пружины обозначим буквой $k$.
$ \left\{ \begin{array}{l} k_1m_2 - k_2 m_1 = 0,\\ k = \frac{k_1k_2}{k_1 + k_2}, \end{array} \right. $

Откуда берётся система, не показано. Минус полбалла.

anik в сообщении #238448 писал(а):

Мы видим, что колечки колеблются с одинаковой частотой в противофазе

Неверная логика. Именно из условий разделения системы на две подсистемы должно было следовать равенство фаз, и оно должно было быть наложено как внешнее условие на выбор решений для движения отдельных колечек; а из решений этого вывода сделать нельзя. Минус полбалла.

anik в сообщении #238448 писал(а):

Если эти два колечка освободить от стержня и поместить в инерциальное простанство, то при условии, что $H = 0$, две массы связанные пружиной будут колебаться по закону (5), причём, линия, проходящая через массы $m_1$ и $m_2$ , будет сохранять неизменным направление в инерциальном пространстве.

В механике нет понятия "инерциальное пространство", величина $H$ не была введена, всё это рассуждение не относится к условиям задачи. Минус 0,3 балла.

За (почти) правильное решение 5 баллов.

Итого: 5-1-0,5-0,5-0,1-0,5+1-1-0,5-0,5-0,3=1,1 балла.

Весьма неважнецки.

-- 27.08.2009 17:11:42 --

ewert в сообщении #238474 писал(а):

Это никакое не решение. Как связаны Ваши замечательные $k_1$, $k_2$ и $k$ с фактическими жёсткостями $c_1$, $c_2$ и $c$, даными по условию задачи?

Идите перечитайте условие задачи, которую человек решает (а не которую вы запомнили). Там одна фактическая жёсткость, в его обозначениях $k.$

[ewert]

Munin в сообщении #238475 писал(а):

Идите перечитайте условие задачи, которую человек решает (а не которую вы запомнили). Там одна фактическая жёсткость, в его обозначениях $k.$

Идите перечитайте сообщение. Я реагировал на его вариант задачи -- со свободным и невесомым стержнем. В другом мыслимом варианте (оригинальном) -- с закреплённым стержнем -- и обсуждать было бы нечего: решение было бы неверным просто потому, что в той системе не одна, а две свободных частоты. А вот в его варианте -- действительно одна. И её надо связать с исходными жёсткостями. И просто ссылкой на какую-то там таинственную эффективную жёсткость тут не отмахнёшься, её надо считать честно. Иначе решение сводится к одной строчке:

"Обозначим частоту колебаний $\omega$. Всё, мы её нашли -- и-и-й-э-с-с!"

[Munin]

ewert в сообщении #238477 писал(а):

Идите перечитайте сообщение. Я реагировал на его вариант задачи -- со свободным и невесомым стержнем.

А привёл он решение другой его задачи: с закреплённым стержнем, и не связанными с ним пружинами колечками. То есть имеется только одна пружина, от одного колечка до другого. Прочитать трудно?

[ewert]

Munin в сообщении #238480 писал(а):

А привёл он решение другой его задачи: с закреплённым стержнем, и не связанными с ним пружинами колечками.

Не сходится. Тогда ни о каких $k_1$ и $k_2$ вообще и речи быть не может. Просто два шарика на пружинке, и всё.

Munin в сообщении #238480 писал(а):

Прочитать трудно?

Очень трудно. Очень трудно читать бессвязный набор букв.

[anik]

ewert в сообщении #238474 писал(а):

Это никакое не решение. Как связаны Ваши замечательные $k_1$, $k_2$ и $k$ с фактическими жёсткостями $c_1$, $c_2$ и $c$, даными по условию задачи? Да и длины $l_1$, $l_2$ не имеют ничего общего с условием задачи. Короче: не система у Вас свободна, а Ваш поток сознания -- абсолютно свободен и не стеснён никакими размышлениями.

Вы что, проснулись? Вы какую задачу имеете в виду? Посмотрите на условия задачи, оно приведено в самом начале моего сообщения. Откуда вы взяли жёсткости $c_1, c_2, c_3$? Это уже не задача Геронимуса!

-- Чт авг 27, 2009 21:11:59 --

Munin в сообщении #238475 писал(а):

anik в сообщении #238448 писал(а):

Решение этих задач рассмотрены во многих учебниках, и нет смысла здесь приводить их решение. Запишу сразу результат:
$ \left\{ \begin{array}{l} x_2 = S_{C2} - \Delta x_2 \sin \sqrt \frac {k_2}{m_2} t,\\ x_1 = -S_{C1} + \Delta x_1 \sin \sqrt \frac {k_1}{m_1} t, \end{array} \right. (1)$

Результат записан в недостаточно общем виде: в более общем под синусом стоит ещё и начальная фаза. Это не помарка, а ошибка: начальные условия (пружина сжата, колечки неподвижны) несовместимы с нулевой начальной фазой, а требуют начальной фазы $\pi/2.$ Таким образом, минус целый балл.

Это единственное существенное замечание. Спасибо. Замените везде функцию $\sin$ на функцию $-\cos$, и всё встанет на свои места. Немного погодя я откорректирую решение своей задачи. (А баллы мне ставить не нужно, я не студент)

-- Чт авг 27, 2009 21:44:09 --

Munin в сообщении #238475 писал(а):

anik в сообщении #238448 писал(а):

Если эти два колечка освободить от стержня и поместить в инерциальное простанство, то при условии, что $H = 0$, две массы связанные пружиной будут колебаться по закону (5), причём, линия, проходящая через массы $m_1$ и $m_2$ , будет сохранять неизменным направление в инерциальном пространстве.

В механике нет понятия "инерциальное пространство", величина $H$ не была введена, всё это рассуждение не относится к условиям задачи. Минус 0,3 балла.

Цитата из книги: У. Ригли и др. "Теория,проектирование и испытание гироскопов" Стр.11
"Инерциальное пространство - это базовое пространство, в котором справедливы законы движения Ньютона. Оно предполагается невращающимся относительно "неподвижных звёзд", т.е. звёзд, настолько удалённых от Земли, что их движение измеряется черезвычайно малыми угловыми величинами или выявляется за длительные периоды времени. По этой причине для целей навигации расположение звёзд можно считать фиксированными в пространстве. При отсутствии внешних моментов вектор кинетического момента сохраняет постоянную ориентацию в инерциальном пространстве, обеспечивая тем самым базовое направление."
По поводу вектора $H$. Это обобщение решённой задачи. Можно было бы избавиться от стержня, поместив пружину с двумя массами в инерциальное пространство. Решение этой задачи было бы точно таким, при условии , что $H = 0$.

-- Чт авг 27, 2009 21:59:18 --

Munin в сообщении #238475 писал(а):

anik в сообщении #238448 писал(а):

Найдём жёсткости частей пружины $k_1$ и $k_2$ от центра масс до колечек $m_1$ и $m_2$ соответственно. Жёсткость всей пружины обозначим буквой $k$.
$ \left\{ \begin{array}{l} k_1m_2 - k_2 m_1 = 0,\\ k = \frac{k_1k_2}{k_1 + k_2}, \end{array} \right. $

Откуда берётся система, не показано. Минус полбалла.

Известно, что жёсткость пружины обратно пропорциональна её длине. Жёсткости пружин относятся между собои так же как и массы $m_1,m_2$. Составьте пропорцию и получите первое уравнение.
Известно, что чтобы посчитать жёсткость двух пружин, соединённых последовательно, мы должны складывать величины обратные жёскостям пружин. Видно вы мало перерешали задач.
Может быть объяснить ещё как решаются системы уравнений? Поставьте этих минус полбалла себе.

[Nemorozov]

Munin в сообщении #238475 писал(а):

В механике нет понятия "инерциальное пространство", величина $H$ не была введена, всё это рассуждение не относится к условиям задачи. Минус 0,3 балла.

"Инерциальное пространтсво" является одним из базовых понятий в функционировании навигационного оборудования летательных аппаратов, при расчетах траектории их полетов, ориентации в пространстве и т.д. Правда, не всякое сознание (и особенно - ограниченное пространством ЛЛ и прочих Г) способно принять это.

[ewert]

anik в сообщении #238487 писал(а):

Вы что, проснулись? Вы какую задачу имеете в виду?

Мне -- не нужны бессмысленные буквосочетания. Нужен Вам ответ -- поставьте точно задачу. И сформулируйте осмысленный даже хотя бы подход к решению (я понимаю, что собственно решения просить от Вас наивно, но хоть намёк на решение и пусть даже хоть на постановку задачм). В противном случае -- так и будете заполнять экран случайными наборами пикселов, и получать в ответ аналогично.

Конкретно в данном случае: Вы можете доказать, что 2-й.З.Н. Вам неизвестен?

[anik]

anik в сообщении #238487 писал(а):

По поводу вектора $H$. Это обобщение решённой задачи. Можно было бы избавиться от стержня, поместив пружину с двумя массами в инерциальное пространство. Решение этой задачи было бы точно таким, при условии , что $H = 0$.

А как насчёт обобщения решённой задачи, при условии, что $H - const$?
Частным случаем такой задачи, является задача об изолированной системе двух материальных точек, связанных пружиной и вращающихся с постоянной угловой скоростью. Это задача была поставлена в самом начале. Эта задача весьма интересна, предлагаю заняться её решением.

[Nemorozov]

anik в сообщении #236935 писал(а):

Давайте вместе решать пример Геронимуса с двумя колечками, т.е. я буду решать, а желающие могут проверять и возражать если я не прав. Текст из книги я буду выделять цветом.
4. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий простой пример: вдоль гладкого горизонтального стержня ОА могут скользить два колечка с массами $m_1$ и $m_2$ (рис.51); их абсциссы

обозначим $x_1$ и $x_2$; они связаны с неподвижными концами О и А стержня и друг с другом невесомыми пружинами с жесткостями $c_1, c_2$ и $c$, причём ненапряжённые длины пружин равны $l_1, l_2$ и $l$. Найти движение обоих колечек и их центра инерции.
Дифференциальные уравнения движения центра инерции системы обоих колечек таково:
$M\ddot x_c = m_1\ddot x_1 + m_2\ddot x_2 = -c_1(x_1 - l_1) + c_2(l + l_1 - x_2).$
Мы не можем его решить, ибо оно содержит две неизвестные функции времени $x_1(t)$ и $x_2(t)$.
...
Почему в дифференциальное уравнение не входит жёсткость пружины $c$, в то время как длина этой пружины $l$ входит? Неужели движение системы не зависит от жёсткости пружины $c$?
Рассмотрим член $-c(x_1 - l_1)$. Запишем его так: $c_1(l_1 - x_1)$; выражение $(l_1 - x_1)$ означает деформацию пружины с длиной $l_1$, а член $c_1 (l_1 - x_1)$ есть сила, действующая на колечко $m_1$ со стороны пружины с жёсткостью $c_1$. Но ведь колечко $m_1$ связано со стержнем ОА не только пружиной $c_1$. Нужно учесть ещё деформации пружин с жёсткостями $c$ и $c_2$ и соответствующие им силы. Какие соображения будут по этому поводу?

Munin, подтвердите, ПОЖАЛУЙСТА, что отсутствие в уравнении Геронимуса жесткости пружины "с" НЕ влияет на закон движения центра инерции системы.

[ewert]

Nemorozov в сообщении #238643 писал(а):

Munin, подтвердите, ПОЖАЛУЙСТА, что отсутствие в уравнении Геронимуса жесткости пружины "с" НЕ влияет на закон движения центра инерции системы.

И не может влиять -- это уравнение НЕ описывает движение центра масс.

[master]

anik в сообщении #234076 писал(а):

Две изолированные материальные точки с известными массами и связаны между собой невесомой связью (нитка, резинка, пружинка и т.п.). Эта пара точек вращается с постоянной угловой скоростью.
Вопрос: вокруг какой точки будет вращаться эта пара? Т.е. где будет находиться мгновенный центр вращения?

Отвечу просто, все зависит от начального приложения сил, если изначално за одно и тоже время был задан сумарный импульс = 0, то центр будет вращения будет в центре масс. Иначе будет смещен к точке с меньшем импульсом. Если не знаем начальных условий найти цетр вращения можем только эксперементально.

[Nemorozov]

ewert в сообщении #238645 писал(а):

Nemorozov в сообщении #238643 писал(а):

Munin, подтвердите, ПОЖАЛУЙСТА, что отсутствие в уравнении Геронимуса жесткости пружины "с" НЕ влияет на закон движения центра инерции системы.

И не может влиять -- это уравнение НЕ описывает движение центра масс.

Геронимус записал "Дифференциальные уравнения движения центра инерции системы обоих колечек".

Однако, он не включил туда жесткость пружины "с". Вот я и прошу Мунина, подтвердить, что отсутствие в уравнении Геронимуса жесткости пружины "с" НЕ влияет на закон движения центра инерции системы.

Чего вам здесь не понятно?

[ewert]

Nemorozov в сообщении #238675 писал(а):

Геронимус записал "Дифференциальные уравнения движения центра инерции системы обоих колечек".

Нет. Там прямым текстом сказано, что, дескать, "мы не можем решить это уравнение". И именно потому, что это не отдельное уравнение, а часть системы. Из которой движения центра масс самого по себе исключить невозможно. Другими словами: "закона движения центра масс" в этой задачи -- не существует.

[Nemorozov]

ewert в сообщении #238679 писал(а):

Nemorozov в сообщении #238675 писал(а):

Геронимус записал "Дифференциальные уравнения движения центра инерции системы обоих колечек".

Нет. Там прямым текстом сказано, что, дескать, "мы не можем решить это уравнение". И именно потому, что это не отдельное уравнение, а часть системы. Из которой движения центра масс самого по себе исключить невозможно. Другими словами: "закона движения центра масс" в этой задачи -- не существует.

Если хоть одно уравнение системы записано неверно, то не имеет смысла решать всю систему!
Надеюсь вы не собираетесь опровергать этот факт?

[ewert]

Nemorozov в сообщении #238687 писал(а):

Если хоть одно уравнение системы записано неверно, то не имеет смысла решать всю систему!

А оно верно записано.