Задача о двух материальных точках

[Антипка]

ewert в сообщении #238679 писал(а):

... Другими словами: "закона движения центра масс" в этой задачи -- не существует.

Гы. Закон движения некоторой точки - это не более чем зависимость её координат от времени. То есть функция. И он (закон движения), безусловно, существует в данном случае. Другое дело, что из приведенного уравнения его действительно невозможно получить.

Nemorozov в сообщении #238675 писал(а):

Геронимус записал "Дифференциальные уравнения движения центра инерции системы обоих колечек".

Это уравнение не является полным. Т.е. оно не может быть однозначно решено само по себе, без добавления к нему ещё каких-либо уравнений. Т.е., по большому счёту, оно не является уравнением движения центра масс, поскольку закон движения центра масс системы из него получить невозможно.

Nemorozov в сообщении #238675 писал(а):

Однако, он не включил туда жесткость пружины "с". Вот я и прошу Мунина, подтвердить, что отсутствие в уравнении Геронимуса жесткости пружины "с" НЕ влияет на закон движения центра инерции системы.

Однако он включил туда неизвестные величины $x_1$ и $x_2$, законы изменения которых уже зависят от жесткости C. То есть, если составить ПОЛНУЮ систему уравнений, из которой закон движения центра масс системы может быть получен однозначно (что, кстати, Геронимус и делает несколькими строчками ниже), то жесткость C туда входит. Вы что, читать не умеете?

Nemorozov в сообщении #238566 писал(а):

"Инерциальное пространтсво" является одним из базовых понятий в функционировании навигационного оборудования летательных аппаратов, при расчетах траектории их полетов, ориентации в пространстве и т.д. Правда, не всякое сознание (и особенно - ограниченное пространством ЛЛ и прочих Г) способно принять это.

Не путайте науку механику с различными "околомеханическими" прикладными дисциплинами. В науке механике нет такого понятия - "инерциальное пространство".

anik в сообщении #238613 писал(а):

А как насчёт обобщения решённой задачи, при условии, что $H - const$?
Частным случаем такой задачи, является задача об изолированной системе двух материальных точек, связанных пружиной и вращающихся с постоянной угловой скоростью. Это задача была поставлена в самом начале. Эта задача весьма интересна, предлагаю заняться её решением.

anik, мы все тут просто горим желанием вам помочь. Но, к сожалению, штатный телепат этого форума в отпуске, а без него мы не можем понять, что такое "H" в вашей терминологии. Вам же munin уже писал, что вы не определили должным образом эту величину. Так что извините...

[anik]

Антипка в сообщении #238694 писал(а):

anik, мы все тут просто горим желанием вам помочь. Но, к сожалению, штатный телепат этого форума в отпуске, а без него мы не можем понять, что такое "H" в вашей терминологии. Вам же munin уже писал, что вы не определили должным образом эту величину. Так что извините...

$H$ это кинтический момент системы (момент количества движения), общепринятое обозначение.

[Антипка]

anik в сообщении #238711 писал(а):

$H$ это кинтический момент системы (момент количества движения), общепринятое обозначение.

Общепринятый у кого? В разных учебниках он обозначается по-разному. Это раз.
Ну а два - то, что в условиях переменного расстояния между грузами кинетический момент системы и угловая скорость вращения грузов не могут одновременно быть константами. Вы какую уз двух задач хотите решать? С постоянным кинетическим моментом или с постоянной угловой скоростью? А может обе? Только для начала вам было бы полезно освоить аппарат аналитической механики. Если уж не уравнения Лагранжа II рода, то общее уравнение динамики как минимум. Прочитайте соответствующие темы - и вперёд. Дерзайте. Заграница вам поможет.

[Munin]

ewert в сообщении #238481 писал(а):

Не сходится. Тогда ни о каких $k_1$ и $k_2$ вообще и речи быть не может. Просто два шарика на пружинке, и всё.

Отлично. Условие прочитали. Теперь прочитайте решение. $k_1$ и $k_2$ - новые величины, которые он вводит по ходу решения. Из условий вычисляющиеся.

Меня поражает, неужели прочитать так трудно?

-- 28.08.2009 19:34:56 --

Nemorozov в сообщении #238566 писал(а):

"Инерциальное пространтсво" является одним из базовых понятий в функционировании навигационного оборудования летательных аппаратов, при расчетах траектории их полетов, ориентации в пространстве и т.д.

Ну, я и говорил: в механике - нет. У вас тоже проблемы с чтением?

[ewert]

Munin в сообщении #238737 писал(а):

Отлично. Условие прочитали. Теперь прочитайте решение. $k_1$ и $k_2$ - новые величины, которые он вводит по ходу решения. Из условий вычисляющиеся.

Меня поражает, неужели прочитать так трудно?

Очень, очень трудно. Очень трудно читать простыню, содержание которой сводится к трём строчкам. Настолько трудно, что даже невозможно предположить, что постановка задачи была именно такой. Нельзя же подозревать собеседника в настолькой безграмотности, это невежливо.

[Munin]

anik в сообщении #238487 писал(а):

Это единственное существенное замечание.

Научитесь сначала задачи решать, тогда получите право разбирать, какие замечания существенные, какие нет.

anik в сообщении #238487 писал(а):

(А баллы мне ставить не нужно, я не студент)

То, что у вас нет студенческого билета, не значит, что вы чем-то хуже. Ваше решение хромает на все четыре ноги и нуждается в оценке - вот оно её и получило. Теперь учитесь делать хотя бы на 3, и с первого раза. Разумеется, на новых задачах, а не на этой же.

anik в сообщении #238487 писал(а):

Цитата из книги: У. Ригли и др. "Теория,проектирование и испытание гироскопов" Стр.11

Это не учебник механики.

anik в сообщении #238487 писал(а):

Можно было бы избавиться от стержня, поместив пружину с двумя массами в инерциальное пространство.

Вы глубоко заблуждаетесь в том, что туда можно что-то "поместить". И пока не изучите механики - лучше вам не пользоваться этим понятием.

anik в сообщении #238487 писал(а):

Известно, что жёсткость пружины обратно пропорциональна её длине. Жёсткости пружин относятся между собои так же как и массы $m_1,m_2$. Составьте пропорцию и получите первое уравнение.
Известно, что чтобы посчитать жёсткость двух пружин, соединённых последовательно, мы должны складывать величины обратные жёскостям пружин.

Вот это всё надо было написать в исходном решении. Считайте, что на "работе над ошибками" вы исправили минус полбалла.

anik в сообщении #238487 писал(а):

Видно вы мало перерешали задач.

Нет, я перерешал их достаточно, чтобы самому разобраться, откуда вы взяли ваши уравнения (иначе я бы обозначил их как ошибочные, и снял гораздо больше). Но отсутствие пояснений - это недостаток решения.

anik в сообщении #238487 писал(а):

Замените везде функцию $\sin$ на функцию $-\cos$, и всё встанет на свои места. Немного погодя я откорректирую решение своей задачи.

А вот тут, к сожалению, вы не исправили минус балл. Вы по-прежнему не стали записывать решения в общем виде, с фазой. Таким образом, минус полбалла остаётся.

anik в сообщении #238711 писал(а):

$H$ это кинтический момент системы (момент количества движения), общепринятое обозначение.

Общепринятым обозначением для этой величины является $L.$ Применяется ещё $M.$

[anik]

Сначала докажем, что если изолированная система двух масс, связанных пружиной вращается в инерциальном пространстве с постоянной угловой скоростью $\Omega$, то она будет вращаться вокруг центра масс системы.
Докажем, что центр вращения должен находиться на отрезке$S_{12}$.
Пружина действует на массы $m_1$ и $m_2$ так, что линии действия векторов сил взаимодействия $\bar{F_1}$ и $\bar{F_2}$ расположены на прямой, соединяющей массы $m_1$ и $m_2$ и центростремительные силы взаимодействия направлены к центру вращения. Отсюда следует, что центр вращения находится на линии, соединяющей массы $m_1$ и $m_2$ и этот центр находится где-то между этими массами.
Центр вращения $O$ делит отрезок $S_{12}$ в отношении $\lambda$ внутренним образом.
Найдём линейные скорости вращения точек $m_1$ и $m_2$ вокруг центра $O$.
$V_1=\Omega S_{O1}; V_2= \Omega S_{O2}$, причём: $\frac{S_{O1}} {S_{O2}}=\lambda $,
$\e\left\{\begin{array} {1} S_{O1} - \lambda S_{O2} = 0,\\ S_{O1}+ S_{O2} = S_{12}, \end{array} \right.$
$S_{O1} = \frac{\lambda S_{12}} {1+\lambda}$, $S_{O2} = \frac{S_{12}} {1+\lambda}$.
Чтобы растянуть пружину, нужно подействовать на неё с двух концов двумя силами, равными по модулю и противоположно направленными, что вполне согласуется с третьим законом Ньютона. Приравняем модули сил $F_1$ и $F_2$, получим:

$F_1 = m_1\Omega ^2S_{O1}; F_2 = m_2\Omega ^2S_{O2}$

Отсюда:

$m_1S_{O1} = m_2S_{O2}$

Из условия равенства сил взаимодействия по модулю следует, что центр вращения $O$ должен находиться в центре масс.

-- Сб авг 29, 2009 12:18:45 --

Munin в сообщении #238743 писал(а):

anik в сообщении #238487 писал(а):

Замените везде функцию $\sin$ на функцию $-\cos$, и всё встанет на свои места. Немного погодя я откорректирую решение своей задачи.

А вот тут, к сожалению, вы не исправили минус балл. Вы по-прежнему не стали записывать решения в общем виде, с фазой. Таким образом, минус полбалла остаётся.

Общее решение приводится, когда не заданы начальные условия. В данной задаче начальные условия заданы: пружина сжата на величину $\Delta l$, а затем, в момент времени $t = 0$ - отпущена. Приведённое решение соответствует начальным условиям задачи.

-- Сб авг 29, 2009 12:55:07 --

Антипка в сообщении #238713 писал(а):

...в условиях переменного расстояния между грузами кинетический момент системы и угловая скорость вращения грузов не могут одновременно быть константами. Вы какую уз двух задач хотите решать? С постоянным кинетическим моментом или с постоянной угловой скоростью? А может обе?

Я могу составить общие дифференциальные уравнения движения изолированной системы двух матеральных точек при условии, что эти точки взаимодействуют с произвольным модулем силы $F = F(t)$. Из этих уравнений (в частности для пружины) следует, что возможны два движения: вращение с неизменным расстоянием $S_{12}$ и вращение с колебаниями, когда расстояние между точками изменяется.
Замечу, что для изолированной системы двух материальных точек кинетический момент $\bar H$ всегда постоянен. Я хочу решать задачу с частным случаем вращения, когда угловая скорость $\Omega$ постоянна и расстояние между материальными точками тоже постоянно.

[Munin]

anik в сообщении #238883 писал(а):

Общее решение приводится, когда не заданы начальные условия. В данной задаче начальные условия заданы: пружина сжата на величину $\Delta l$, а затем, в момент времени $t = 0$ - отпущена. Приведённое решение соответствует начальным условиям задачи.

Если вы решение получаете самостоятельно - можно использовать заданные условия на этапе решения дифура. Если вы берёте готовое - нет. Замечание остаётся в силе, минус полбалла, как и раньше.

[anik]

Munin в сообщении #238892 писал(а):

Если вы решение получаете самостоятельно - можно использовать заданные условия на этапе решения дифура. Если вы берёте готовое - нет. Замечание остаётся в силе, минус полбалла, как и раньше.

Согласен, отнимайте у меня этих полбалла и проехали.

[anik]

anik в сообщении #238883 писал(а):

Замечу, что для изолированной системы двух материальных точек кинетический момент $\bar H$ всегда постоянен. Я хочу решать задачу с частным случаем вращения, когда угловая скорость $\Omega$ постоянна и расстояние между материальными точками тоже постоянно.

Что-то все приумолкли.
Приведу частное решение задачи изолированной системы двух материальных точек, взаимодействующих между собой с силой прямо пропорциональной расстоянию между этими точками, при заданном кинетическом моменте $H$ и постоянной угловой скорости вращения.
В случае с пружиной, нахождение расстояния $S_{12}$ требует решения уравнения четвёртой степени

$S_{12}^4 - lS_{12}^3 = \frac{(m_1 + m_2)H^2}{m_1m_2k}$

где $l$ длина пружины, $k$ -её жесткость, которое я не знаю как решить в общем виде.
Задача существенно упрощается, если рассмотреть вращение с учётом восстанавливающей силы, пропорциональной расстоянию $S_{12}$, действующей из центра вращения. Эту задачу мы и рассмотрим.
Сначала выразим угловую скорость вращения $\Omega$ через параметры системы.
$ \left\{ \begin{array}{l} m_1S_{C1} - m_2S_{C2} = 0,\\ S_{C1} + S_{C2} = S_{12}, \end{array} \right. $
отсюда,

$S_{C1} = \frac{m_2S_{12}}{m_1 + m_2}$

центробежная сила равна: $m_1 \Omega^2 S_{C1}$, подставляя значение $S_{C1}$, получим:

$F = \frac{m_1m_2S_{12}\Omega^2}{m_1 + m_2}$

Центростремительная сила равна: $kS_{12}$, где $k$ - коэффициент восстанавливающей силы. Имеем уравнение:

$kS_{12} = \frac{m_1m_2\Omega^2S_{12}}{m_1 + m_2}$ (*)

откуда находим:
$\Omega = \sqrt \frac{k(m_1 + m_2)}{m_1m_2}$
Мы видим, что угловая скорость вращения не зависит ни от расстояния между материальными точками, ни от кинетического момента. Замечательно то, что угловая скорость вращения численно равна частоте собственных колебаний системы (круговой частоте). Смотрите сообщение post238448.html#p238448 Отсюда можно предположить, что в случае вращения с колебаниями, частоты будут совпадать и мы получим эллипс, большая полуось которого будет неизменна по направлению в инерциальном пространстве.
Расстояние между точками можно получить, если выразить кинетический момент системы, через угловую скорость вращения и момент инерции.

$H = H_1 + H_2 = m_1S_{C1}^2\Omega + m_2S_{C2}^2\Omega$

Подставляя сюда значения $S_{C1}, S_{C2}$, получим:

$H = \frac{m_1m_2\Omega S_{12}^2}{m_1 + m_2}$

Из этой формулы выразим $\Omega$ и подставим в формулу $(*)$, окончательно получим:

$S_{12} = \sqrt[4]{\frac{(m_1 + m_2)H^2}{m_1m_2k}}$

Найдём потенциальную и кинетическую энергии системы.
Если мы домножим обе части формулы (*) на $\frac{S_{12}}{2}$, то получим:

$P = \frac{m_1m_2\Omega^2 S_{12}^2}{2(m_1 + m_2)}$

,
где $P$ - потенциальная энергия.
Найдем кинетическую энергию $T$:
$T = \frac{m_1V_1^2}{2} + \frac{m_2V_2^2}{2}, V_1 = \Omega S_{C1}, V_2 = \Omega S_{C2}$
Подставим значения для $S_{C1}, S_{C2}$, а также, значения $V_1, V_2$ в формулу для $T$, получим:

$T = \frac{m_1m_2\Omega^2 S_{12}^2}{2(m_1 + m_2)}$

Мы видим, что в случае вращения системы с постоянной угловой скоростью, кинетическая энергия движения системы равна потенциальной энергии взаимодействия.
Это ещё один замечательный факт!

[Munin]

anik в сообщении #239363 писал(а):

В случае с пружиной, нахождение расстояния $S_{12}$ требует решения уравнения четвёртой степени
$S_{12}^4 - lS_{12}^3 = \frac{(m_1 + m_2)H^2}{m_1m_2k}$

И откуда оно взялось?

anik в сообщении #239363 писал(а):

Центростремительная сила равна: $kS_{12}$, где $k$ - коэффициент восстанавливающей силы.

У вас что, длина ненапряжённой пружины равна нулю, что ли?

anik в сообщении #239363 писал(а):

откуда находим:
$\Omega = \sqrt \frac{k(m_1 + m_2)}{m_1m_2}$
Мы видим, что угловая скорость вращения не зависит ни от расстояния между материальными точками, ни от кинетического момента.

Этот результат физически абсурден: частицы могут вовсе не вращаться, а вашей формуле это противоречит.

По сути то, что вы рассмотрели, не реализуемо в виде пружины, а известно как трёхмерный осциллятор. Для него все перечисленные "замечательные факты" просто банальны.

[anik]

Munin в сообщении #239437 писал(а):

anik в сообщении #239363 писал(а):

Центростремительная сила равна: $kS_{12}$, где $k$ - коэффициент восстанавливающей силы.

У вас что, длина ненапряжённой пружины равна нулю, что ли?

Наверное, теперь вы разучились читать. Да, длина ненапряжённой "пружины" равна нулю, т.к.

anik в сообщении #239363 писал(а):

Задача существенно упрощается, если рассмотреть вращение с учётом восстанавливающей силы, пропорциональной расстоянию $S_{12}$, действующей из центра вращения. Эту задачу мы и рассмотрим.

Сила действует из центра вращения! Достаточно небольшого изменения расстояния \Delta S_{12}$, чтобы возникли силы взаимодействия.

-- Вт сен 01, 2009 18:04:54 --

Munin в сообщении #239437 писал(а):

anik в сообщении #239363 писал(а):

В случае с пружиной, нахождение расстояния $S_{12}$ требует решения уравнения четвёртой степени
$S_{12}^4 - lS_{12}^3 = \frac{(m_1 + m_2)H^2}{m_1m_2k}$

И откуда оно взялось?

Я не привёл вывод этого уравнения, поскольку всё равно не могу его решить в общем виде.

-- Вт сен 01, 2009 18:37:16 --

Munin в сообщении #239437 писал(а):

anik в сообщении #239363 писал(а):

откуда находим:
$\Omega = \sqrt \frac{k(m_1 + m_2)}{m_1m_2}$
Мы видим, что угловая скорость вращения не зависит ни от расстояния между материальными точками, ни от кинетического момента.

Этот результат физически абсурден: частицы могут вовсе не вращаться, а вашей формуле это противоречит.
По сути то, что вы рассмотрели, не реализуемо в виде пружины, а известно как трёхмерный осциллятор. Для него все перечисленные "замечательные факты" просто банальны.

Никакого физического абсурда я здесь не вижу. Мы рассматриваем задачу с ненулевым кинетическим моментом. При наличии кинетического момента "частицы не могут не вращаться". Просто, при малом кинетическом моменте мы будем иметь малое расстояние между точками, а угловая скорость будет одна и та же!
В том, что я рассмотрел нереализуемо в виде пружины, я согласен, но, ведь пружины и нет.
Прошу прощения за свою неосведомлённость, я не знаю что такое "трёхмерный осциллятор". Если можно, поясните.

[Munin]

anik в сообщении #239591 писал(а):

Да, длина ненапряжённой "пружины" равна нулю

И в чём смысл такой задачи, можете сказать?

anik в сообщении #239591 писал(а):

Я не привёл вывод этого уравнения, поскольку всё равно не могу его решить в общем виде.

Часто сложные уравнения и не надо решать, потому что задача решается другим способом. Но для этого надо видеть путь, по которому вы шли, чтобы подсказать, где свернули не туда.

anik в сообщении #239591 писал(а):

Никакого физического абсурда я здесь не вижу.

В пружине нулевой длины? А если её сжать, длина станет отрицательной?

anik в сообщении #239591 писал(а):

В том, что я рассмотрел нереализуемо в виде пружины, я согласен, но, ведь пружины и нет.

Тогда что вы вообще рассматриваете?

anik в сообщении #239591 писал(а):

Прошу прощения за свою неосведомлённость, я не знаю что такое "трёхмерный осциллятор". Если можно, поясните.

Частица в потенциале $k(x^2+y^2+z^2)/2.$ Это из абстрактной теоретической механики. В жизни такие ситуации встречаются там, где одну задачу, конкретную и сложно формулируемую, можно свести к другой, абстрактной и хорошо известной. Но при этом часто оказывается, что физический смысл, например, величин $x,y,z$ совсем другой.

[ewert]

anik в сообщении #239591 писал(а):

Да, длина ненапряжённой "пружины" равна нулю,

Это -- тривиальный случай, и движение будет происходить тривиально по эллипсам. Теперь рассмотрите нетривиальный -- когда та длина ненулевая.

[Munin]

ewert в сообщении #239712 писал(а):

Это -- тривиальный случай, и движение будет происходить тривиально по эллипсам.

Ну нельзя же вот так всё сразу выкладывать :-)