2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ... 17  След.
 
 
Сообщение05.06.2006, 21:12 
Заблокирован


04/01/06

602
г. Москва, ФГУП НПО "Пульсар"
photon писал(а):
Зиновий, а Вы не могли бы все-таки выложить (Вы говорите, что это все очень просто, так почему бы и нет) Ваши выкладки - не на словах, и не отсылая к учебнику, а выписать формулы прямо в форум, а?

Вы полагете, что мало бумаги исписано известными формулами и теперь я должен терять свое время на переписывание формул в и-нет?
Извините, я дал материал.
Указал как им пользоваться.
Готов проконсультировать по возникшим вопросам применения указанного материала.
Готов говорить о физических проблемах теории электричества.
А переписывать формулы и сканер умеет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Зиновий писал(а):
1. Вы хотите сказать, что "на кухне" уже заряжали электричеством провод с нулевым радиусом поперечного сечения?


Передергивать изволите? Я уже в третий (или четвертый) раз пишу, что пытаюсь разобрать с Вами случай $0 < r \ll L$. По простоте душевной полагаю, что в моем хозяйстве найдется 50 см провода сечением 0.5 мм, и он удовлетворяет этим условиям.

Зиновий писал(а):
2. Все основания для оценки и вычислений я Вам изложил.
Весь этот материал излагается во всех учебниках и переписывать его здесь у меня нет никакого желания.
...

Читал я Калашникова. Вы мне решение конкретной задачи покажите, пожалуйста. А общие формулы я и сам писать умею...

Зиновий писал(а):
Под "малыми расстояниями" Вы, полагаю, подразумеваете поверхностные явления, типа сил Вандервальса, но на эту тему, я пока говорить не готов.
Обычные же трудности решения краевой задачи, сегодня, легко решаются с помощью персональных компьютеров, решались и раньше нуждающимися в этом специалистами.
Если Вы захотите получить готовую формулу электрической емкости конечного куска провода, то я готов Вам ее предоставить.
Что касается принципиальной проблемы физики электрического заряда, то, как я Вам ранее уже сообщал, она остается нерешенной.
Я не понимаю, почему источником потока вектора электрического смещения куска заряженного провода является площадь его поверхности, а заряд, согласно расстановке сил и распределению потенциала, располагается в концах провода.
У меня нет ответа на этот парадокс.

В проводнике в статической ситуации заряд распределяется по поверхности (а не по площади поверхности, как Вы пишите -- я специально выделил). Концы -- частный случай поверхности. Поэтому Вы меня не опровергли. Специалисты решают -- Бог с ними. Мне бы самому научиться решать... Потому и обсуждаю с Вами.

Меня по прежнему не интересует емкость. По прежнему вопрос только один -- доказательное (с выкладками) распределение заряда в трехмерном стержне длинной $L$ и радиуса $r, \  0 < r \ll L$. Если Вы считаете, что заряд "сольется" в концы -- пожалуйста, докажите это подсчетами для конечного положительного $r$.

 Профиль  
                  
 
 единственность минимума
Сообщение05.06.2006, 21:39 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Л е м м а:
Для системы $n>2$ положительных зарядов на $[-a,a]$, расположенных в
точках
$$
x_1=-a, \ \ \ x_n=a
$$
и $x_i$ удовлетворяющих условию (1)
$$
-a<x_i<x_k<a,
$$
при $1<i<k<n$, существует только один минимум потенциальной энергии,
которая имеет вид:
$$
V^{(n-2)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{|x_i-x_k|}.
$$

Доказательство:
Главная идея доказательства заключается в том, чтобы показать, что
для всех точек $x=(x_2,...,x_{n-1}) \in I^{n-2}$, где $I=(-a,a)$
удовлетворяющих условию (1), квадратичная форма
$$
\delta V^{(n-2)}=\sum_{i,k=2}^{n-1} \frac{\partial^2 V}{\partial x_i \partial
x_k} \delta x_i \delta k_k
$$
строго положительна. Это означает, что все стационарные точки,
которые могут появиться в задаче являются минимумами. Но с другой
стороны, для того чтобы существовало несколько минимумов должна
существовать хотябы одна стационарная точка, которая не является
минимумом. Таким образом для доказательства утверждения достаточно
доказать положительность формы $\delta V^{(n-2)}$.

Для удобства введем обозначения $\delta y_i=\delta x_{i+1}$, для
$i=\overline{1,n-2}$ (в дальнейшем будем обозначать число подвижных
зарядов $n-2$ через $N$) и запишем форму $\delta V^{(N)}$ в виде
$$
\delta V^{(N)}=\delta \widetilde{U} + \delta U^{(N)},
$$
где
$$
\delta \widetilde{U} = \sum_{i=1}^{N} \left(
\frac{2}{|y_i-a|^3}+\frac{2}{|y_i+a|^3} \right)\delta y_i^2
$$
$$
\delta U^{(N)} = \sum_{i,k=1}^N h_{ik}^{(N)}\delta y_i \delta y_k,
$$
при (2)
$$
h_{ik}^{(N)}=\left\{
\begin{array}{lc}
-\alpha_{ik} & i\neq k \\
\displaystyle \sum_{s=1(i\neq s)}^N \alpha_{is}, & i=k,
\end{array}
\right.
$$
где $\alpha_{ik}=\frac{2}{|y_i-y_k|^3}$. Докажем по индукции что все
$\delta V^{(N)}$ положительны. Достаточно тривиально показать, что
для одного заряда $(N=1)$ на интервале $y_1\in (-a,a)$ форма
$\delta V^{(1)}>0$. Теперь докажем, что $\delta V^{(N)}>0$ при условии, что
все $\delta V^{(M)}>0$, где $1 \leqslant M<N$.

Замечаем, что для того чтобы $\delta V^{(N)}$ было больше нуля
достаточно (но не необходимо!), чтобы $\delta U^{(N)}$ была
неотрицательной (в силу того, что $\delta \widetilde{U}>0$). Попутно
замечаем, что $\det|h_{ik}^{(N)}|=0$ в силу линейной зависимости
строк. Действительно, согласно (2)
$$
\sum_{k=1}^N h_{ik}^{(N)}=0,
$$
для любого $i=\overline{1,N}$.

Теперь докажем, что все главные миноры матрицы гессиана
$h_{ik}^{(N)}$ неотрицательные. Для этого рассмотрим минор размера
$M\times M$, где $1\leqslant M <N$. Опять же, для того чтобы минор
был неорицательным достаточно (но не необходимо!), чтобы его форма
была положительной. Запишем его форму в виде
$$
\delta h^{(M)}=\sum_{i,k=1}^M h_{ik}^{(N)}\delta x_i \delta x_k =
\delta U^{(M)} + \sum_{i=1}^M \sum_{s=M+1}^{N} \alpha_{is} \delta
x_i \delta x_s.
$$
Так как $\alpha_{is}>0$ и $\delta U^{(M)}>0$ при всех $M<N$, то
$\delta h^{(M)}>0$ для любого $1 \leqslant M<N$. Таким образом, все
главные миноры неотрицательны. Отсюда по теореме Сильвестра
получаем, что $\delta V^{(N)}>0$ для любого натурального $N$.
Утверждение доказано.

Т е о р е м а:
Для системы $n$ положительных зарядов на отрезке
$[-a,a]$ минимум потенциальной энергии существует и он единственный.

Доказательство:
Доказательство существования тривиально. Докажем единственность. При
$x_1\neq -a$ или $x_n\neq a$ не существует стационарных точек (это
тривиально) и, следовательно, нет минимумов. Таким образом минимум
может возникнуть только при $x_1=-a$, $x_n=a$, но в этом случае, как
следует из леммы, он единственный. Утверждение доказано.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 22:10 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Зиновий не колется...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Аурелиано Буэндиа
Давайте попробуем применить это рассуждение к системе их четырех зарядов. У меня получилось расположение в точках $-a, -a \lambda, a \lambda, a$, где $\lambda = 4+3\sqrt2 -\sqrt{31 + 22\sqrt2}$. Энергия системы равна $\approx \frac{6.48444 q^2}{a} = 0.405277 \frac{Q^2}{a} $, где $Q$ -- суммарный заряд системы.

Я полагаю, что понял, в чем причина расхождения между непрерывным и дискретным зарядом. Непрерывный заряд требует равенства силы нулю (перпендикулярности напряженности поля) в каждой точке. Откуда и вывод $\rho'(x)=0\, \forall x$. В тоже время, для дискретных зарядов это условие должно выполнятся только в точках расположения зарядов, более того, для устойчивости вокруг заряда эта сила должна быть направлена к точке заряда. Производная просто не обязана существовать при переходе к пределу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Зиновий писал(а):
Вы полагете, что мало бумаги исписано известными формулами и теперь я должен терять свое время на переписывание формул в и-нет?
Извините, я дал материал.
Указал как им пользоваться.
Готов проконсультировать по возникшим вопросам применения указанного материала.
Готов говорить о физических проблемах теории электричества.
А переписывать формулы и сканер умеет.

Мне, например, неинтересны "физические проблемы теории электричества". Мне интересно конкретное решение конкретно этой задачи, с конкретными выкладками. Если оно у Вас есть, поделитесь им, пожалуйста. Ваша ссылка на материал -- это руководство по литературе вида: "вот вам алфавит, пишут ручкой, к завтрашнему дню, пожалуйста, по 'Войне и миру'".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 22:22 
Аватара пользователя


26/02/06
179
Хижина дяди Тома
Может я чего не уловил, но давайте вернемся к условию задачи (там 1D). Представим себе прямой горизонтальный желоб. Кладем в него один заряженный шарик. Очевидно шарик будет находится в положении равновесия в любой точке желоба. Потом кладем второй одноименно и для простоты одинаково заряженный шарик. Очевидно шарики остановятся в противоположных концах желоба. Кладем третий шарик. Он остановиться ровно посередине желоба, т.к. сила отталкивания от 2-х других булет одинакова. Этот мысленный эксперимент можно продолжать и дальше. Ответ - очевиден. Распределение зарядов вдоль желоба - равномерное. Или я не прав? Тогда в чем?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
В выводе, что распределение будет равномерным (при $n$ большем 3). Пусть шарики эквидистантны. Рассмотрим предпоследний (с конца правого) шарик. Силы, действующие на него со стороны правого и левого соседей, компенсируются. Но слева имеется еще некоторое количество шариков, толкающих его вправо. (Ситуация аналогична и для остальных шариков).

Поэтому шарики сгущаются к краям, и более редки в центре. В тоже время, слишком много шариков в концах начинают выталкивать некрайних в центр -- закреплены-то только крайнии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 22:33 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
незванный гость писал(а):
Я полагаю, что понял, в чем причина расхождения между непрерывным и дискретным зарядом.

Я думаю нет никакого расхождения и думаю, что Вы ошибаетесь когда говорите, что в случае дискретной системы из $n$ зарядов при переходе к пределу $n \to \infty$ получается ненулевая плотность на $(-a,a)$. При конечном полном заряде, разумеется. Но я пока это еще не доказал, но у меня есть косвенные тому подтверждения. Но пока я не возмусь утверждать наверняка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 22:34 
Аватара пользователя


26/02/06
179
Хижина дяди Тома
Вы правы. Мое рассуждение верно было бы для для замкнутого в форме оружности желоба.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 22:34 
Заблокирован


04/01/06

602
г. Москва, ФГУП НПО "Пульсар"
незванный гость писал(а):
:evil:
Зиновий писал(а):
1. Вы хотите сказать, что "на кухне" уже заряжали электричеством провод с нулевым радиусом поперечного сечения?


Передергивать изволите? Я уже в третий (или четвертый) раз пишу, что пытаюсь разобрать с Вами случай $0 < r \ll L$. По простоте душевной полагаю, что в моем хозяйстве найдется 50 см провода сечением 0.5 мм, и он удовлетворяет этим условиям.

Нет это Вы "передергиваете".
О каких "условиях" Вы ведете речь?
И с чего Вы решили, что при этом будет "бесконечная энергия"?

незванный гость писал(а):
Зиновий писал(а):
2. Все основания для оценки и вычислений я Вам изложил.
Весь этот материал излагается во всех учебниках и переписывать его здесь у меня нет никакого желания.
...

Читал я Калашникова. Вы мне решение конкретной задачи покажите, пожалуйста. А общие формулы я и сам писать умею...

Я дал вам ссылку на решение задачи конкретных конструкций электрических емкостей, включающее и цилиндрическую задачу.
Параграф 32, "Емкость простых конденсаторов".
Ничего нового я Вам не сообщу.
А заниматься перепиской материала предоставляю Вам, т.к. Вам это необходимо.
Если что будет неясно, готов дать разъяснения.

незванный гость писал(а):
Зиновий писал(а):
Под "малыми расстояниями" Вы, полагаю, подразумеваете поверхностные явления, типа сил Вандервальса, но на эту тему, я пока говорить не готов.
Обычные же трудности решения краевой задачи, сегодня, легко решаются с помощью персональных компьютеров, решались и раньше нуждающимися в этом специалистами.
Если Вы захотите получить готовую формулу электрической емкости конечного куска провода, то я готов Вам ее предоставить.
Что касается принципиальной проблемы физики электрического заряда, то, как я Вам ранее уже сообщал, она остается нерешенной.
Я не понимаю, почему источником потока вектора электрического смещения куска заряженного провода является площадь его поверхности, а заряд, согласно расстановке сил и распределению потенциала, располагается в концах провода.
У меня нет ответа на этот парадокс.

В проводнике в статической ситуации заряд распределяется по поверхности (а не по площади поверхности, как Вы пишите -- я специально выделил).

1. Если вас не затруднит, подскажите, где я написал, что "заряд распределяется по площади поверхности".
2. Хоть и не в тему, но объясните пожалуйста, в чем разница между "по площади поверхности" и "по поверхности"?
Может когда и пригодится...

незванный гость писал(а):
Концы -- частный случай поверхности.

Ну уж если на то пошло, то "концы" - это крайние точки линии.
Т.е. справа еще есть, а слева уже нет.
И наоборот.
У поверхности нет "концов".
У нее есть края.
незванный гость писал(а):
Поэтому Вы меня не опровергли.

А мне козалось, что Вы ничего и не утверждали, а только спрашивали.
Уточните пожалуйста, в чем я Вас "не опроверг"?
незванный гость писал(а):
Специалисты решают -- Бог с ними. Мне бы самому научиться решать... Потому и обсуждаю с Вами.

Так Вы ничего же не обсуждаете.
Предложенную физическую модель раскладки сил Вы проигнорировали.
Говорите, что не понимаете задачу и требуете от меня, что бы я Вам написал формулами ее решение.
Когда я предложил Вам готовые выводы решения, включая "формулы", то Вы написали, дословно, следующее "Читал я Калашникова. Вы мне решение конкретной задачи покажите, пожалуйста".
Уточните что Вы хотите понять?

незванный гость писал(а):
Меня по прежнему не интересует емкость. По прежнему вопрос только один -- доказательное (с выкладками) распределение заряда в трехмерном стержне длинной $L$ и радиуса $r, \  0 < r \ll L$. Если Вы считаете, что заряд "сольется" в концы -- пожалуйста, докажите это подсчетами для конечного положительного $r$.

Подсчеты чего я Вам должен предложить?
Подсчеты того, что два одноименных заряда взаимоотталкиваются и будут разлетаться до тех пор покуда не упрутся в стенки?
Вам надо записать 2-ой закон Ньютона с законом Кулона в качестве действующей силы?
Уточните пожалуйста, что именно Вы хотите узнать от меня конкретно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 22:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Против этого утверждения мне нечего возразить. Готов и сам под ним подписаться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 22:38 
Заблокирован


04/01/06

602
г. Москва, ФГУП НПО "Пульсар"
Dan_Te писал(а):
Зиновий не колется...
Зато курю и выпиваю в компании.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Зиновий писал(а):
Уточните пожалуйста, что именно Вы хотите узнать от меня конкретно?


Распределение заряда в трехмерном стержне длинной $L$ и радиуса $r, \ 0 < r \ll L$. Еще проще -- какой заряд находится в отрезке длинной $L/2$ расположенном в середине стержня по длине (с доказательством, разумеется) -- эта величина уже давно является источником разногласий на форуме...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.06.2006, 23:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


21/04/06

4930
На мой взгляд, тут, что - то не то. Энергия линейки не определяется одной потенциальной энергией взаимодействия между зарядами. Сами заряды вне зависимости от их взаимного расположения имеют энергию. Аналогия с гравитационным полем в открытом пространстве, где тела «занимают» места в соответствии с минимум потенциальной энергией , видимо, здесь не приемлема. Заряды, можно сказать, «втиснуты» в линейку и о минимуме потенциальной энергии можно говорить только теоретически. Поэтому, на мой взгляд, остается открытым ранее заданный вопрос. Пусть суммарная энергия линейки, включая потенциальную от взаимодействия зарядов и их собственную равна W ( любая!) . Что можно сказать о распределении зарядов по длине линейки ? Если ваще что- то можно сказать…


Шимпанзе

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 250 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ... 17  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group