Фундаментальные свойства степеней

[Мат]

Руст
Вот это уже интерес! Стало быть, если будет найдено хоть одно решение, то будет опровергнута и $abc$ - гипотеза?
Я прошу прощения, но не могли бы вы указать а что гласит $abc$ - гипотеза насчет найденного решения:

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$

?

[Руст]

Это не опровергает гипотезу, так как там имеется конечность решений $rad(abc)<c^{1-\epsilon}$ у нас $epsilon =\frac{2}{15}$ и неизвестно пока до каких значит надо проверять, чтобы убедится в отсутствии решения. Но становится маловероятной. abc гипотеза будет опровергнута, если найдёте бесконечно много решений у этого уравнения.

[Мат]

Руст
Ну я думаю ответ на это вопрос может дать maxal

maxal писал(а):

Поиск взаимно-простых решений указанной системы диофантовых уравнений сводится к поиску рациональных точек на эллиптической кривой, что позволило легко получить, например, следующие решения $[a,b]$:

[1, 2]
[73, 32]
[31057, 6498]
[33525409, 96660608]
[5267046686449, 134924540450]
[920963270511479689, 1118787835534387488]
[4745847983665407299241697, 3875718869462990362230338]
[365309369293930680239507875254913, 28190509194007507318100130755072]
[39478559239913479030627960098883833154081, 127306813024276334011861289076555124895682]
[769141261554799989259693145813571022441374092104201, 82924822196488885627893797010781203715709538663200]

А вообще решений у этой задачи бесконечно много в виду того, что ранг этой кривой равен 1.

[tolstopuz]

Мат писал(а):

tolstopuz писал(а):

Мат писал(а):

То для того, чтобы найти третье решение компьютеру понадобится уже несколько часов работы. Четвертое - дней, Пятое - месяцев.

А чтобы получить восьмое решение, maxal потратил машинное время, превышающее возраст Вселенной.

Я конечно понимаю

Нет, не понимаете.

[maxal]

Мат в сообщении #188688 писал(а):

Ну я думаю ответ на это вопрос может дать maxal

Не могу, да и вряд ли кто-то другой может. Я вам уже про это писал:
http://dxdy.ru/post186188.html#186188

[Мат]

maxal

maxal писал(а):

А вообще решений у этой задачи бесконечно много в виду того, что ранг этой кривой равен 1.

[maxal]

Мат
Если речь идет про задачу

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$

- то да, если про

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^3$$

- то нет.

Добавлено спустя 5 минут 12 секунд:

Кстати, в связи с

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$

я добавил последовательности A156668 .. A156670 в OEIS.

[Мат]

maxal

Мат писал(а):

Руст
Вот это уже интерес! Стало быть, если будет найдено хоть одно решение, то будет опровергнута и $abc$ - гипотеза?
Я прошу прощения, но не могли бы вы указать а что гласит $abc$ - гипотеза насчет найденного решения:

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$

?

Руст писал(а):

Это не опровергает гипотезу, так как там имеется конечность решений $rad(abc)<c^{1-\epsilon}$ у нас $epsilon =\frac{2}{15}$ и неизвестно пока до каких значит надо проверять, чтобы убедится в отсутствии решения. Но становится маловероятной. abc гипотеза будет опровергнута, если найдёте бесконечно много решений у этого уравнения.

maxal писал(а):

А вообще решений у этой задачи бесконечно много в виду того, что ранг этой кривой равен 1.

maxal писал(а):

Мат
Если речь идет про задачу

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$

- то да.

Выходит $abc$-гипотеза опровергнута? Я же говорил вам, что результат стоит опубликовать.

[maxal]

Мат в сообщении #188702 писал(а):

Выходит $abc$-гипотеза опровергнута? Я же говорил вам, что результат стоит опубликовать.

Ничего это результат не опровергает. Скорее всего, Руст где-то проврался.

[Руст]

Я говорил об уравнении $\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^n,n\ge 3$.

[Мат]

Руст

Мат писал(а):

Руст
Вот это уже интерес! Стало быть, если будет найдено хоть одно решение, то будет опровергнута и $abc$ - гипотеза?
Я прошу прощения, но не могли бы вы указать а что гласит $abc$ - гипотеза насчет найденного решения:

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$

?

Руст писал(а):

Это не опровергает гипотезу, так как там имеется конечность решений $rad(abc)<c^{1-\epsilon}$ у нас $epsilon =\frac{2}{15}$ и неизвестно пока до каких значит надо проверять, чтобы убедится в отсутствии решения. Но становится маловероятной. abc гипотеза будет опровергнута, если найдёте бесконечно много решений у этого уравнения.

Так о каком уравнении речь? $n=3$ или $n=2$?

[Руст]

Читайте о чём речь шла.

Руст писал(а):

Мат писал(а):

Я конечно понимаю, но не могли бы вы представить хотя бы одно решение уравнения:

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^3$$

Надеюсь воспользовавшись компьютерной техникой, это не составит для вас большого труда.

Добавлено спустя 23 минуты 30 секунд:

P.S.
По моим данным в пределах $a, b <$10 000 000 решений нет. И первое решение должно появиться где-то в порядке $a, b <$10 000 000 000. Но быть может, я ошибаюсь и оно появится позже.

Скорее всего оно не имеет решений, раз нет малых решений.
Согласно ещё не доказанной abc гипотезе, считая (a,b)=1 (к этому случаю можно свести и общий случай). Получаем $rad(a^5b^5(a+b)p^3)\le ab(a+b)p<((a+b)p^3)^{13/15}$ противоречит abc гипотезе для больших значений.

Если для $n\ge 3$ бесконечное количество решений, то он противоречит аbc гипотезе. Противоречие получается только если $3+\frac{4}{n}<5$, т.е. при $n>2$/

[Руст]

Первым делом проверил на взаимную простоту и a и b делятся на $31*431$, поэтому не могут противоречит abc гипотезе, даже если числа очень большие.
Такие примеры легко строятся. Если $f(a',b')=\frac{a'^n+b'^n}{a'+b'}=p',p'^2$, то для $a=a'p'^k,b=b'p'^k$ получаем $f(a,b)=f(a',b')p'^{k(n-1)}=p'^m, m=(n-1)*k+1,m=(n-1)*k+2$, т.е. выполняется $f(a,b)=p^n,p=p'^{n-1},k=1,2$.

[Мат]

maxal писал(а):

Кстати, в связи с

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$

я добавил последовательности A156668 .. A156670 в OEIS.

Поздравляю. Я знал что этот результат что-то значит. Сейчас меня очень заинтересовало предложение Руст о проверке $abc$-гипотезы. Внимательно проверил формулы, действительно была ошибка в коэффициентах. Исправил. Получил первый результат, к сожалению, тривиальный:

$$\frac{808^5+1111^5}{808+1111}=10201^3$$

[Руст]

Вы опять строите с не взаимно простыми а. Таких решений бесконечно много.
Из решения $f(a',b')=\frac{a'^n+b'^n}{a'+b'}=p'^k,k=1,2$ (для взаимно простых a',b' вряд ли существует решение с k>2) получаем $f(a,b)=p^l$, где $a=a'p'^m,b=b'p'^m,p=\frac{(n-1)m+k}{l}$. Не взаимно простые решения легко строятся и не противоречат abc гипотезе.