2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ... 33  След.
 
 
Сообщение22.02.2009, 20:26 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Руст
Вот это уже интерес! Стало быть, если будет найдено хоть одно решение, то будет опровергнута и $abc$ - гипотеза?
Я прошу прощения, но не могли бы вы указать а что гласит $abc$ - гипотеза насчет найденного решения:
$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2009, 20:31 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Это не опровергает гипотезу, так как там имеется конечность решений $rad(abc)<c^{1-\epsilon}$ у нас $epsilon =\frac{2}{15}$ и неизвестно пока до каких значит надо проверять, чтобы убедится в отсутствии решения. Но становится маловероятной. abc гипотеза будет опровергнута, если найдёте бесконечно много решений у этого уравнения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2009, 20:58 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Руст
Ну я думаю ответ на это вопрос может дать maxal
maxal писал(а):
Поиск взаимно-простых решений указанной системы диофантовых уравнений сводится к поиску рациональных точек на эллиптической кривой, что позволило легко получить, например, следующие решения $[a,b]$:
Код:
[1, 2]
[73, 32]
[31057, 6498]
[33525409, 96660608]
[5267046686449, 134924540450]
[920963270511479689, 1118787835534387488]
[4745847983665407299241697, 3875718869462990362230338]
[365309369293930680239507875254913, 28190509194007507318100130755072]
[39478559239913479030627960098883833154081, 127306813024276334011861289076555124895682]
[769141261554799989259693145813571022441374092104201, 82924822196488885627893797010781203715709538663200]

А вообще решений у этой задачи бесконечно много в виду того, что ранг этой кривой равен 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2009, 21:15 
Заслуженный участник


31/12/05
1525
Мат писал(а):
tolstopuz писал(а):
Мат писал(а):
То для того, чтобы найти третье решение компьютеру понадобится уже несколько часов работы. Четвертое - дней, Пятое - месяцев.
А чтобы получить восьмое решение, maxal потратил машинное время, превышающее возраст Вселенной.
Я конечно понимаю
Нет, не понимаете.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2009, 21:24 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Мат в сообщении #188688 писал(а):
Ну я думаю ответ на это вопрос может дать maxal

Не могу, да и вряд ли кто-то другой может. Я вам уже про это писал:
http://dxdy.ru/post186188.html#186188

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2009, 21:31 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
maxal
maxal писал(а):
А вообще решений у этой задачи бесконечно много в виду того, что ранг этой кривой равен 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2009, 21:40 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Мат
Если речь идет про задачу $$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$ - то да, если про $$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^3$$ - то нет.

Добавлено спустя 5 минут 12 секунд:

Кстати, в связи с $$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$ я добавил последовательности A156668 .. A156670 в OEIS.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2009, 21:41 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
maxal
Мат писал(а):
Руст
Вот это уже интерес! Стало быть, если будет найдено хоть одно решение, то будет опровергнута и $abc$ - гипотеза?
Я прошу прощения, но не могли бы вы указать а что гласит $abc$ - гипотеза насчет найденного решения:
$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$?

Руст писал(а):
Это не опровергает гипотезу, так как там имеется конечность решений $rad(abc)<c^{1-\epsilon}$ у нас $epsilon =\frac{2}{15}$ и неизвестно пока до каких значит надо проверять, чтобы убедится в отсутствии решения. Но становится маловероятной. abc гипотеза будет опровергнута, если найдёте бесконечно много решений у этого уравнения.

maxal писал(а):
А вообще решений у этой задачи бесконечно много в виду того, что ранг этой кривой равен 1.

maxal писал(а):
Мат
Если речь идет про задачу $$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$ - то да.

Выходит $abc$-гипотеза опровергнута? Я же говорил вам, что результат стоит опубликовать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2009, 21:44 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Мат в сообщении #188702 писал(а):
Выходит $abc$-гипотеза опровергнута? Я же говорил вам, что результат стоит опубликовать.

Ничего это результат не опровергает. Скорее всего, Руст где-то проврался.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2009, 21:48 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Я говорил об уравнении $\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^n,n\ge 3$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2009, 22:01 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Руст
Мат писал(а):
Руст
Вот это уже интерес! Стало быть, если будет найдено хоть одно решение, то будет опровергнута и $abc$ - гипотеза?
Я прошу прощения, но не могли бы вы указать а что гласит $abc$ - гипотеза насчет найденного решения:
$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$?

Руст писал(а):
Это не опровергает гипотезу, так как там имеется конечность решений $rad(abc)<c^{1-\epsilon}$ у нас $epsilon =\frac{2}{15}$ и неизвестно пока до каких значит надо проверять, чтобы убедится в отсутствии решения. Но становится маловероятной. abc гипотеза будет опровергнута, если найдёте бесконечно много решений у этого уравнения.

Так о каком уравнении речь? $n=3$ или $n=2$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2009, 22:04 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Читайте о чём речь шла.
Руст писал(а):
Мат писал(а):
Я конечно понимаю, но не могли бы вы представить хотя бы одно решение уравнения:
$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^3$$
Надеюсь воспользовавшись компьютерной техникой, это не составит для вас большого труда.

Добавлено спустя 23 минуты 30 секунд:

P.S.
По моим данным в пределах $a, b <$10 000 000 решений нет. И первое решение должно появиться где-то в порядке $a, b <$10 000 000 000. Но быть может, я ошибаюсь и оно появится позже.

Скорее всего оно не имеет решений, раз нет малых решений.
Согласно ещё не доказанной abc гипотезе, считая (a,b)=1 (к этому случаю можно свести и общий случай). Получаем $rad(a^5b^5(a+b)p^3)\le ab(a+b)p<((a+b)p^3)^{13/15}$ противоречит abc гипотезе для больших значений.

Если для $n\ge 3$ бесконечное количество решений, то он противоречит аbc гипотезе. Противоречие получается только если $3+\frac{4}{n}<5$, т.е. при $n>2$/

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.02.2009, 08:59 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Первым делом проверил на взаимную простоту и a и b делятся на $31*431$, поэтому не могут противоречит abc гипотезе, даже если числа очень большие.
Такие примеры легко строятся. Если $f(a',b')=\frac{a'^n+b'^n}{a'+b'}=p',p'^2$, то для $a=a'p'^k,b=b'p'^k$ получаем $f(a,b)=f(a',b')p'^{k(n-1)}=p'^m, m=(n-1)*k+1,m=(n-1)*k+2$, т.е. выполняется $f(a,b)=p^n,p=p'^{n-1},k=1,2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.02.2009, 10:51 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
maxal писал(а):
Кстати, в связи с $$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$ я добавил последовательности A156668 .. A156670 в OEIS.

Поздравляю. Я знал что этот результат что-то значит. Сейчас меня очень заинтересовало предложение Руст о проверке $abc$-гипотезы. Внимательно проверил формулы, действительно была ошибка в коэффициентах. Исправил. Получил первый результат, к сожалению, тривиальный:
$$\frac{808^5+1111^5}{808+1111}=10201^3$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.02.2009, 11:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Вы опять строите с не взаимно простыми а. Таких решений бесконечно много.
Из решения $f(a',b')=\frac{a'^n+b'^n}{a'+b'}=p'^k,k=1,2$ (для взаимно простых a',b' вряд ли существует решение с k>2) получаем $f(a,b)=p^l$, где $a=a'p'^m,b=b'p'^m,p=\frac{(n-1)m+k}{l}$. Не взаимно простые решения легко строятся и не противоречат abc гипотезе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 489 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ... 33  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group