Фундаментальные свойства степеней

[maxal]

Коровьев в сообщении #191387 писал(а):

То, чем вы Мат занисаетесь называется "Захват темы", что крайне неэтично по отношению к автору темы/а попросту хамством/, поскольку забивает постами, абсолютно не связанными с темой, саму тему.
Есди вам нечего сказать по поводу последних выводов Petern1, то лучше помолчите.

Коровьев,
Оставьте модерирование модераторам. Свои замечания автору или модераторам вы всегда можете высказать в ЛС или в Работе форума.

[Коровьев]

Вот нашёл парочку простых чисел вида $12k+1$
$277=9^2+14^2$ и $313=12^2+13^2$,
которые не представимы формулой Petern1 для суммы квадратов этих чисел.
*****
Вообще, найти целочисленные решения неопределённого уравнения $ A^2 - AB + B^2 = C^2 + D^2 $ достаточно легко, ибо оно есть равенство норм двух чисел двух квадратичных полей
$N(A+ \eta B)=N(C+jD)$
где
$\eta ^2 + \eta + 1 = 0,$
$j=\sqrt { - 1}, $
В свою очередь эти числа есть числа поля четвёртой степени с базисом $(1, \eta ,j, \eta j)$
$ \alpha _1 = x + \eta y + jz + j\eta t $
с изоморфизмами
$\bar \alpha _1 = x + \eta y - jz - j\eta t $
$ \alpha _2 = x + \eta ^2 y + jz + j\eta ^2 t $
$\bar \alpha _2 = x + \eta ^2 y - jz - j\eta ^2 t$
и нормой
$N( \alpha )= \alpha _1 \bar \alpha _1 \alpha _2 \bar \alpha _2 $
1.Имеем
$ \alpha _1 \bar \alpha _1 = (x^2 + z^2 - y^2 - t^2 ) + \eta (2xy + 2zt - y^2 - t^2 ) = A + \eta B $
$\alpha _2 \bar \alpha _2 = A + \eta ^2 B$
$N(\alpha ) = (A + \eta B)(A + \eta ^2 B) = A^2 - AB + B^2 $
2. С другой стороны
$\alpha _1 \alpha _2 = (x^2 - xy + y^2 - z^2 + zt - t^2 ) + j(2xz + 2yt - xt - yz) = C + jD$
$ \bar \alpha _1 \bar \alpha _2 = C - jD $
$ N(\alpha ) =(C + jD)(C - jD) = C^2 + D^2 $
3. Окончательно, получили тождество
$ A^2 - AB + B^2 = C^2 + D^2 $
$ A = x^2 + z^2 - y^2 - t^2$
$B = 2xy + 2zt - y^2 - t^2 $
$C = x^2 - xy + y^2 - z^2 + zt - t^2 $
$D = 2xz + 2yt - xt - yz $
*****
Это решение исчерпывает, вероятно, все целочисленные решения исходного уравнения.
Чтобы доказать это, надо доказать, что любое простое $p=12k+1$ есть норма некого целого числа $\alpha$
$N( a + \eta b + jc + j\eta d )=p$
Что я пока не вижу, как сделать.

[Мат]

Коровьев писал(а):

Это решение исчерпывает, вероятно, все целочисленные решения исходного уравнения.
Чтобы доказать это, надо доказать, что любое простое $p=12k+1$ есть норма некого целого числа $\alpha$
$N( a + \eta b + jc + j\eta d )=p$
Что я пока не вижу, как сделать.

Действительно, вы правы, всякое простое число $6k+1$ представимо как $a^2-ab+b^2$ причем двумя способами. Но насчет доказательства мне придется помолчать, не могу же я нарушить вашу просьбу выше.

[Petern1]

maxal

Ваши сообщения об уравнении $x^2+k=y^3$ , о кривых Морделла, об алгоритмах свидетельствуют о том, что Вы весьма сведущи в этой проблеме. В связи с этим убедительно прошу, если это Вас сильно не затруднит, просветить некоторые вопросы.
Правильно ли я понимаю, что разработанными алгоритмами можно вычислить все целочисленные решения этого ур—ния. Так, что задавшись $y=5$ можно получить $1^2+124=5^3, 2^2+121=5^3, 3^2+116=5^3….9^2+44=5^3….11^2+4=5^3$. И так для любого $y$ вплоть до $y=10000$?
Второй вопрос. Позволяют ли алгоритмы определять, вычисляемые числа $k$ являются единственными, или они будут повторяться при других $x , y$ , и сколько раз?
Третий вопрс. В этом ур—нии представляет интерес уметь находить наибольший квадрат и наименьшее $k$, которые в сумме равны кубу. Именно так я понял эту теорему. Так вот позваляют ли алгоритмы определять, какое из вычисленных $k$ является наименьшим?
Буду чрезвычайно благодарен. С уважением Petern1.

[Petern1]

Ответ Коровьеву.

Благодарен Вам за два числа 277 и 313. С числом 277 Вы видимо ошиблись. Оно подчинено формулам. Возмите
$l_1=2 , l_2=2 , t=3$ и Вы по формулам вычислите
$b_1=12 , b_2=7 , c=14 , d=9 , a=19$
$19^2-19*7+7^2=14^2+9^2$
С числом же 313 Вы правы. Оно не желает подчиниться формулам. И такие числа должны быть еще. Продолжим работу с надеждой на то, что и эти числа заставим слушаться.
С уважением Petern1.

[maxal]

Petern1 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что разработанными алгоритмами можно вычислить все целочисленные решения этого ур—ния. Так, что задавшись $y=5$ можно получить $1^2+124=5^3, 2^2+121=5^3, 3^2+116=5^3….9^2+44=5^3….11^2+4=5^3$. И так для любого $y$ вплоть до $y=10000$?
Второй вопрос. Позволяют ли алгоритмы определять, вычисляемые числа $k$ являются единственными, или они будут повторяться при других $x , y$ , и сколько раз?
Третий вопрс. В этом ур—нии представляет интерес уметь находить наибольший квадрат и наименьшее $k$, которые в сумме равны кубу. Именно так я понял эту теорему. Так вот позваляют ли алгоритмы определять, какое из вычисленных $k$ является наименьшим?

Говоря о кривых Морделла и целых точках на них, я имел в виду прежде всего решение диофантова уравнения $x^2+k=y^3$ относительно $x,y$ при фиксированном $k$.

Говоря "задавшись $y=\dots$" вы, видимо имеете в виду решение уравнения $x^2+k=y^3$ относительно $x,k$ при заданном $y$. Это совсем другая и куда более простая задача. Все ее решения в неотрицательных целых числах задаются в параметрической форме:

$$\begin{cases} x = t\\ k = y^3 - t^2 \end{cases} $$

где параметр $t$ пробегает значения от $0$ до $\lfloor y^{3/2}\rfloor$.

Ваш второй вопрос по сути о числе представлений числа $k$ в виде $y^3 - x^2$. Аналитического решения я не знаю, но зато алгоритмическое следует из аппарата эллиптических кривых. Число представлений - это по сути число целых точек на соответствующей кривой Морделла.

Ответ на третий вопрос тривиально следует из ответа на первый вопрос: наибольший $x$ равен $\lfloor y^{3/2}\rfloor$, а соответствующее ему (наименьшее) $k$ равно $y^3 - \lfloor y^{3/2}\rfloor^2$.

[Мат]

Звезды уж так сложились, внимательнейшим образом изучил сегодня уравнение Морделла $x^2+2=p^3$ и не скрою своего желания похвастаться, что решить мне его все-таки удалось! (все-таки не удалось - ред. позже).
Пока новый метод хоть и сыроват, чтобы понять и оценить всю его красоту предлагаю всем желающим два уравнения или задачи, которые мне удалось решить удивительнейшим способом:
$1.$ Доказать, что уравнение $4(a^2+b^2)=k^2+3$ имеет единственное решение.
$2.$ Доказать, что уравнение $48t+1=u^2$ имеет также единственное решение!

[Someone]

Мат в сообщении #192213 писал(а):

$1.$ Доказать, что уравнение $4(a^2+b^2)=k^2+3$ имеет единственное решение.

$(a,b,k)=(2,3,7),(3,8,17),(4,15,31),(5,24,49),(6,11,25),(6,35,71),\ldots$

Мат в сообщении #192213 писал(а):

$2.$ Доказать, что уравнение $48t+1=u^2$ имеет также единственное решение!

$(u,t)=(7,1),(17,6),(23,11),(25,13),(31,20),(41,35),\ldots$

[maxal]

Мат
Во-первых, частные случаи кривых Морделла разбирались в этой теме:
http://dxdy.ru/topic6188.html

Во-вторых, формулируйте четче относительно чего нужно решать уравнения.

Мат в сообщении #192213 писал(а):

$1.$ Доказать, что уравнение $4(a^2+b^2)=k^2+3$ имеет единственное решение.

Подозреваю, что решать надо относительно $a,b$. Но в любом случае утверждение неверно. Наример, для $k=9$ оно вообще не имеет решений, а для $k=71$ имеет 2 решения (с точностью до порядка следования $a,b$): $(a,b)=(6,35)$ и $(a,b)=(19,30)$.

Мат в сообщении #192213 писал(а):

$2.$ Доказать, что уравнение $48k+1=u^2$ имеет также единственное решение!

Это вообще бессмысленно выглядит.

[Мат]

Верно, напутал, мои извинения.
Правильное частное решение второго уравнения:
$48t+1=u^2$
$u=48k\pm7$
Одним из частных решений первого уравнения
$4(a^2+b^2)=k^2+3$ является:
$a=(4p^2-1), b=2p, k=(8p^2-1)$
$4((4p^2-1)^2+(2p)^2)=(8p^2-1)^2+3$
Нахождение общего решения трудоемко и не имеет никакой практической пользы для темы, поэтому я не стал этим заниматься.
К сожалению для доказательства единственности необходимы все решения данного уравнения, чтобы последовательно доказать, что ни одно из них не годится для решения уравнения Морделла, поэтому данный способ решения уравнения Морделла трудоемок и малопригоден.
P.S.
Жаль а метод был очень красив.

[Мат]

Для общего решения уравнения:
$4(a^2+b^2)=k^2+3$ потребовалось решить уравнение:
$a^2+b^2=c^2+3d^2$ которое очень похоже на уравнение
$a^2+b^2=m^2-mn+n^2$, которое решили Коровьев и Petern1. Тем более, если заменить $m+n=c$, $mn=d$.
Удивительная связь между уравнением Морделла $x^2+2=p^3$ и предыдущим

$$\frac{a^5+b^5}{a+b}=m^2$$

, не так ли?

[Petern1]

КОРОВЬЕВ

Ваше число 313 так же вычисляется по предложенным мною формулам. Возмите $l_1=-3 , l_2=9 , t=9$, подставте в формулы и Вы получите $a=19 , b_1=16 , b_2=3 , c=13 , d=12$. Я так же малость поспешил, и мне показалось, что это число не желает подчиниться формулам. Но как видите с формулами пока порядок. Конечно, не плохо бы было опробировать формулы на большом количестве чисел. Но где их взять.
Посмотрел я так же и Ваши формулы. И, наверно, я что-то не понимаю. Ведь достаточно взять числа $x=4,y=3,z=2,t=1$, подставить в Ваши формулы, и результат не стыкуется. Возможно здесь должны быть какие-нибудь оговорки. Поясните пожалуста?
И позвольте поздравить близких к Вам женщин с праздником, пожелать им здоровья, благополучия, взаимопонимания!
С уважением Petern1

Добавлено спустя 31 минуту:

МАТ и MAXAL

Уважаемые Мат и maxal , сильно, сильно благодарен вам за вашу быструю, интенсивную работу. Но давайте завтра передохнем. Большой праздник. И позвольте поздравить ваших женщин с этим светлым праздником , пожелать им всего самого наилучшего! Petern1.

[Коровьев]

Petern1 в сообщении #192815 писал(а):

Посмотрел я так же и Ваши формулы. И, наверно, я что-то не понимаю. Ведь достаточно взять числа , подставить в Ваши формулы, и результат не стыкуется. Возможно здесь должны быть какие-нибудь оговорки. Поясните пожалуста?

У меня опять описка. В самом выводе правильно, а в сводке результатов напорол. Исправил.
*****
Теперь. Описываемые алгебраические числа принадлежат полю четвёртого порядка, являющимся объединением двух квадратичных полей. Для описания всех его элементов необходимо и достаточно четыре независимых переменных.
Три независимых переменных не могут описать все эти числа.
Это аналогично тому, что, к примеру, все целочисленные точки трёхмерного евклидового пространства, требующие три независимые переменные, мы смогли бы описать с помощью двух независимых переменных.
Искать же числовое опровержение слишком муторно. Но оно должно быть. Иначе это переворот в математике.

[Petern1]

Коровьев.

Относительно трехмерного евклидова пространства Вы сказали четко, понятно, бесспорно. Поэтому я упорно занялся поиском 4-го параметра, который должен быть в формулах вычисления чисел удовлетворяющих равенству
$b_1^2+b_1b_2+b_2^2=c^2+d^2$ и не нашел. Формулы с тремя переменными работают (если можно так выражаться).Произвел проверку на 20 числах подряд, без пропусков, начиная с 13 и кончая 601. Формулы не дали ни одной ошибки. Все-таки это серьезная заявка на их достоверность. Да и вывод формул, именно поднаготная вывода, говорит об этом.
С другой стороны Вы уверенно утверждаете, что опровержение этим формулам должно быть. Как же его найти?
Суважением Petern1.

[Petern1]

МАТ

В сообщении от 06. 03. 09 писал

«…внимательнейшим образом изучил сегодня уравнение Морделла $x^2+2=p^3$ и не скрою своего желания сказать, что решить мне его все-таки удалось! (все-таки не удалось---ред. позже).»

Уважаемый Мат, это равенство записанное в таком виде
$x^2+2=y^3$, на мой взгляд, следует называть теорема Ферма, а не уравнение Морделла. Так как именно Ферма впервые выдвинул ее перед людьми этак лет за 300 до Морделла. В общей записи $x^2+k=y^3$ за ним закрепилось название ур-ие Морделла. Но это так, между прочим.
Из ирформации, которую дал maxal, можно сказать, что это уравнение упорно не потдавалось решению. И математика пошла по другому пути: были разработаны алгоритмы вычисления $x , y$ по заданному $k$. Но алгоритмы могут дать ответ что может быть, и не могут дать ответ чего быть не может. Так если алгоритмы вычислили, что при $k=2 , x=5, y=3$ и другие $x,y$ не вычисляются, то является ли это доказательством того, что других $x,y$ не существует? Предполагаю, что для $k=3$, алгоритмическим методом $x,y$ не обнаруживаются . Является ли это доказательством того, что их нет? Поясните пожалуйста maxal, и кто еще сведущие в этих вопросах.
Предлагаю на рассмотрение свое доказательство для $k=5$.
Невозможно среди целых чисел найти такой
квадрат, к которому если прибавить 5 полу-
чился бы куб.
Но предположим, что такое равенство возможно. Тогда запишем $x^2 +5=y^3, x^2+5=k^3+3k^2+3k+1, x^2+2^2=k(k^2+3k+3)$. Слева сумма квадратов, справа произведение, значит слева должно быть произведение двух сумм квадратов (доказано Эйлером). Тогда запишем
$(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)=x^2+2^2=k(k^2+3k+3)$. Положим $k=a_1^2+b_1^2$, тогда

$$k^2+3k+3=a_2^2+b_2^2, (k+1)^2+k+2=a_2^2+b_2^2, k+1=a_2, k+2=b_2^2, a_1^2+b_1^2+2=b_2^2, a_1^2+b_1^2+1=(b_2-1)(b_2+1)$$

. Это равенство требует, чтобы $b_1^2+1=2a_1$.
Тогда

$$a_1^2+2a_1=a_1(a_1+2)=(b_2-1)(b_2+1). a_1=b_2-1, b_2=a_1+1$$

. Но $2a_1=b_1^2+1, a_1=(b_1^2+1)$ деленное на 2.(у меня не получается записать дробь, извините) Тогда
$b_2=a_1+1=(b_1^2+3).$ деленное на 2
$a_2=k+1=a_1^2+b_1^2+1=(b_1^4+6b_1^2+5)$. Деленное на 4. И так числа $a_1,a_2,b_2$ точно определяются числом $b_1$. А теперь вспомним о формулах умножения сумм квадратов
$a=a_1a_2+b_1b_2$
$b=a_2b_1-a_1b_2$. Здесь $b$ должно быть равно 2 . Подставим значения чисел $a_1,a_2,b_2$
$(b_1^4+6b_1^26+5)*b_1$ деленное на 4, минус
$(b_1^2+1)* (b_1^2+3)$ деленное на 4. И эта разность должна быть равна 2 . Освободившись от знаменателя будем иметь
$b_1^5+6b_1^3+5b_1-(b_1^4+4b_1^2+3)=8$. Легко проверить: $b_1=0 , b=-3$
$b_1=1 , b=4$
$b_1=2 , b=55$. И так при любых $b_1$ разность, число $b$, не равно $8$. Это равенство не возможно, поэтому не возможно и равенство
$x^2+5=y^3$.