Так правильно считаем работу?

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1667926 писал(а):

Но у значка силы при такой замене не появляется звёздочка.

И что? Явная зависимость от $s$ откуда там может появиться, кроме как такой заменой переменной?

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1667922 писал(а):

продолжаю не понимать, почему в этом случае теорема о замена переменной в определенном интеграле перестаёт работать,

Она как раз не перестает работать. По этой теореме будет

$$\int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F(t,\boldsymbol r_*(t)),\frac{d}{dt}\boldsymbol{ r_*}(t)\Big)dt= \int_{s_1}^{s_2}\Big(\boldsymbol F(t(s),\boldsymbol r(s)),\frac{d}{ds}\boldsymbol{ r}(s)\Big)ds$$

а инвариантность относительно параметризации означала бы, что

$$\int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F(t,\boldsymbol r_*(t)),\frac{d}{dt}\boldsymbol{ r_*}(t)\Big)dt= \int_{s_1}^{s_2}\Big(\boldsymbol F(s,\boldsymbol r(s)),\frac{d}{ds}\boldsymbol{ r}(s)\Big)ds$$

Сравните равенства

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1667928 писал(а):

Явная зависимость от $s$ откуда там может появиться, кроме как такой заменой переменной?

А явная зависимость от $t$ была введена на шаге 2. Меняя параметр $t$ на $s$ нужно к функции приписать звёздочку.

-- 31.12.2024, 12:48 --

drzewo в сообщении #1667929 писал(а):

а инвариантность относительно параметризации

Вся физика происходит в четырехмерном пространстве-времени. Нельзя параметризацию частей физической модели менять независимо друг от друга.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1667929 писал(а):

Сравните равенства

Сравнил.
В этот раз не понимаю, откуда может взяться явная зависимость силы от $s$ в правой части второго равенства, кроме как из $t(s)$.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1667935 писал(а):

В этот раз не понимаю, откуда может взяться явная зависимость силы от $s$ в правой части второго равенства, кроме как из $t(s)$.

Ну я же там написал. Второе равенство -- это определение инвариантности. Инвариантность означает, что расчетная формула для величины (для работы в данном случае) одна и таже для любой параметризации. А по теореме о замене переменной в интеграле, мы видим, что если сила зависит явно от времени то в формуле еще обязательно будет болтаться эта самая параметризация $t(s)$. Об этом речь и идет, что если сила не зависит явно от времени то формула для работы инвариантна, а если зависит -- то нет. На геометрическом языке инвариантность означает, что мы интегрируем по кривой

[wrest]

Amw в сообщении #1667915 писал(а):

realeugene в сообщении #1667913 писал(а):

С какой стати сила стала зависеть от времени независимо от положения на пути? Это нефизично.

Почему нефизично? Сидит зеленый человечек и нажимает на педаль двигателя ( обеспечивающую эту силу) как ему заблагорассудится. А у ракеты есть ещё много разных двигателей, обеспечивающих ей произвольную траекторию. Но мы то хотим посчитать работу одного двигателя?

Мне вдруг представилась такая иллюстрация работников. Кто-то хорошо тянет а кто-то филонит, время от времени. Путь проходят один и тот же.

[drzewo]

(Оффтоп)

На самом деле речь идет о вещах, которые физики должны понимать очень хорошо.
Вот такой интеграл по кривой $\gamma$

$$\int_\gamma\sqrt{g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j}dt$$

корректно определен, а такой

$$\int_\gamma\sqrt{g_{ij}(t,x)\dot x^i\dot x^j}dt$$

-- нет, и такой

$$\int_\gamma g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^jdt$$

-- нет

[EUgeneUS]

drzewo
Спасибо!
Насколько понял, Ваши возражения заключаются в том, что в случае, если сила зависит не только от $\mathbf{r}$, агрегат, с помощью которого считается работа, нельзя называть "криволинейным интегралом второго рода" или "интегралом по кривой" (и соответствующим образом обозначать). Хотя само значение работы получается верным.

У меня осталось ещё несколько уточняющих вопросов, но задам их уже в следующем году.

С наступающим!

[Amw]

wrest в сообщении #1667946 писал(а):

Кто-то хорошо тянет а кто-то филонит

Много недоразумений возникает когда путают работу одной силы с работой равнодействующей нескольких.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1667950 писал(а):

Ваши возражения заключаются в том, что в случае, если сила зависит не только от $\mathbf{r}$, агрегат, с помощью которого считается работа, нельзя называть "криволинейным интегралом второго рода" или "интегралом по кривой" (и соответствующим образом обозначать). Хотя само значение работы получается верным.

да

EUgeneUS в сообщении #1667950 писал(а):

С наступающим!

Вас также!

[realeugene]

drzewo в сообщении #1667939 писал(а):

Инвариантность означает, что расчетная формула для величины (для работы в данном случае) одна и таже для любой параметризации.

Но только с какого бодуна этот произвольный параметр кривой становится у вас непосредственно параметром силы? Сила может зависеть от (физического) времени, но время должно быть функцией вашего параметра кривой, и при изменении параметра кривой время тоже меняется. В общем случае зависимости силы от времени сама кривая определена в четырехмерном пространстве-времени.

[EUgeneUS]

Пусть есть кривая $L$ - (например) траектория частица, и есть векторное поле $\mathbf{F(\mathbf{r})}$, определенное (как минимум) на кривой. Тогда определен криволинейный интеграл второго рода. В том смысле, что есть его определение, и его можно посчитать согласно определению.

Теперь пусть векторное поле зависит от времени: $\boldsymbol F(t, \mathbf{r})$. Что делать с этой зависимостью, определение криволинейного интеграла второго рода нам ничего не говорит.

И есть (как минимум) два разных способа расширения на этот случай:

1. Зафиксируем момент времени $t$ и посчитаем криволинейный интеграл второго рода по определению, считая $t$ независимым параметром. На выходе получим функцию от времени:

$$\int\limits_{L}^{} \boldsymbol F (t, \mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r} = B(t)$$

2. Вспомним, что $L$ - траектория движения материальной точки, и будем в качестве в качестве значений $\boldsymbol F(t, \mathbf{r})$ брать значения, именно на траектории точки, с учетом времени. На выходе получим число:

$$\int\limits_{L}^{} \boldsymbol F (t(\mathbf{r}), \mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r} = A$$

И то и другое имеет физический смысл, например:
(1) - именно так считается циркуляция полей во второй паре уравнений Максвелла в интегральном виде.
(2) - так считается работа.

А далее обсуждение терминологии.

-- 01.01.2025, 10:29 --

С одной стороны, сложно не согласиться, что называть одинаковыми словами и обозначать одинаковыми обозначениями разное - это не комильфо.

С другой стороны,
а) не вижу никаких проблем (возможно зря), чтобы не называть и (1), и (2) "интегралом по кривой" или "интегралом вдоль кривой". Понимая, что "интегралы по кривой" могут быть разными.
б) Тем более и фраза "интеграл по кривой", и обозначение

$$\int\limits_{L}^{}$$

многозначны даже в стационарном случае: они используются как для криволинейных интегралов первого рода, так и для криволинейных интегралов второго рода. Различие в обозначениях имеется только в подынтегральном выражении. Так и тут: (1) и (2) различаются подынтегральным выражением

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1668026 писал(а):

Тем более и фраза "интеграл по кривой", и обозначение

$$\int\limits_{L}^{}$$

многозначны даже в стационарном случае: они используются как для криволинейных интегралов первого рода, так и для криволинейных интегралов второго рода

Да, потому, что криволинейный интеграл и первого и второго рода не зависит от параметризации кривой. И как я вижу, донести мне этот принципиальный факт так и не удалось. Ну, что поделаешь...

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1668028 писал(а):

Да, потому, что криволинейный интеграл и первого и второго рода не зависит от параметризации кривой. И как я вижу, донести мне этот принципиальный факт так и не удалось.

С одной стороны, я прекрасно понимаю, что криволинейные интегралы первого и второго рода, а также (1), не зависят от параметризации кривой.
Также могу понять, почему криволинейные интегралы первого и второго рода, а также (1), можно считать "геометрическими объектами" - потому что для их расчета нам нужны только геометрические объекты (векторное поле и собственно кривая).
Также могу понять, почему (2) не является геометрическим объектом - потому что для его расчета нужен закон движения точки по кривой $\mathbf{r}(t)$ (кроме векторного поля и собственно кривой).

Но мне рвет мозг, почему утверждается, что (2) зависит от параметризации кривой.
Так как смена параметризации кривой это всего лишь замена переменных $t \to s$ в $\mathbf{r}(t) \to \mathbf{r}^*(s)$.
При этом, в случае (2) мы должны заменить переменную как в $\mathbf{r}(t)$, так и в явном вхождении $t$ в $\mathbf{F}(t, \mathbf{r})$.
При этом, в результате мы получим одно и тоже число, для разных параметризаций кривой.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1668030 писал(а):

Но мне рвет мозг, почему утверждается, что (2) зависит от параметризации кривой.

Потому что ваш собеседник сам выдумал бессмыслицу, и сам же ржёт над этой бессмыслицей, думая, что физики идиоты.