кортежи последовательных простых. ключ к 19-252

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1646273 писал(а):

Какие получились $w(3),w(5),w(7)$? Я проверю.

Хорошо, попозже.

Dmitriy40 в сообщении #1646275 писал(а):

Полчаса до 1e13, соответственно часов 5 до 1e14, запустил.

А точно тот самый паттерн? Количества такие: 9205, 47915, 265824 ?

-- 14.07.2024, 14:21 --

vicvolf в сообщении #1646273 писал(а):

Какие получились $w(3),w(5),w(7)$? Я проверю.

$w(3) =\dfrac{3^6}{2^6},w(5)=\dfrac{5^6}{2^{13}},w(7)=\dfrac{7^6}{2^6\cdot3^7}}$

Почти сразу умножил на $2^6$ и перемножил между собой.

[0, 18, 24, 54, 84, 90, 108]


0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 3)      1 ostatok


      1
1 - ____               7     6           6
      3        2      3     3       6   3 
__________ = _____ * ____ = ____ * 2  = ___
               3       7     6           0
                      2     2           2
      1  7
( 1 - _ )
      3





0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 5)      3 ostatka  0, 4, 2, 2, 2, 0, 4

      3
1 - ____               7      6
      5        2      5      5   
__________ = _____ * ____ = ____
               5       14    13
                      2     2    
      1  7
( 1 - _ )
      5




0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 7)      5 ostatkov  0, 2, 5, 6, 0, 3, 5

      5
1 - ____               7      6
      7        2      7      7   
__________ = _____ * ____ = ____
               7       7     6 7
                      6     2 3   
      1  7
( 1 - _ )
      7



   6       6      6              6
  3       5      7            105
______ * ____ * ________  =  _______
   0       13     6 7         19 7
  2       2      2 3         2  3

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646276 писал(а):

[0, 18, 24, 54, 84, 90, 108]


0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 3)      1 ostatok


      1
1 - ____               7     6           6
      3        2      3     3       6   3 
__________ = _____ * ____ = ____ * 2  = ___
               3       7     6           0
                      2     2           2
      1  7
( 1 - _ )
      3





0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 5)      3 ostatka  0, 4, 2, 2, 2, 0, 4

      3
1 - ____               7      6
      5        2      5      5   
__________ = _____ * ____ = ____
               5       14    13
                      2     2    
      1  7
( 1 - _ )
      5




0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 7)      5 ostatkov  0, 2, 5, 6, 0, 3, 5

      5
1 - ____               7      6
      7        2      7      7   
__________ = _____ * ____ = ____
               7       7     6 7
                      6     2 3   
      1  7
( 1 - _ )
      7



   6       6      6              6
  3       5      7            105
______ * ____ * ________  =  _______
   0       13     6 7         19 7
  2       2      2 3         2  3

Верно.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1646278 писал(а):

Неверно, $w$ - это количество. Должно быть целое число.

Ну да, $w$ это количество уникальных остатков:

$w(3) = 1, w(5)= 3, w(7)=5$

Я же расписал как их считал. Просто поторопился и написал произведения вместо количества остатков. Но посчитал-то вроде правильно.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646280 писал(а):

Но посчитал-то вроде правильно.

Да, правильно. Пригодилась теория?

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1646276 писал(а):

А точно тот самый паттерн? Количества такие: 9205, 47915, 265824 ?

Да, тот самый:

Yadryara в сообщении #1646258 писал(а):

Это для паттерна 7-108-1, то есть [0, 18, 24, 54, 84, 90, 108].

А количества другие:

1e8: nn=[1, 4, 11, 28, 34, 39, 21, 9, 9, 2, 0, 1], sum=159
1e9: nn=[4, 29, 102, 153, 147, 108, 50, 28, 13, 3, 0, 1], sum=638
1e10: nn=[41, 250, 536, 736, 627, 431, 166, 66, 26, 3, 0, 1], sum=2883
1e11: nn=[419, 1671, 3130, 3546, 2722, 1501, 565, 186, 56, 12, 0, 1], sum=13809
1e12: nn=[3087, 11269, 18443, 17949, 12140, 5932, 2078, 593, 125, 21, 0, 1], sum=71638
1e13: nn=[24030, 75583, 108959, 96375, 58305, 25391, 8181, 2014, 382, 48, 7, 1], sum=399276

Которые и были первыми у меня:

Dmitriy40 в сообщении #1646143 писал(а):

1e8:    159     110     152
1e9:    638     410     618
1e10:   2883    1848    2538
1e11:   13809   9205    12198
1e12:   71638   47915   62870
1e13:   399276  265824  354380

[Yadryara]

vicvolf

Ещё бы. Но чтобы с её помощью оценить хотя бы количество всех 19-252, нужно ещё много сделать.

Dmitriy40 в сообщении #1646285 писал(а):

А количества другие:

Не зря уточнил. Это такая особенность. См. ниже.

Yadryara в сообщении #1646198 писал(а):

Ну я понял, гипотеза HL-1 как раз под количество всех кортежей и заточена. Для чистых кортежей она подходит только в тех случаях, когда кортеж невозможно загрязнить.

Коряво сформулировал.

Кристально чистый кортеж, который невозможно загрязнить, для которого доля чистых строго 100%, назову кристаллом. Например, [ 0, 2, 6 ] — кристалл.

Гипотеза HL-1 заточена под кристаллы. Но получаемые количества подходят и для количества всех для других паттернов с не меньшей точностью. Надо только понять как эти кристаллы связаны с обычными нашими паттернами. Установить соответствие.

И только тогда можно будет посчитать асимптотику для 19-252.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1632363 писал(а):

Yadryara в сообщении #1632317 писал(а):

Так что прикидку в студию, плиз.

Я ничего нового не изобретал. Есть первая гипотеза Харди-Литтлвуда о количестве k-кортежей на интервале $x$: $\pi(x,k) \sim \frac{Cx}{\ln^k(x)}$, где постоянная $C$ зависит от структуры кортежа. В данном случае я хотел просто грубо оценить порядок величины $x$ до первого кортежа, поэтому предположил значение $\pi(x,k)=1$, а значение $C$ вообще не учитывал. Наверно так делать нельзя, так как значение $C$ при большом значение $k$ велико и формула асимптотическая. До этого я проверял гипотезу при небольших значениях $k$ и большом количестве кортежей и она давала хорошие результаты.

Я тогда прикинул по первой гипотезе Харди-Литтлвуда. Интересно, что теперь получится с учетом коэффициентов.

[Yadryara]

vicvolf, конечно интересно. Помогайте считать, пожалуйста.

Dmitriy40, ну вот сравнение и прогноз по этому 1-му паттерну:

10^        HL-1      Fact  Pogresh.

8        2437.2711   159   14.3
9        2908.1197   638    3.56
10      5090.8037   2883    0.766
11     16014.133   13809    0.160
12     74214.578   71638    0.0360
13    400943.47   399276    0.00418
14   2317911.7 

Сравнение и прогноз по 2-му остаются в силе.

[Dmitriy40]

Yadryara

Dmitriy40 в сообщении #1646285 писал(а):

А количества другие:

1e8: nn=[1, 4, 11, 28, 34, 39, 21, 9, 9, 2, 0, 1], sum=159
1e9: nn=[4, 29, 102, 153, 147, 108, 50, 28, 13, 3, 0, 1], sum=638
1e10: nn=[41, 250, 536, 736, 627, 431, 166, 66, 26, 3, 0, 1], sum=2883
1e11: nn=[419, 1671, 3130, 3546, 2722, 1501, 565, 186, 56, 12, 0, 1], sum=13809
1e12: nn=[3087, 11269, 18443, 17949, 12140, 5932, 2078, 593, 125, 21, 0, 1], sum=71638
1e13: nn=[24030, 75583, 108959, 96375, 58305, 25391, 8181, 2014, 382, 48, 7, 1], sum=399276

1e14: nn=[177056, 502986, 661258, 530930, 288540, 114539, 33688, 7580, 1296, 170, 17, 2], sum=2318062

[Yadryara]

Да, высоченная точность получилась:

10^       HL-1      Fact  Pogresh.

8       2437.2711    159   14.3
9       2908.1197    638   3.56
10      5090.8037   2883   0.766
11     16014.133   13809   0.160
12     74214.578   71638   0.0360
13    400943.47   399276   0.00418
14   2317911.7   2318062  -0.0000648
15  13999274 
16  87556996 

Но это, видимо, повезло. Если 7-108-2 посчитать, навряд ли погрешность будет меньше 0.01 %, как для 7-108-1.

Dmitriy40 в сообщении #1646275 писал(а):

Кстати похоже эта ваша $w(\ldots)$ выдаёт просто количество запрещённых остатков по модулю простого.

Вот именно. Ну что не могли по человечески (русским языком ) написать:

$w$ — количество запрещённых остатков по нечётному простому модулю не превышающему длину кортежа.

Ну ладно, продрался через неудобные формулировки и сделал прогу, которая всё что надо для HL-1 считает и даёт прогноз прямо по паттерну:

{print();
v = [0, 18, 24, 54, 84, 90, 108];
MC = 2^(#v-1);

forprime(p=3,#v, m=setminus(vector(p,i,i-1),Set(-v%p));
w = p - #m;
MC *= (1 - w/p)/(1 - 1/p)^#v);
C07 = 0.3694375103864986893231907499;

C = MC * C07 * 3/2;

\\10^  1  2  3  4   5   6    7     8     9     10  
fc = [ 0, 0, 0, 0,  0,  0,   0,  159,  638,  2883,
 13809, 71638, 399276, 2318062, 1,   1,1,1,1,1,   1,1,1,1,1,  1];

print("10^        HL-1      Fact  Pogresh.");
print();

for(po = 8, 16,
Li2 = intnum(t=2, 10^po, C/log(t)^7);

if(fc[po]<>1,
printf("%d    %.8g      %d    %.3g\n",po,Li2,fc[po],(Li2-fc[po])/fc[po]),
printf("%d   %.9g\n",po,Li2));
);

print();

}quit;

Единственное что пока непонятно, это то самое соответствие, о котором говорил выше. В данном случае взял поправочный кэф 1.5 : C = MC * C07 * 3/2.

Для 19-252, я конечно тоже уже подсчитал, грустный прогноз сбылся, превышение огромное.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646339 писал(а):

Единственное что пока непонятно, это то самое соответствие, о котором говорил выше. В данном случае взял поправочный кэф 1.5 : C = MC * C07 * 3/2.

Не понял а зачем поправочный коэффициент $1,5$? Наверно из-за этого:

Yadryara в сообщении #1646198 писал(а):

Ну я понял, гипотеза HL-1 как раз под количество всех кортежей и заточена. Для чистых кортежей она подходит только в тех случаях, когда кортеж невозможно загрязнить.
Коряво сформулировал. Кристально чистый кортеж, который невозможно загрязнить, для которого доля чистых строго 100%, назову кристаллом. Например, [ 0, 2, 6 ] — кристалл.
Гипотеза HL-1 заточена под кристаллы. Но получаемые количества подходят и для количества всех для других паттернов с не меньшей точностью. Надо только понять как эти кристаллы связаны с обычными нашими паттернами. Установить соответствие.

Если кортеж можно загрязнить, то (если он проходит по модулю) количество таких кортежей можно рассчитать, но с другой длиной. Ведь длина кортежа - это количество входящих в него простых чисел. Конечно, если считать $19-257$ без учета загрязняющих простых, то будет большая ошибка.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1646342 писал(а):

Если кортеж можно загрязнить, то (если он проходит по модулю) количество таких кортежей можно рассчитать, но с другой длиной.

Уже думал об этом.

Вы поняли, что такое Over prime ? Да, с другой длиной, но какой? С максимально возможной.

То есть, например, можно максимально загрязнить 19-252, тем самым превратив его в кристалл 49-252. И обсчитать. А что дальше? А, ну да, доли для самых грязных мы знаем. Попробую посчитать.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1646345 писал(а):

vicvolf в сообщении #1646342 писал(а):

То есть, например, можно максимально загрязнить 19-252, тем самым превратив его в кристалл 49-252. И обсчитать. А что дальше? А, ну да, доли для самых грязных мы знаем. Попробую посчитать.

Надо подсчитать все варианты загрязнения, которые проходят по модулю, а потом сложить.

[Dmitriy40]

По идее длинные кортежи должны вносить пренебрежимо малый вклад в сумму/произведение, ведь их очень и очень мало.

Например вот все кортежи диаметром 252 длиной 30 и более:
5803841: [0, 8, 18, 26, 36, 38, 42, 50, 60, 66, 86, 92, 96, 98, 102, 110, 120, 128, 138, 150, 158, 176, 182, 192, 200, 212, 218, 228, 240, 246, 252], len=31
7448471: [0, 2, 6, 8, 18, 20, 30, 38, 50, 66, 72, 86, 90, 98, 108, 128, 132, 158, 162, 170, 176, 186, 192, 216, 218, 228, 242, 246, 248, 252], len=30
8756939: [0, 2, 8, 14, 20, 24, 32, 42, 44, 60, 74, 80, 90, 98, 102, 114, 120, 122, 144, 168, 170, 174, 182, 188, 192, 204, 234, 240, 248, 252], len=30
21402047: [0, 2, 6, 30, 32, 44, 56, 60, 62, 72, 90, 102, 116, 134, 140, 146, 150, 162, 170, 174, 176, 182, 186, 192, 206, 210, 216, 234, 242, 252], len=30
453166381: [0, 6, 10, 12, 22, 30, 42, 48, 70, 72, 76, 78, 96, 106, 108, 142, 148, 150, 156, 162, 180, 192, 196, 198, 202, 210, 220, 232, 238, 252], len=30
925594261: [0, 16, 22, 28, 48, 60, 82, 88, 118, 120, 130, 138, 148, 168, 172, 180, 186, 196, 198, 202, 208, 210, 216, 226, 228, 232, 238, 246, 250, 252], len=30
70872264271: [0, 6, 12, 18, 22, 30, 42, 48, 58, 70, 72, 76, 96, 100, 102, 112, 118, 120, 132, 160, 172, 180, 186, 202, 208, 228, 232, 238, 246, 252], len=30
187433748011: [0, 6, 12, 26, 32, 38, 48, 56, 66, 68, 72, 90, 102, 108, 110, 116, 146, 152, 156, 158, 168, 182, 186, 188, 198, 210, 236, 242, 248, 252], len=30
220654442209: [0, 4, 10, 12, 24, 28, 48, 54, 64, 78, 82, 84, 88, 90, 94, 102, 112, 120, 130, 132, 154, 160, 172, 174, 180, 190, 208, 210, 234, 252], len=30
И дальше их нет как минимум до 1e14.
А последний (до 1e14) кортеж диаметром 252 длиной 40+ был таким:
587: [0, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 44, 54, 56, 60, 66, 72, 74, 86, 90, 96, 104, 114, 122, 132, 140, 146, 152, 156, 164, 170, 174, 182, 186, 200, 210, 222, 224, 234, 236, 240, 242, 252], len=40

Кортежей же диаметром 252 и длиной ровно 19 до 1e14 навалом, примерно 170 миллионов.

Да, они все не чистые и не грязные, не совпадают с паттерном 19-252, однако тех значит ещё сильно меньше, и чем грязнее (после нескольких первых), тем сильно меньше, так что искать кортеж длиной 49 (да и любой 40+) смысла не имеет, как и учитывать его вероятность в общей.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1646349 писал(а):

как и учитывать его вероятность в общей.

Вот не уверен, предлагаю попробовать. Вот в апреле была инфа:

Dmitriy40 в сообщении #1636947 писал(а):

Yadryara в сообщении #1636672 писал(а):

Кстати, эти 30 грязных определяются очень рано, уже после $19\#$. Их, видимо, можно в студию.

для следующих простых комбинации загрязнений начинают повторяться (массив это общее количество вариантов загрязнений заданной длины/степени, левый 0 это чистые):
19#: #ww: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 8, 44, 70, 118, 78, 48, 16], len=31, 384 / 384
23#: #ww: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 40, 146, 346, 576, 600, 390, 134, 36, 6], len=31, 2284 / 2304
29#: #ww: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 24, 230, 822, 2268, 4396, 6012, 5512, 3260, 1284, 344, 72, 6], len=31, 24230 / 27648
31#: #ww: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 24, 488, 2780, 10278, 25554, 44516, 55602, 48338, 28518, 11430, 3452, 812, 108, 6], len=31, 231906 / 331776
37#: #ww: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 98, 968, 8370, 40984, 137018, 320136, 545468, 658854, 549262, 325204, 136642, 44218, 10986, 1770, 162, 6], len=31, 2780150 / 6635520

То есть паттернов 49-252 (включающих 19-252) всего 6 штук, да? Можно их в студию?

-- 15.07.2024, 11:13 --

А, ну вот же эти 6 комплектов Over prime = 30. Добавлю их в основной паттерн...

[2, 8, 20, 26, 32, 48, 56, 60, 68, 78, 86, 92, 98, 102, 110, 116, 138, 146, 158, 168, 170, 176, 182, 198, 200, 212, 228, 230, 236, 242]
[10, 22, 24, 40, 52, 54, 64, 66, 70, 76, 82, 94, 100, 106, 114, 136, 142, 150, 154, 166, 174, 184, 192, 196, 202, 204, 226, 232, 244, 250]
[10, 16, 22, 24, 40, 52, 54, 70, 76, 82, 84, 94, 106, 114, 136, 142, 150, 154, 160, 166, 174, 184, 192, 196, 204, 220, 226, 232, 244, 250]
[10, 22, 24, 40, 52, 54, 66, 70, 76, 82, 94, 100, 106, 114, 136, 142, 150, 154, 160, 166, 174, 184, 192, 196, 202, 204, 226, 232, 244, 250]
[2, 8, 20, 26, 48, 50, 56, 60, 68, 78, 86, 92, 98, 102, 110, 116, 138, 146, 152, 158, 170, 176, 182, 186, 198, 200, 212, 228, 230, 242]
[2, 8, 20, 26, 48, 50, 56, 60, 68, 78, 86, 98, 102, 110, 116, 138, 146, 152, 158, 170, 176, 182, 186, 188, 198, 200, 212, 228, 230, 242]