Фундаментальные свойства степеней

[maxal]

Мат в сообщении #190498 писал(а):

Кривая Морделла $x^2+k=y^3$ может иметь решения для $k=a^2\pm b^3$

Наверное, имелось в виду $x^3+k=y^2$ - тогда да, не только может, а и имеет. А именно для $k=a^2\pm b^3$ существует как минимум такое решение: $(x,y)=(\mp b,a).$

[Мат]

maxal
Согласен. Плюс. Если $k=a^2\pm b^3$, $a\neq x, b\neq y$, то уравнение Морделла можно представить:
$x^2-a^2=y^3\pm b^3$.
Т.к. $y^3\pm b^3$ не может быть простым числом, то оно имеет хотя бы два множителя. Но тогда его всегда можно представить разностью квадратов $x^2-a^2$.

[Nilenbert]

Мат писал(а):

.
Т.к. $y^3\pm b^3$ не может быть простым числом, то оно имеет хотя бы два множителя. Но тогда его всегда можно представить разностью квадратов $x^2-a^2$.

Представьте мне в виде разности квадратов число $3^3-1^3=26$

[Мат]

Nilenbert писал(а):

Представьте мне в виде разности квадратов число $3^3-1^3=26$

В данном случае число $y$ может быть любое, поэтому можно подобрать $y$ так, что $y^3\pm b^3\neq 4k+2$

[Nilenbert]

Мат писал(а):

В данном случае число $y$ может быть любое, поэтому можно подобрать $y$ так, что $y^3\pm b^3\neq 4k+2$

Тогда не надо говорить, что:

Цитата:

его всегда можно представить разностью квадратов .

Вы, надеюсь понимаете разницу между "всегда" и "иногда"?

[maxal]

Мат писал(а):

Если $k=a^2\pm b^3$, $a\neq x, b\neq y$, то уравнение Морделла можно представить:
$x^2-a^2=y^3\pm b^3$.
Т.к. $y^3\pm b^3$ не может быть простым числом, то оно имеет хотя бы два множителя. Но тогда его всегда можно представить разностью квадратов $x^2-a^2$.

Во-первых, не всегда. А, во-вторых, даже если и можно, то кто сказал, что вычитаемый квадрат у вас будет равен именно $a^2$ ?!
Здесь $a$ - это изначально фиксированное число, и свобода выбора есть только для $x^2$.

[Petern1]

СООБЩЕНИЕ О ФОРМУЛАХ---вычисления $a,b,c,d,$ таких, что
$a^2-ab+b^2=c^2+d^2$.


Ранее на стр. 7 я уже давал такие формулы. Но очень скоро обнаружил, что те формулы не охватывают все числа. Пришлось заново подработать этот вопрос и получить формулы, которые полностью решают эту задачу. Это утверждение основано на процедуре вывода формул, которую к сожалению я привести не могу ввиду ее громоздкости. Вот эти формулы:
$a=l_1^2+l_2^2+4l_1l_2+2l_1t+2l_2t+t^2$ деленное на $t$
$b_1=l_1^2+l_2^2+4l_1l_2+2l_2t$ деленное на $t$
$b_2=2l_1+t$
$c=l_1^2+l_2^2+4l_1l_2+l_1t+2l_2t$ деленное на $t$
$d=2l_1+l_2+t$
В этих формулах $t=1,2,3,…$ ; числа $l_1 ,l_2$ могут принимать любые значения: положительные, отрицательные, нулевые, равные, не равные значения. По этим формулам будут вычисляться как целые числа, так и дроби. Но и те и другие удовлетворяют равенству
$a^2-ab+b^2=c^2+d^2$. Целые числа получим при $t=1$, а также если $l_1 , l_2$ содержат множитель $t$
Видим, что значения чисел $a,b,c,d$ зависит от трех параметров. Не совсем приятно, но такова реальность, таковы соотношения между не полными суммами-разностями квадратов и полными суммами квадратов. И если кто-нибудь сможет выявить дополнительные закономерности в этих соотношениях и сумеет упростить формулы---было бы прекрасно!
Суммы оснований (чеслители)
$a+b_1=2l_1^2+2l_2^2+8l_1l_2+2l_1t+4l_2t+t^2$
$a+b_2=l_1^2+l_2^2+4l_1l_2+4l_1t+2l_2t+2t^2$
Решить могут или не могут быть равны квадрату эти суммы, видимо не возможно. А очень бы этого хотелось!
Приведу выкладки получения тождества:

$$a^2=l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+4l_1^3t+4l_2^3t+20l_1^2l_2t+20l_1l_2^2t+6l_1^2t^2+6l_2^2t^2+16l_1l_2t^2+4l_1t^3+4l_2^3+t^4$$

$$a*b_1=-(l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+2l_1^3t+4l_2^3+12l_1^2l_2t+18l_1l_2^2t+l_1^2t^2+5l_2^2t^2+8l_1l_2t^2+2l_2t^3)$$

$$b_1^2=l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+4l_1^2l_2t+16l_1l_2^2t+4l_2^3t+4l_2^2t^2$$

Сумма этих трех слагаемых

$$l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+2l_1^3t+4l_2^3t+12l_1^2l_2t+18l_1l_2^2t+5l_1^2t^2+5l_2^2t^2+8l_1l_2t^2+4l_1t^3+2l_2t^3+t^4$$

$$c^2=l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+2l_1^3t+4l_2^3t+12l_1^2l_2t+18l_1l_2^2t+l_1^2t^2+4l_2^2t^2+l_1l_2t^2$$

$$d^2=4l_1^2t^2+l_1l_2t^2+l_2^2t^2+4l_1t^3+2l_2t^3+t^4$$

$$c^2+d^2=l_1^4+l_2^4+18l_1^2l_2^2+8l_1^3l_2+8l_1l_2^3+2l_1^3t+4l_2^3t+12l_1^2l_2t+18l_1l_2^2t+5l_1^2t^2+5l_2^2t^2+8l_1l_2t^2+4l_1t^3+2l_2t^3+t^4$$

.
Как видим тождество состоялось, что говорит о верности формул. Petern1.

[maxal]

Petern1 в сообщении #190813 писал(а):

Пришлось заново подработать этот вопрос и получить формулы, которые полностью решают эту задачу.

Ваши выкладки не проверял, но даже если они верны, вы все равно не решили задачу полностью. Полностью задача будет решена только тогда, когда вы докажете, что всякое решение уравнения $a^2-ab+b^2=c^2+d^2$ представимо в указанном вами виде.
Пока же можно считать только, что вы нашли лишь некоторое частное решение этого уравнения (при условии, что в выкладках нет ошибки).

[Мат]

maxal писал(а):

Мат писал(а):

Если $k=a^2\pm b^3$, $a\neq x, b\neq y$, то уравнение Морделла можно представить:
$x^2-a^2=y^3\pm b^3$.
Т.к. $y^3\pm b^3$ не может быть простым числом, то оно имеет хотя бы два множителя. Но тогда его всегда можно представить разностью квадратов $x^2-a^2$.

Во-первых, не всегда. А, во-вторых, даже если и можно, то кто сказал, что вычитаемый квадрат у вас будет равен именно $a^2$ ?!
Здесь $a$ - это изначально фиксированное число, и свобода выбора есть только для $x^2$.

Согласен. Точнее для выбора два числа $x$ и $y$ и вопрос лишь в том, можно ли подобрать. Я уверен, что можно, т.к. количество параметров равно числу констант.

[Мат]

Задачка: Какие общие множители могут иметь полиномы:

$$\frac{x^{2187}+y^{2187}}{x^{243}+y^{243}}$$

и

$$\frac{x^{243}+y^{243}}{x^3+y^3}$$

?

[Руст]

Научитесь задавать правильные вопросы. Как полиномы они не имеют общих множителей, т.е. не существует другого полинома делящих их обеих.
Как числа или $d^{240}$ или $27d^{240}$, где $d=(x,y)$.
Я подозреваю, что вас интересует не это, а случай когда x,y разные, т.е $\frac{x^{2187}+y^{2187}}{x^{243}+y^{243}},\frac{a^{243}+b^{243}}{a^3+b^3},(x,y)=1=(a,b)$.

[Мат]

Руст
А как насчет множителей вида $3^k$, $2\cdot3m+1$?
Когда $x$,$y$ - разные, тоже интересный случай. И как вы полагаете?
Может ли полином:

$$\frac{x^{2187}+y^{2187}}{x^{243}+y^{243}}$$

делиться на $19$?

[Коровьев]

То, чем вы Мат занисаетесь называется "Захват темы", что крайне неэтично по отношению к автору темы/а попросту хамством/, поскольку забивает постами, абсолютно не связанными с темой, саму тему.
Есди вам нечего сказать по поводу последних выводов Petern1, то лучше помолчите.

[Мат]

Коровьев
Само ваше появление здесь, как лица, ни разу не сделавшего ничего полезного, уже неэтично. Сделайте сперва что-нибудь, что люди оценят, посмотрите в зеркало, а потом подумайте, а кто я такой, чтобы кому-то делать замечания.
Пока я не увижу от вас действительно хоть одной полезной вещи, буду пропускать ваши замечания. И не только я - любой, кому вы их делаете. Вы не заслужили этого права ничем.

[Коровьев]

Petern1 в сообщении #190813 писал(а):

получить формулы, которые полностью решают эту задачу

maxal в сообщении #190816 писал(а):

докажете, что всякое решение уравнения $a^2-ab+b^2=c^2+d^2$ представимо в указанном вами виде.

Доказать это, мне думается, довольно трудно. Проще опровергнуть контрпримером. Попробую.
Известно.
Целое положительное $m$ представимо в виде равенства двух форм
$m=a^2+ab+b^2=c^2+d^2$ при взаимно простых целых $a,b$ и $c,d$ тогда и только тогда, когда $m$ содержит только простые делители вида $p=12k+1$.
Причём, представление с точностью до порядка сомножителей простого $p$ формой $a^2+ab+b^2$ возможно тремя различными способами, а формой $c^2+d^2$ только одним.
Пример.
$13=4^2-4*3+3^2=4^2-4+1=3^2+3+1=3^2+2^2$
Простое число $61$ удовлетворяет этим требованиям.
В частности $61=c^2+d^2=5^2+6^2$
Если из формулы Petern1 для $d$ при $t=1$ /для целых/ $l_2=d-2l_1-1$ подставить в формулу для $c$, то получим простую формулу:
$c=-3l^2-3l+(d-1)^2$, которой не удовлетворяют $c,d$ равные $5$ или $6$
Впрочем, в арифметике я не силён.
Простите, ошибка. Правильно так
$c=-3l^2-3l+(d^2-1)$,
Тогда
$6=-3*2^2-3*2+(5^2-1)=6$
Пример неудачен. Ведь писал же
Впрочем, в арифметике я не силён.