Фундаментальные свойства степеней

[Petern1]

maxal

Уважаемый, maxal, Вы только что высказали свое мнение о новизне обсуждаемых вопросов на этой теме. Убедительно Вас попрошу, если Вы знаете, или можете добыть информацию о том кто? , где? , когда? впервые обнаружил, что неполные квадраты обладают свойством умножаться друг на друга. Кто, когда построил формулы вычисления $a,b$ таких, при которых неполные квадраты являются составными числами. Кто, когда получил формулы вычисления $a,b$ таких, при которых неполные квадраты становятся квадратами, кубами, 4-ой степенью и т.д. до бесконечности??? Думаю такая информация была бы интересна и полезна для участников форума, а я буду Вам сильно, сильно благодарен.
С уважением, Petern1.

[maxal]

Petern1
Я вам уже давал ссылку на книжку Серпинского - см. выше по теме.

[Petern1]

shwedka

Уважаемый(ая), shwedka, приветствую Ваше появление на страницах этой темы. Предлагаю и прошу Вас включиться в совместную, конструктивную работу по решению многих, многих вопросов в этой теме. Надеюсь Вы понимаете, что совместными усилиями результат достигается быстрее…
Если Вы согласны, то мы могли бы определиться чем конкретно Вам заняться, или Вы определитесь сами.
Жду Вашего ответа. С уважением Petern1.

[Руст]

Petern1 писал(а):

Ответ MAXALU.

Уважаемый Maxal, Вы толко что высказали свое мнение о новизне обсуждаемых вопросов на этой теме. Убедительно Вас попрошу, если Вы знаете, или можете добыть информацию о том кто? , где? , когда? впервые обнаружил, что неполные квадраты обладают свойством умножаться друг на друга. Кто, когда построил формулы вычисления $a,b$ таких, при которых неполные квадраты являются составными числами. Кто, когда получил формулы вычисления $a,b$ таких, при которых неполные квадраты становятся квадратами, кубами, 4-ой степенью и т.д. до бесконечности??? Думаю такая информация была бы интересна и полезна для участников форума, а я буду Вам сильно, сильно благодарен.
С уважением Petern1.

Я вам советую читать немного алгебраическую теорию чисел. Числа вида $\frac{a^p+b^p}{a+b}$ являются нормами в кольцах целых чисел кругового расширения и обладают интересующими вами свойствами. Элементарное изложение основ имеется в книге Эдварса "Последняя теорема Ферма" или в Боревич, Шафаревич "Теория чисел". Очень хорошее изложение основ алгебраической теории чисел имеется в книге Ленга "Алгебраические числа".

[Мат]

Руст писал(а):

Я вам советую читать немного алгебраическую теорию чисел. Числа вида $\frac{a^p+b^p}{a+b}$ являются нормами в кольцах целых чисел кругового расширения и обладают интересующими вами свойствами.

На мой взгляд "кольца" и явились тем самым "камнем предкновения" или "мухлежом" (как будет угодно), которые и поставили точку в развитии теории чисел. Т.к. кольца по своей сути являются настолько громоздкой и трудноисследуемой структурой, что приписать им иные функции, кроме собственно "кольцо", практически нельзя. Учень "узкий" термин.
Началось все с Эйлера, который попытался обобщить результаты малой теоремы Ферма и потерпев неудачу ввел понятие "колец", тем самым сформулировав теорему Эйлера, которая как ни странно явилась движением уже вниз, а не вверх.
Наравне с комплексной или "мнимой" алгеброй, само название которой не может здравомыслящего человека не заставить улыбнуться. Комплексная алгебра обязана своим появлением обыкновенному уравнению $x^3+y^3=z^3$.
Эйлер не мог признать свою неспособность найти решение данного уравнения и подождать 100 лет, пока блестящая мисс Софи Жермен в своих чудесных выкладках не нашла общее решение, которое также после было "замуштровано" толпами недоучек, уверенных, что в эпоху промышленной революции образование и любой математический результат можно получить или купить за деньги.

[Руст]

Мат писал(а):

На мой взгляд "кольца" и явились тем самым "камнем предкновения" или "мухлежом" (как будет угодно), которые и поставили точку в развитии теории чисел. Т.к. кольца по своей сути являются настолько громоздкой и трудноисследуемой структурой, что приписать им иные функции, кроме собственно "кольцо", практически нельзя. Учень "узкий" термин.
Началось все с Эйлера, который попытался обобщить результаты малой теоремы Ферма и потерпев неудачу ввел понятие "колец", тем самым сформулировав теорему Эйлера, которая как ни странно явилась движением уже вниз, а не вверх.

Кольца вообще в теории чисел не очень используются, используются более хорошие дедекиндовы кольца, где идеалы разлагаются на произведение простых идеалов. Именно они сильно обагатили теорию чисел и помогли решить много проблем не решённых без этого.

[Мат]

Руст писал(а):

Кольца вообще в теории чисел не очень используются, используются более хорошие дедекиндовы кольца, где идеалы разлагаются на произведение простых идеалов. Именно они сильно обагатили теорию чисел и помогли решить много проблем не решённых без этого.

Теоерия идеалов также является одним из самых ярких представителей не результатов, а "подточек" под результат любой ценой для его получения. Наравне с "очарованным", "прелестным" и "странным" кварками в физике, куда забыли добавить "шекспировского Гамлета", и быть может, "влюбленную Татьяну" из Евгения Онегина.

[Jnrty]

Jnrty:

Petern1, Вам предупреждение за искажение псевдонимов участников форума. Псевдоним следует писать точно так, как его пишет владелец. Желательно выделять жирным шрифтом.

Petern1 в сообщении #188482 писал(а):

Ответ MAXALU.

Уважаемый Maxal

maxal

Petern1 в сообщении #188486 писал(а):

Ответ SHWEDKE.

Уважаемая Shwedka

shwedka

[Руст]

Мат писал(а):

Теоерия идеалов также является одним из самых ярких представителей не результатов, а "подточек" под результат любой ценой для его получения. Наравне с "очарованным", "прелестным" и "странным" кварками в физике, куда забыли добавить "шекспировского Гамлета", и быть может, "влюбленную Татьяну" из Евгения Онегина.

Если бы вы предварительно познакомились хотя бы книжкой Ленга, вы бы совсем по другому смотрели на поднятые здесь вопросы, например стало бы очевидным представление любой степени квадратичной формой $z^n=f(x,y)$ и найти все такие решения, понимали бы, когда из $z_i=f(x_i,y_i),i=1,2$ следует $z_3=z_1z_2=f(x_3,y_3)$, когда верно и обратное и т.д.

[Мат]

Руст писал(а):

Если бы вы предварительно познакомились хотя бы книжкой Ленга, вы бы совсем по другому смотрели на поднятые здесь вопросы, например стало бы очевидным представление любой степени квадратичной формой $z^n=f(x,y)$ и найти все такие решения, понимали бы, когда из $z_i=f(x_i,y_i),i=1,2$ следует $z_3=z_1z_2=f(x_3,y_3)$, когда верно и обратное и т.д.

$$(a^2+b^2)^n=\left(C_0a^n\pm...\pm C_{n-1}b^n\right)^2+\left(C_1a^n\pm...\pm C_nb^n\right)^2$$

, где $C_i$ - биноминальные коэффициенты, а знаки $\pm$ - чередуются в зависимости от того, четно $n$ или нет.
Для этого мне не нужна книжка Ленга.
На мой взгляд, выбранное Petern направление для исследований одно из самых актуальных. Отправная точка им найдена верно.
Но вся беда в том, что спешить нам некуда, т.к. время "подточек" и "нечестных игр" в математике закончилось и исчерпало себя. Компьютеры не сильно-то и помогают. Вот, недавно исследовали в этой теме простейшее, казалось бы уравнение:

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^2$$

.
Так вот, по решениям, представленным maxal видно, что порядок очередного решения растет полиномиально и если решения:

$$\frac{8^5+11^5}{8+11}=101^2$$

и

$$\frac{123^5+35^5}{123+35}=13361^2$$

находятся быстро.
То для того, чтобы найти третье решение компьютеру понадобится уже несколько часов работы. Четвертое - дней, Пятое - месяцев.
Что же касается чуть более сложного уравнения:

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^3$$

То лишь для того, чтобы найти первоначальный "ключ" компьютеру потребовалось 15 минут. Не говоря уже о поиске самого решения (я не беру тот факт, что числа большие $(10^4)^5$ компьютер попросту не обрабатывает, необходимо написание дополнительных модулей работы с большими числами.
Поэтому дальше двигаться надо честно, много работая, шаг за шагом преодолевая тернии теории чисел, а не попрыгав по вершкам, взяв компьютер и решив что это панацея.
Пока математики не поймут этого, открытий в теории чисел больше не будет. Только труд, талант и призвание.

[Руст]

Здесь используется более простое кольцо Гауссовых чисел $Z[i]$. А вот для формы $a^2-ab+b^2$ используется кольцо $Z[exp(\frac{2\pi i}{3})]$, которое привело вас в затруднение.

[Коровьев]

Поскольку Мат был обязан при регистрации прочитать дисклеймер - уловия использования сайта, - где сказано

Цитата:

Дисклеймер
Вы соглашаетесь не размещать оскорбительных, клеветнических сообщений.

и

Цитата:

Попытки размещения таких сообщений могут привести к вашему немедленному отключению от форумов.

То следующие сообщения Мат

Мат писал(а):

На мой взгляд "кольца" и явились тем самым "камнем предкновения" или "мухлежом" (как будет угодно), которые и поставили точку в развитии теории чисел. Т.к. кольца по своей сути являются настолько громоздкой и трудноисследуемой структурой, что приписать им иные функции, кроме собственно "кольцо", практически нельзя. Учень "узкий" термин.
Началось все с Эйлера, который попытался обобщить результаты малой теоремы Ферма и потерпев неудачу ввел понятие "колец", тем самым сформулировав теорему Эйлера, которая как ни странно явилась движением уже вниз, а не вверх.
Наравне с комплексной или "мнимой" алгеброй, само название которой не может здравомыслящего человека не заставить улыбнуться. Комплексная алгебра обязана своим появлением обыкновенному уравнению $x^3+y^3=z^3$.
Эйлер не мог признать свою неспособность найти решение данного уравнения и подождать 100 лет, пока блестящая мисс Софи Жермен в своих чудесных выкладках не нашла общее решение, которое также после было "замуштровано" толпами недоучек, уверенных, что в эпоху промышленной революции образование и любой математический результат можно получить или купить за деньги.

Мат писал(а):

Теоерия идеалов также является одним из самых ярких представителей не результатов, а "подточек" под результат любой ценой для его получения. Наравне с "очарованным", "прелестным" и "странным" кварками в физике, куда забыли добавить "шекспировского Гамлета", и быть может, "влюбленную Татьяну" из Евгения Онегина.

иначе как оскорблением и клеветой, как всех достижений математики, так и математиков, да и просто здравомвслящих участников, я назвать не могу.

Они нарушают несколько пунктов правил форума

Цитата:

I. 1) Нарушениями считается:
а) Размещение текстовых и визуальных сообщений ...оскорбительного, клеветнического содержания,...
д) Провокационные и вызывающие сообщения. ...

Видимо, Мат перенапрягся и теперь нуждается в отпуске.

[tolstopuz]

maxal писал(а):

k=1: [a,b]=[-1, 1] [x,y]=[1, 0] z=1
k=2: [a,b]=[1, 2] [x,y]=[3, -1] z=11
k=3: [a,b]=[-13, 9] [x,y]=[11, 8] z=101
k=4: [a,b]=[73, 32] [x,y]=[123, 35] z=13361
k=5: [a,b]=[-997, 1225] [x,y]=[808, -627] z=1169341
k=6: [a,b]=[31057, 6498] [x,y]=[43993, 20965] z=1612186411
k=7: [a,b]=[-1547593, 1151329] [x,y]=[1404304, 761577] z=1624763543401
k=8: [a,b]=[33525409, 96660608] [x,y]=[113095273, -72676071] z=20188985439712961
k=9: [a,b]=[-16526403961, 14720726241] [x,y]=[16258517264, 3470319335] z=240020196429554642201
k=10: [a,b]=[5267046686449, 134924540450] [x,y]=[5907678749271, 4692803610731] z=29891946989942513908518251

Из этого списка, например, следует, что

$$\frac{43993^5 + 20965^5}{43993 + 20965} = 1612186411^2.$$

Мат писал(а):

и если решения:

$$\frac{8^5+11^5}{8+11}=101^2$$

и

$$\frac{123^5+35^5}{123+35}=13361^2$$

находятся быстро.
То для того, чтобы найти третье решение компьютеру понадобится уже несколько часов работы. Четвертое - дней, Пятое - месяцев.

А чтобы получить восьмое решение, maxal потратил машинное время, превышающее возраст Вселенной.

[Мат]

Коровьев
Извените, я не хотел никого обидеть, я лишь выразил собственное мнение.

Добавлено спустя 4 минуты 11 секунд:

tolstopuz писал(а):

А чтобы получить восьмое решение, maxal потратил машинное время, превышающее возраст Вселенной.

Уважаемый tolstopuz
Я конечно понимаю, но не могли бы вы представить хотя бы одно решение уравнения:

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^3$$

Надеюсь воспользовавшись компьютерной техникой, это не составит для вас большого труда.

Добавлено спустя 23 минуты 30 секунд:

P.S.
По моим данным в пределах $a, b <$10 000 000 решений нет. И первое решение должно появиться где-то в порядке $a, b <$10 000 000 000. Но быть может, я ошибаюсь и оно появится позже.

[Руст]

Мат писал(а):

Я конечно понимаю, но не могли бы вы представить хотя бы одно решение уравнения:

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=p^3$$

Надеюсь воспользовавшись компьютерной техникой, это не составит для вас большого труда.

Добавлено спустя 23 минуты 30 секунд:

P.S.
По моим данным в пределах $a, b <$10 000 000 решений нет. И первое решение должно появиться где-то в порядке $a, b <$10 000 000 000. Но быть может, я ошибаюсь и оно появится позже.

Скорее всего оно не имеет решений, раз нет малых решений.
Согласно ещё не доказанной abc гипотезе, считая (a,b)=1 (к этому случаю можно свести и общий случай). Получаем $rad(a^5b^5(a+b)p^3)\le ab(a+b)p<((a+b)p^3)^{13/15}$ противоречит abc гипотезе для больших значений.