2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 12  След.
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 16:37 
Аватара пользователя
Что такое "интеграл по кривой"? Под этим может скрываться как интеграл по длине дуги $\int _L F(\mathbf{x})|d \mathbf{x}|$, так и интеграл по кривой $\int _L \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot d \mathbf{x} $ (интегралы 1го и 2го рода). Я не видел учебников по Calculus II, где бы подынтегральная функция зависела от $\dot{\mathbf{x}}$. Разумеется, и такой интеграл подпадает под определение, но тогда кривая $(t, {\mathbf{x}}(t),\dot{\mathbf{x}}(t))$ лежит в $(2n+1)$-мерном пространстве.

Наверно, в таком случае стоит говорить (чтобы не делать оговорок) об интеграле по траектории.

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 16:51 
Red_Herring в сообщении #1668067 писал(а):
Наверно, в таком случае стоит говорить (чтобы не делать оговорок) об интеграле по траектории.
Траектория, по школьному определению - это именно пространственная кривая, по которой двигалось тело.

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 16:56 
Аватара пользователя
Red_Herring в сообщении #1668067 писал(а):
Что такое "интеграл по кривой"? Под этим может скрываться как интеграл по длине дуги $\int _L F(\mathbf{x})|d \mathbf{x}|$, так и интеграл по кривой $\int _L \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot d \mathbf{x} $

Очень часто говорят интеграл по кривой, 1-го или 2-го рода - это как-то видно. Потому говорят без уточнений. Интеграл по траектории тоже попадается. Как и по контуру.
Red_Herring в сообщении #1668067 писал(а):
Я не видел учебников по Calculus II, где бы подынтегральная функция зависела от $\dot{\mathbf{x}}$.

Мне тоже не попадались рабочие примеры, вот, пытаюсь найти. Понятно, что чисто теоретически может зависеть.

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 17:06 
Разобрало меня любопытство. Неужели эти вещи не отмечались ни в одной книжке по механике? Ну нет, конечно, отмечались.
П. Аппель Теор. механика, том 1:
https://ibb.org.ru/1/qSpgJa
Через $\mathscr{T}$ у Аппеля обозначена работа.

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 17:14 
drzewo в сообщении #1668072 писал(а):
Ну нет, конечно, отмечались.
То, что вы процитировали, это школьная физика, хорошо известная любому грамотному школьнику. Если сила зависит только от положения, то работа силы не зависит от скорости перемещения. Но вы тут доказывали иное: что сама запись интеграла некорректна.

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 17:22 
Аватара пользователя
Ссылка на книжку есть, прочитать можно.
https://disk.yandex.ru/i/Z0o5UMTtl3JIcA

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 17:46 
Да почему вообще решили, что запись $A = \int\limits_{L}^{} \mathbf{F} d \mathbf{s}$, говорит что сила является только функцией радиус-вектора (положения материальной точки в пространстве)?
Эта запись ничего такого не говорит. Вполне может оказаться что характер зависимости действия силы нам наперёд неизвестен. И по ходу перемещения материальной точки по кривой $L$ определяем силу, и по формуле вычисляем работу этой силы.

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 17:47 
Материальная точка на пружинке находится в линейно-вязкой среде
, которую постепенно нагревают, от чего меняется коэффициент вязкости:
$$\boldsymbol F(t,\boldsymbol r,\boldsymbol {\dot r})=-k(t)\boldsymbol {\dot r}-c\boldsymbol r.$$

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 17:50 
Аватара пользователя
rascas в сообщении #1668086 писал(а):
Да почему вообще решили, что запись $A = \int\limits_{L}^{} \mathbf{F} d \mathbf{s}$, говорит что сила является только функцией радиус-вектора (положения материальной точки в пространстве)?

Потому что по кривой. Ей принадлежит только $(x,y,z)$. Ни время и ни скорость.

-- 01.01.2025, 16:51 --

drzewo в сообщении #1668087 писал(а):
Материальная точка на пружинке находится в линейно-вязкой среде

Спасибо.

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 18:00 
Combat Zone в сообщении #1668088 писал(а):
Потому что по кривой. Ей принадлежит только $(x,y,z)$. Ни время и ни скорость.
Материальная точка всегда движется по какой-то кривой. И это не значит, что сила, действующая на материальную точку (одна из сил, действующая на материальную точку) является только функцией радиус-вектора (координат) этой материальной точки.

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 18:06 
Аватара пользователя
Если писать интеграл именно криволинейный, то аргумент функции там должен меняться на кривой, а тут даже размерность другая.
Ну или это какой-то другой интеграл, тогда надо объяснить - какой.
К аргументам из последнего вашего поста сие обстоятельство никакого отношения не имеет. Я против них не возражаю вообще никак.

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 22:54 
Аватара пользователя
У меня остался один вопрос: кто же всё таки убил Нолестро а как же всё таки обозначать и называть интеграл, которым считается работа (в случае силы, зависящей от времени)?
Надеюсь, возражений, что это именно интеграл нет. :wink:

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 23:06 
Аватара пользователя
Вспоминаю сейчас название одной работы некой в своё время знаменитой в узких кругах мадам. Что-то типа "Колебания упруго вязко релаксирующего стержня в сплошной среде" (возможно там были и дефисы). Ух как внушительно! Но тут же, ниже, было приведено простенькое линейное дифференциальное уравнение в частных производных на функцию двух вещественных переменных. Ещё ниже были выписаны начальные и граничные условия. Я ещё тогда не мог понять, зачем это уравнение пытаться пропеть? Не понимаю этого и сейчас.

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 23:06 
EUgeneUS в сообщении #1668121 писал(а):
У меня остался один вопрос: кто же всё таки убил Нолестро а как же всё таки обозначать и называть интеграл, которым считается работа

drzewo в сообщении #1667642 писал(а):
работа силы за время $[t_1,t_2]$
$$A=\int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F\big(t,\boldsymbol r(t),\boldsymbol{\dot r}(t)\big),\boldsymbol{\dot r}(t)\Big)dt.\qquad(*)$$


(Оффтоп)

спасибо, что напомнили про фильм, качаю:)

 
 
 
 Re: Так правильно считаем работу?
Сообщение01.01.2025, 23:35 
Аватара пользователя
drzewo
Э, нет. Так не пойдет (понятно, что у Вас запись корректная, но хочу по-другому).

Пишем интегральную сумму:
$$ I_\Sigma = \sum\limits_{i=1}^{N} \mathbf{F} (t(\mathbf{r_i}), \mathbf{r_i}) \cdot (\triangle \mathbf{r})_i$$
Далее переходим к интегралу. Под интегралом будет, очевидно, $\mathbf{F} (t(\mathbf{r}), \mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r}$.
А вот какой значок интеграла нарисовать? И как это всё назвать?

 
 
 [ Сообщений: 169 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 12  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group