Фундаментальные свойства степеней

[shwedka]

maxal в сообщении #188333 писал(а):

Но доказательства того, что это единственная возможность добиться требуемого, нет.

Я бы убрала из этого утверждения слово 'единственная'.

[Мат]

Уважаемая shwedka!
Как правило, много писать против моих правил, но все же утружу себя.
$1$. Докажем, что частное от деления неполных сумм квадратов - также неполная сумма квадратов:

$$\frac{a^2-ab+b^2}{c^2-cd+d^2}=p^2-pq+q^2$$

Действительно, умножим числитель и знаменатель дроби в левой части на $c^2-cd+d^2$:

$$\frac{a^2-ab+b^2}{c^2-cd+d^2}\cdot\frac{c^2-cd+d^2}{c^2-cd+d^2}=p^2-pq+q^2$$

2. По формулам, приведенным Petern1 на стр.1 произведение двух неполных сумм квадратов есть также неполная сумма квадратов:

$$\frac{a^2-ab+b^2}{c^2-cd+d^2}\cdot\frac{c^2-cd+d^2}{c^2-cd+d^2}=\frac{(ac+bd-ad)^2-(ac+bd-ad)(bc-ad)+(bc-ad)^2}{(c^2-cd+d^2)^2}$$

3. Таким образом, стоящее в правой части выражение есть сумма трех слагаемых :

$$\frac{(ac+bd-ad)^2-(ac+bd-ad)(bc-ad)+(bc-ad)^2}{(c^2-cd+d^2)^2}=\left(\frac{ac+bd-ad}{c^2-cd+d^2}\right)^2+\left(\frac{ac+bd-ad}{c^2-cd+d^2}\right)\cdot\left(\frac{bc-ad}{c^2-cd+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2-cd+d^2}\right)^2$$

Не стану утруждать себя доказательством целостности чисел в скобках, но из их целостности следует и само утверждение $1$.
$2$. Если неполная сумма квадратов делится на какое-то число то данное число является также неполной суммой квадратов.
Действительно, рассмотрим какой-то множитель $m$ неполной суммы квадратов. Пусть

$$a^2-ab+b^2\div m$$

.
Тогда можно представить $a=k_1m+p$, $b=k_2m+q$, где $|p|,|q|<\frac m2$. Тогда подставляя данные значения получим:

$$a^2-ab+b^2=(k_1m+p)^2-(k_1m+p)(k_2m+q)+(k_2m+q)^2\div m$$

Откуда:
$p^2-pq+q^2\div m$.
2. Т.к. каждое из чисел $|p|,|q|<\frac m2$, то $p^2-pq+q^2<\left(\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{4}\right)<\frac{3m^2}{4}$. С другой стороны $p^2-pq+q^2=m\cdot k$, где $k$ - некоторое число. Но тогда т.к. $p^2-pq+q^2<\frac{3m^2}{4}$, то $k<\frac {3m}{4}$
3. Таким образом, существует множитель меньший $m$, который также если не представим неполной суммой квадратов, то также можно представить$p=k_3k+u$ и $q=k_4k+v$, что $u^2-uv+v^2\div k$. И т.д. Но т.к. бесконечно убывающей последовательности множителей не существует, то $m$ - неполная сумма квадратов.
Таким образом, всякий множитель неполной суммы квадратов есть неполная сумма квадратов.

[Xaositect]

Мат в сообщении #188374 писал(а):

$$\frac{(ac+bd-ad)^2-(ac+bd-ad)(bc-ad)+(bc-ad)^2}{(c^2-cd+d^2)^2}=\left(\frac{ac+bd-ad}{c^2-cd+d^2}\right)^2+\left(\frac{ac+bd-ad}{c^2-cd+d^2}\right)\cdot\left(\frac{bc-ad}{c^2-cd+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2-cd+d^2}\right)^2$$

Не стану утруждать себя доказательством целостности чисел в скобках, но из их целостности следует и само утверждение 1.

Пусть a = 1, b = 2, c = 3, d = 4
Тогда второе число в скобках
$\frac{bc-ad}{c^2-cd+d^2} = \frac{2\cdot 3 - 1\cdot 4}{3^2-3\cdot 4+4^2} = \frac {2} {13} \notin\mathbb{Z}$

[Мат]

Xaositect
По условию $(a^2-ab+b^2)\div (c^2-cd+d^2)$, а в вашем случае этого не наблюдается.

[maxal]

Мат в сообщении #188374 писал(а):

Тогда можно представить $a=k_1m+p$, $b=k_2m+q$, где $p,q<\frac m2$.

Вы наверное хотели сказать $|p|, |q|\leq\frac m2.$ Иначе утверждение становится неверно.

Мат в сообщении #188374 писал(а):

2. Т.к. каждое из чисел $p,q<\frac m2$, то $p^2-pq+q^2<\left(\frac{m^2}{4}-\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{4}\right)<\frac{m^2}{4}$.

Не получается. Если одно из $p,q$ положительное, а другое отрицательное, то

$$p^2-pq+q^2\leq\left(\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{4}\right)=\frac{3m^2}{4}.$$

[shwedka]

maxal в сообщении #188389 писал(а):

Не стану утруждать себя доказательством целостности чисел в скобках,

А зря. Если этого не доказать, то все рассуждение идет коту под хвост.

[maxal]

И вообще, $8^2 - 4\cdot 8 + 4^2=48$ делится на $6$ и на $8$, но ни тот, ни другой делитель не представим в виде $a^2 - ab + b^2$.

[shwedka]

Мат в сообщении #188374 писал(а):

$$\frac{a^2-ab+b^2}{m}=c^2-cd+d^2$$

То есть Вы предположили, что частное - неполная сумма. А по какому праву?? вы где-то это доказали?

[Мат]

maxal
Да действительно, доказательство взято из книжки о суммах квадратов и немного мной модернизировано для неполных сумм квадратов.

[shwedka]

Мат писал(а):

maxal
Да действительно, доказательство взято из книжки о суммах квадратов и немного мной модернизировано для неполных сумм квадратов.

Но от этого перестало быть доказательством.

[Мат]

shwedka писал(а):

Мат в сообщении #188374 писал(а):

$$\frac{a^2-ab+b^2}{m}=c^2-cd+d^2$$

То есть Вы предположили, что частное - неполная сумма. А по какому праву?? вы где-то это доказали?

Извиняюсь, это моя неточность, в доказательстве это так ни разу и не понадобилось. Правильно надо $a^2-ab+b^2\div m$

[Xaositect]

Мат писал(а):

Xaositect
По условию $(a^2-ab+b^2)\div (c^2-cd+d^2)$, а в вашем случае этого не наблюдается.

a = 1, b = 3, c = 2, d = 3
$\frac{bc - ad} {c^2-cd+d^2} = \frac {3\cdot 2 - 1\cdot 3} {2^2 - 2\cdot 3 + 3^2} = \frac {3} {7}$
$(a^2-ab+b^2)\div (c^2-cd+d^2) = (1^2 - 1\cdot 3 + 3^2) \div {2^2 - 2\cdot 3 + 3^2} = 7\div 7 = 1$

Добавлено спустя 5 минут 5 секунд:
так, тут я напутал.

[Мат]

Xaositect
$bd-ac=3\cdot 3-1\cdot 2\div 7$

[Xaositect]

ИМХО, прежде чем доказывать что-то нетривиальное на целых числах, надо это проверить на числах хотя бы до 10.

Добавлено спустя 4 минуты 32 секунды:

Мат писал(а):

Xaositect
$bd-ac=3\cdot 3-1\cdot 2\div 7$

У вас в формуле $bc - ad$
Если вы рассматриваете случаи, напишите, какие случаи рассматриваете.

[Мат]

Xaositect писал(а):

ИМХО, прежде чем доказывать что-то нетривиальное на целых числах, надо это проверить на числах хотя бы до 10.

Добавлено спустя 4 минуты 32 секунды:

Мат писал(а):

Xaositect
$bd-ac=3\cdot 3-1\cdot 2\div 7$

У вас в формуле $bc - ad$
Если вы рассматриваете случаи, напишите, какие случаи рассматриваете.

Да есть еще два случая, см. формулы Petern на стр.1. Я не претендовал на выщелоченное в деталях доказательство, хотел показать лишь в общих красках ход рассуждений.