Заряженная жидкость на линейке.

[Зиновий]

photon писал(а):

Зиновий, а Вы не могли бы все-таки выложить (Вы говорите, что это все очень просто, так почему бы и нет) Ваши выкладки - не на словах, и не отсылая к учебнику, а выписать формулы прямо в форум, а?

Вы полагете, что мало бумаги исписано известными формулами и теперь я должен терять свое время на переписывание формул в и-нет?
Извините, я дал материал.
Указал как им пользоваться.
Готов проконсультировать по возникшим вопросам применения указанного материала.
Готов говорить о физических проблемах теории электричества.
А переписывать формулы и сканер умеет.

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

1. Вы хотите сказать, что "на кухне" уже заряжали электричеством провод с нулевым радиусом поперечного сечения?

Передергивать изволите? Я уже в третий (или четвертый) раз пишу, что пытаюсь разобрать с Вами случай $0 < r \ll L$. По простоте душевной полагаю, что в моем хозяйстве найдется 50 см провода сечением 0.5 мм, и он удовлетворяет этим условиям.

Зиновий писал(а):

2. Все основания для оценки и вычислений я Вам изложил.
Весь этот материал излагается во всех учебниках и переписывать его здесь у меня нет никакого желания.
...

Читал я Калашникова. Вы мне решение конкретной задачи покажите, пожалуйста. А общие формулы я и сам писать умею...

Зиновий писал(а):

Под "малыми расстояниями" Вы, полагаю, подразумеваете поверхностные явления, типа сил Вандервальса, но на эту тему, я пока говорить не готов.
Обычные же трудности решения краевой задачи, сегодня, легко решаются с помощью персональных компьютеров, решались и раньше нуждающимися в этом специалистами.
Если Вы захотите получить готовую формулу электрической емкости конечного куска провода, то я готов Вам ее предоставить.
Что касается принципиальной проблемы физики электрического заряда, то, как я Вам ранее уже сообщал, она остается нерешенной.
Я не понимаю, почему источником потока вектора электрического смещения куска заряженного провода является площадь его поверхности, а заряд, согласно расстановке сил и распределению потенциала, располагается в концах провода.
У меня нет ответа на этот парадокс.

В проводнике в статической ситуации заряд распределяется по поверхности (а не по площади поверхности, как Вы пишите -- я специально выделил). Концы -- частный случай поверхности. Поэтому Вы меня не опровергли. Специалисты решают -- Бог с ними. Мне бы самому научиться решать... Потому и обсуждаю с Вами.

Меня по прежнему не интересует емкость. По прежнему вопрос только один -- доказательное (с выкладками) распределение заряда в трехмерном стержне длинной $L$ и радиуса $r, \ 0 < r \ll L$. Если Вы считаете, что заряд "сольется" в концы -- пожалуйста, докажите это подсчетами для конечного положительного $r$.

[Аурелиано Буэндиа]

Л е м м а:
Для системы $n>2$ положительных зарядов на $[-a,a]$, расположенных в
точках

$$ x_1=-a, \ \ \ x_n=a $$

и $x_i$ удовлетворяющих условию (1)

$$ -a<x_i<x_k<a, $$

при $1<i<k<n$, существует только один минимум потенциальной энергии,
которая имеет вид:

$$ V^{(n-2)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{|x_i-x_k|}. $$

Доказательство:
Главная идея доказательства заключается в том, чтобы показать, что
для всех точек $x=(x_2,...,x_{n-1}) \in I^{n-2}$, где $I=(-a,a)$
удовлетворяющих условию (1), квадратичная форма

$$ \delta V^{(n-2)}=\sum_{i,k=2}^{n-1} \frac{\partial^2 V}{\partial x_i \partial x_k} \delta x_i \delta k_k $$

строго положительна. Это означает, что все стационарные точки,
которые могут появиться в задаче являются минимумами. Но с другой
стороны, для того чтобы существовало несколько минимумов должна
существовать хотябы одна стационарная точка, которая не является
минимумом. Таким образом для доказательства утверждения достаточно
доказать положительность формы $\delta V^{(n-2)}$.

Для удобства введем обозначения $\delta y_i=\delta x_{i+1}$, для
$i=\overline{1,n-2}$ (в дальнейшем будем обозначать число подвижных
зарядов $n-2$ через $N$) и запишем форму $\delta V^{(N)}$ в виде

$$ \delta V^{(N)}=\delta \widetilde{U} + \delta U^{(N)}, $$

где

$$ \delta \widetilde{U} = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{2}{|y_i-a|^3}+\frac{2}{|y_i+a|^3} \right)\delta y_i^2 $$

$$ \delta U^{(N)} = \sum_{i,k=1}^N h_{ik}^{(N)}\delta y_i \delta y_k, $$

при (2)

$$ h_{ik}^{(N)}=\left\{ \begin{array}{lc} -\alpha_{ik} & i\neq k \\ \displaystyle \sum_{s=1(i\neq s)}^N \alpha_{is}, & i=k, \end{array} \right. $$

где $\alpha_{ik}=\frac{2}{|y_i-y_k|^3}$. Докажем по индукции что все
$\delta V^{(N)}$ положительны. Достаточно тривиально показать, что
для одного заряда $(N=1)$ на интервале $y_1\in (-a,a)$ форма
$\delta V^{(1)}>0$. Теперь докажем, что $\delta V^{(N)}>0$ при условии, что
все $\delta V^{(M)}>0$, где $1 \leqslant M<N$.

Замечаем, что для того чтобы $\delta V^{(N)}$ было больше нуля
достаточно (но не необходимо!), чтобы $\delta U^{(N)}$ была
неотрицательной (в силу того, что $\delta \widetilde{U}>0$). Попутно
замечаем, что $\det|h_{ik}^{(N)}|=0$ в силу линейной зависимости
строк. Действительно, согласно (2)

$$ \sum_{k=1}^N h_{ik}^{(N)}=0, $$

для любого $i=\overline{1,N}$.

Теперь докажем, что все главные миноры матрицы гессиана
$h_{ik}^{(N)}$ неотрицательные. Для этого рассмотрим минор размера
$M\times M$, где $1\leqslant M <N$. Опять же, для того чтобы минор
был неорицательным достаточно (но не необходимо!), чтобы его форма
была положительной. Запишем его форму в виде

$$ \delta h^{(M)}=\sum_{i,k=1}^M h_{ik}^{(N)}\delta x_i \delta x_k = \delta U^{(M)} + \sum_{i=1}^M \sum_{s=M+1}^{N} \alpha_{is} \delta x_i \delta x_s. $$

Так как $\alpha_{is}>0$ и $\delta U^{(M)}>0$ при всех $M<N$, то
$\delta h^{(M)}>0$ для любого $1 \leqslant M<N$. Таким образом, все
главные миноры неотрицательны. Отсюда по теореме Сильвестра
получаем, что $\delta V^{(N)}>0$ для любого натурального $N$.
Утверждение доказано.

Т е о р е м а:
Для системы $n$ положительных зарядов на отрезке
$[-a,a]$ минимум потенциальной энергии существует и он единственный.

Доказательство:
Доказательство существования тривиально. Докажем единственность. При
$x_1\neq -a$ или $x_n\neq a$ не существует стационарных точек (это
тривиально) и, следовательно, нет минимумов. Таким образом минимум
может возникнуть только при $x_1=-a$, $x_n=a$, но в этом случае, как
следует из леммы, он единственный. Утверждение доказано.

[Dan_Te]

Зиновий не колется...

[незваный гость]

Аурелиано Буэндиа
Давайте попробуем применить это рассуждение к системе их четырех зарядов. У меня получилось расположение в точках $-a, -a \lambda, a \lambda, a$, где $\lambda = 4+3\sqrt2 -\sqrt{31 + 22\sqrt2}$. Энергия системы равна $\approx \frac{6.48444 q^2}{a} = 0.405277 \frac{Q^2}{a} $, где $Q$ -- суммарный заряд системы.

Я полагаю, что понял, в чем причина расхождения между непрерывным и дискретным зарядом. Непрерывный заряд требует равенства силы нулю (перпендикулярности напряженности поля) в каждой точке. Откуда и вывод $\rho'(x)=0\, \forall x$. В тоже время, для дискретных зарядов это условие должно выполнятся только в точках расположения зарядов, более того, для устойчивости вокруг заряда эта сила должна быть направлена к точке заряда. Производная просто не обязана существовать при переходе к пределу.

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

Вы полагете, что мало бумаги исписано известными формулами и теперь я должен терять свое время на переписывание формул в и-нет?
Извините, я дал материал.
Указал как им пользоваться.
Готов проконсультировать по возникшим вопросам применения указанного материала.
Готов говорить о физических проблемах теории электричества.
А переписывать формулы и сканер умеет.

Мне, например, неинтересны "физические проблемы теории электричества". Мне интересно конкретное решение конкретно этой задачи, с конкретными выкладками. Если оно у Вас есть, поделитесь им, пожалуйста. Ваша ссылка на материал -- это руководство по литературе вида: "вот вам алфавит, пишут ручкой, к завтрашнему дню, пожалуйста, по 'Войне и миру'".

[Фома]

Может я чего не уловил, но давайте вернемся к условию задачи (там 1D). Представим себе прямой горизонтальный желоб. Кладем в него один заряженный шарик. Очевидно шарик будет находится в положении равновесия в любой точке желоба. Потом кладем второй одноименно и для простоты одинаково заряженный шарик. Очевидно шарики остановятся в противоположных концах желоба. Кладем третий шарик. Он остановиться ровно посередине желоба, т.к. сила отталкивания от 2-х других булет одинакова. Этот мысленный эксперимент можно продолжать и дальше. Ответ - очевиден. Распределение зарядов вдоль желоба - равномерное. Или я не прав? Тогда в чем?

[незваный гость]

В выводе, что распределение будет равномерным (при $n$ большем 3). Пусть шарики эквидистантны. Рассмотрим предпоследний (с конца правого) шарик. Силы, действующие на него со стороны правого и левого соседей, компенсируются. Но слева имеется еще некоторое количество шариков, толкающих его вправо. (Ситуация аналогична и для остальных шариков).

Поэтому шарики сгущаются к краям, и более редки в центре. В тоже время, слишком много шариков в концах начинают выталкивать некрайних в центр -- закреплены-то только крайнии.

[Аурелиано Буэндиа]

незванный гость писал(а):

Я полагаю, что понял, в чем причина расхождения между непрерывным и дискретным зарядом.

Я думаю нет никакого расхождения и думаю, что Вы ошибаетесь когда говорите, что в случае дискретной системы из $n$ зарядов при переходе к пределу $n \to \infty$ получается ненулевая плотность на $(-a,a)$. При конечном полном заряде, разумеется. Но я пока это еще не доказал, но у меня есть косвенные тому подтверждения. Но пока я не возмусь утверждать наверняка.

[Фома]

Вы правы. Мое рассуждение верно было бы для для замкнутого в форме оружности желоба.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:

Зиновий писал(а):

1. Вы хотите сказать, что "на кухне" уже заряжали электричеством провод с нулевым радиусом поперечного сечения?

Передергивать изволите? Я уже в третий (или четвертый) раз пишу, что пытаюсь разобрать с Вами случай $0 < r \ll L$. По простоте душевной полагаю, что в моем хозяйстве найдется 50 см провода сечением 0.5 мм, и он удовлетворяет этим условиям.

Нет это Вы "передергиваете".
О каких "условиях" Вы ведете речь?
И с чего Вы решили, что при этом будет "бесконечная энергия"?

незванный гость писал(а):

Зиновий писал(а):

2. Все основания для оценки и вычислений я Вам изложил.
Весь этот материал излагается во всех учебниках и переписывать его здесь у меня нет никакого желания.
...

Читал я Калашникова. Вы мне решение конкретной задачи покажите, пожалуйста. А общие формулы я и сам писать умею...

Я дал вам ссылку на решение задачи конкретных конструкций электрических емкостей, включающее и цилиндрическую задачу.
Параграф 32, "Емкость простых конденсаторов".
Ничего нового я Вам не сообщу.
А заниматься перепиской материала предоставляю Вам, т.к. Вам это необходимо.
Если что будет неясно, готов дать разъяснения.

незванный гость писал(а):

Зиновий писал(а):

Под "малыми расстояниями" Вы, полагаю, подразумеваете поверхностные явления, типа сил Вандервальса, но на эту тему, я пока говорить не готов.
Обычные же трудности решения краевой задачи, сегодня, легко решаются с помощью персональных компьютеров, решались и раньше нуждающимися в этом специалистами.
Если Вы захотите получить готовую формулу электрической емкости конечного куска провода, то я готов Вам ее предоставить.
Что касается принципиальной проблемы физики электрического заряда, то, как я Вам ранее уже сообщал, она остается нерешенной.
Я не понимаю, почему источником потока вектора электрического смещения куска заряженного провода является площадь его поверхности, а заряд, согласно расстановке сил и распределению потенциала, располагается в концах провода.
У меня нет ответа на этот парадокс.

В проводнике в статической ситуации заряд распределяется по поверхности (а не по площади поверхности, как Вы пишите -- я специально выделил).

1. Если вас не затруднит, подскажите, где я написал, что "заряд распределяется по площади поверхности".
2. Хоть и не в тему, но объясните пожалуйста, в чем разница между "по площади поверхности" и "по поверхности"?
Может когда и пригодится...

незванный гость писал(а):

Концы -- частный случай поверхности.

Ну уж если на то пошло, то "концы" - это крайние точки линии.
Т.е. справа еще есть, а слева уже нет.
И наоборот.
У поверхности нет "концов".
У нее есть края.

незванный гость писал(а):

Поэтому Вы меня не опровергли.

А мне козалось, что Вы ничего и не утверждали, а только спрашивали.
Уточните пожалуйста, в чем я Вас "не опроверг"?

незванный гость писал(а):

Специалисты решают -- Бог с ними. Мне бы самому научиться решать... Потому и обсуждаю с Вами.

Так Вы ничего же не обсуждаете.
Предложенную физическую модель раскладки сил Вы проигнорировали.
Говорите, что не понимаете задачу и требуете от меня, что бы я Вам написал формулами ее решение.
Когда я предложил Вам готовые выводы решения, включая "формулы", то Вы написали, дословно, следующее "Читал я Калашникова. Вы мне решение конкретной задачи покажите, пожалуйста".
Уточните что Вы хотите понять?

незванный гость писал(а):

Меня по прежнему не интересует емкость. По прежнему вопрос только один -- доказательное (с выкладками) распределение заряда в трехмерном стержне длинной $L$ и радиуса $r, \ 0 < r \ll L$. Если Вы считаете, что заряд "сольется" в концы -- пожалуйста, докажите это подсчетами для конечного положительного $r$.

Подсчеты чего я Вам должен предложить?
Подсчеты того, что два одноименных заряда взаимоотталкиваются и будут разлетаться до тех пор покуда не упрутся в стенки?
Вам надо записать 2-ой закон Ньютона с законом Кулона в качестве действующей силы?
Уточните пожалуйста, что именно Вы хотите узнать от меня конкретно?

[незваный гость]

Против этого утверждения мне нечего возразить. Готов и сам под ним подписаться.

[Зиновий]

Dan_Te писал(а):

Зиновий не колется...

Зато курю и выпиваю в компании.

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

Уточните пожалуйста, что именно Вы хотите узнать от меня конкретно?

Распределение заряда в трехмерном стержне длинной $L$ и радиуса $r, \ 0 < r \ll L$. Еще проще -- какой заряд находится в отрезке длинной $L/2$ расположенном в середине стержня по длине (с доказательством, разумеется) -- эта величина уже давно является источником разногласий на форуме...

[Шимпанзе]

На мой взгляд, тут, что - то не то. Энергия линейки не определяется одной потенциальной энергией взаимодействия между зарядами. Сами заряды вне зависимости от их взаимного расположения имеют энергию. Аналогия с гравитационным полем в открытом пространстве, где тела «занимают» места в соответствии с минимум потенциальной энергией , видимо, здесь не приемлема. Заряды, можно сказать, «втиснуты» в линейку и о минимуме потенциальной энергии можно говорить только теоретически. Поэтому, на мой взгляд, остается открытым ранее заданный вопрос. Пусть суммарная энергия линейки, включая потенциальную от взаимодействия зарядов и их собственную равна W ( любая!) . Что можно сказать о распределении зарядов по длине линейки ? Если ваще что- то можно сказать…


Шимпанзе