2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55 ... 72  След.
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение11.07.2024, 10:55 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
vicvolf, Bы можете пока просто сказать чему равен $C$ для кортежа 3-12, то есть $p, p+6, p+12$ или его очень сложно вычислить?

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение11.07.2024, 12:13 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
Интересно, что для количества всех 3-12 такое значение

$$C=9\prod_{p\geqslant5}^{\infty}\frac{p^2(p - 3)}{(p - 1)^3}\approx 5.716497191438$$

даёт хорошие приближения. Например, для $10^{10}$ факт — 5427928 штук, а по формуле — 5430584.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение11.07.2024, 13:34 


23/02/12
3341
vicvolf в сообщении #1646004 писал(а):
Посмотрите в первой ссылке рассматривается кортеж $p, p+m_1,p+m_2,...p+m_k$, а во второй - $p,p+2m_1,p+2m_2,...,p+2m_k$, а формулы для коэффициентов количества кортежей $C$ - одинаковые. В третье ссылке, в качестве примера, формулы (1),(2),(3),(4) для количества кортежей $p,p+2$ и $p,p+4$ имеют одинаковые коэффициенты $C$.
Вот в свете этого хорошо бы проверить программно, хотя бы до $10^{10}$:
vicvolf в сообщении #1645922 писал(а):
количество "чистых" кортежей $5-30$, $5-60$

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение11.07.2024, 14:02 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
vicvolf, программно проверить несложно, только Вы паттерны не привели.

Если мы говорим 3-60, 9-84, 15-180 или 19-252, то не приводим паттерн по той простой причине, что во всех этих случаях подразумевается, что кортеж симметричный и паттерн единственный.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение11.07.2024, 14:44 


23/02/12
3341
Если можно, то $p,p+6,p+12,p+18,p+30$ и $p,p+12,p+24,p+36,p+60$.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение11.07.2024, 15:10 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
Держите:

Код:
allocatemem(10^9);
{print();v=[0,6,12,18,30];d=v[#v]; nn=vector(v[#v]); t0=getwalltime();
for(n=0,99, pp=primes([n*1e8,(n+1)*1e8+d]); b=1;for(ip=1,#pp, p=pp[ip];
while(b<=#pp && pp[b]-p<d, b++); if(b>#pp, break);
if(pp[b]-p!=d
|| !setsearch(pp[ip..b],p+v[2])
|| !setsearch(pp[ip..b],p+v[3])
|| !setsearch(pp[ip..b],p+v[4])
, next); nn[b-ip+1]++;
);
b=#nn; while(b>#v && nn[b]==0, b--);

print(n+1," e8: nn=",nn[#v..b],", sum= ",vecsum(nn),", time: ",strtime
(getwalltime()-t0));print(););
print();
}quit;

Количество чистых кортежей — первое в квадратных скобках. Затем замените v=[0,6,12,18,30]; на v=[0,12,24,36,60]; и снова запустите.

Если у Вас Винда х64, то отработает за считанные минуты. Если х32, как у меня, то по 2 часа на паттерн.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение11.07.2024, 18:57 


23/02/12
3341
Спасибо!

$p,p+6,p+12,p+18,p+30$
e8: nn=[21950, 15208, 3394, 282, 11], sum= 40845, time: 5min, 24,881 ms
$p,p+12,p+24,p+36,p+60$
e8: nn=[5664, 12829, 12267, 6944, 2335, 509, 82, 13, 1, 1, 0, 1], sum= 40646, time: 5min, 16,417 ms
$p,p+6,p+12,p+18$
e8: nn=[283353, 75711, 3153, 1], sum= 362218, time: 5min, 13,841 ms
$p,p+12,p+24,p+36$
e8: nn=[120872, 149707, 71913, 16905, 2022, 116, 4, 2], sum= 361541, time: 5min, 20,158 ms

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение11.07.2024, 20:23 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
Ну вот, в 40 раз быстрее чем у меня!

Как видите, количество чистых ещё как отличается. А количество всех опять очень близко: 40845 и 40646.

vicvolf в сообщении #1646039 писал(а):
e8: nn=[21950,

Так не e8, а 100 е8 должно быть. Или 1 е10. Исправляли программу, а печать не поправили?

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение11.07.2024, 21:37 


23/02/12
3341
vicvolf в сообщении #1646021 писал(а):
$p,p+6,p+12,p+18,p+30$ и $p,p+12,p+24,p+36,p+60$.
Это тоже простые кортежи. Они проходят по модулям 3 и 5. Вообщем подтвердилось одинаковое асимптотическое количество простых кортежей $p, p+m_1,p+m_2,...p+m_k$, и $p,p+2m_1,p+2m_2,...,p+2m_k$. Это справедливо для всех простых кортежей, в том числе для $k=19$.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение12.07.2024, 07:39 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
Нашёл базовые константы вплоть до 5-к:

Код:
C2 = 0.6601618158468695739278121100
C3 = 0.6351663546042712072066965913
C4 = 0.3074948787583270931233544861
C5 = 0.4098748850882364744787812123

Для количества всех и для определённых диаметров 5-к такое значение

$$C=\frac{15^4}{2^{10}}\prod_{p\geqslant7}^{\infty}\frac{p^4(p - 5)}{(p - 1)^5}\approx 20.26358989999$$

даёт хорошие приближения. Например, для 5-30:

Код:
10^        HL-1         Fact  Pogresh.

5          79.584908      22   2.62
6         128.98695       63   1.05
7         346.40148      307   0.128
8        1422.0071      1400   0.0157
9        7230.2183      7216   0.00197
10      40802.734      40845  -0.00103
11     245714.74     
12    1553397.0   
13   10214488
14   69412251
15   4.8508997 e8   
16   3.4730272 e9   
17   2.5395272 e10   
18   1.8917327 e11   
19   1.4325831 e12   
20   1.1009578 e13   
21   8.5736631 e13   
22   6.7570152 e14   
23   5.3834449 e15   
24   4.3318113 e16   
25   3.5174005 e17   
26   2.8800498 e18


vicvolf, раз у Вас так быстро считается, посчитайте этот же Ваш паттерн 5-30 подальше, до $10^{11}$ или до $10^{12}$, сравним с прогнозом.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение12.07.2024, 09:17 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
Уточню, какие константы я назвал базовыми:$$C2=\prod_{p\geqslant3}^{\infty}\frac{p^1(p - 2)}{(p - 1)^2}\approx 0.6601618158468695739278121100$$
$$C3=\prod_{p\geqslant5}^{\infty}\frac{p^2(p - 3)}{(p - 1)^3}\approx 0.6351663546042712072066965913$$
$$C4=\prod_{p\geqslant5}^{\infty}\frac{p^3(p - 4)}{(p - 1)^4}\approx 0.3074948787583270931233544861$$
$$C5=\prod_{p\geqslant7}^{\infty}\frac{p^4(p - 5)}{(p - 1)^5}\approx 0.4098748850882364744787812123$$
И нам их надо бы посчитать до
$$C19=\prod_{p\geqslant23}^{\infty}\frac{p^{18}(p - 19)}{(p - 1)^{19}}$$
Не уверен насчёт $p\geqslant23$.

Затем ещё надо будет разобраться с множителями. Откуда я взял множитель $\frac{15^4}{2^{10}}$ ? Не с потолка, конечно. Но как их вычислять, я пока не разобрался. Кто понимает?

Если разберёмся и с множителями, будем знать количество всех кортежей 19-252 для самых разных диапазонов.

vicvolf в сообщении #1646056 писал(а):
Вообщем подтвердилось одинаковое асимптотическое количество простых кортежей $p, p+m_1,p+m_2,...p+m_k$, и $p,p+2m_1,p+2m_2,...,p+2m_k$. Это справедливо для всех простых кортежей, в том числе для $k=19$.

Надо бы уточнить, что Вы говорите о всех кортежах (и чистых и грязных). В этом случае, видимо, справедливо более сильное утверждение:

Количество всех зависит от диаметра, но не от паттерна.

А как зависит? А вот как:

Yadryara в сообщении #1645804 писал(а):
Так что зависимость количества всех кортежей от простых делителей диаметра такая:

Код:
2,3    5    7   11   13

100  200  150  125  120

Если диаметр делится только на простые 2 и 3, то количество всех минимальное. Его я приравнял к 100.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 5, то количество всех вдвое больше минимального, приравнено к 200.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 7, то количество всех в 1.5 раза больше минимального.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 11, то количество всех в 1.25 раза больше минимального.
Если диаметр делится не только на простые 2 и 3, но ещё и на 13, то количество всех в 1.2 раза больше минимального.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение12.07.2024, 12:27 
Заслуженный участник


20/08/14
11714
Россия, Москва
Yadryara в сообщении #1646077 писал(а):
Количество всех зависит от диаметра, но не от паттерна.
Не согласен, вот реальные количества всех (и чистых и грязных) до 1e13 для трёх паттернов 7-108: 399276, 265824, 354380. И оно прекрасно соответствуют количествам до 13#: 288, 192, 256, что и не удивительно, ведь дальше множители для всех трёх одинаковые.
А для паттернов 7-120 расчётные количества 19#: 26880, 35840, 27648, 46080, 27648, 73728, 27648, 23040, 34560, 23040, 30720, 23040, 34560, 30720. Отличия в $73728/23040=3.2$ раза! А значит и для реальных количеств кортежей отличия тоже будут более чем втрое. И ни на какой бесконечности оно очевидно не нивелируется.
Для паттернов 9-120 отличие для 19# $19200/6400=3$ раза.
Отличие втрое никак не могу назвать совпадающим.
И при отличии чисел более чем втрое говорить об коэффициентах 1.2-1.25-1.5 уже бессмысленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение12.07.2024, 12:50 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
Значит моё предположение неверно, спасибо. Я ведь считал эти множители 2 - 1.5 - 1.25 - 1.2 только для многих 3-к, причём для симметричных троек паттерн всегда один. А для 5-к брал разные, но подобные паттерны с удвоенными и утроенными гэпами:

Yadryara в сообщении #1645139 писал(а):
Код:
Pat/10^      8         9         10

5-120     5523     28917     162852
5-240     5538     28641     163187
5-360     5446     28495     163027


vicvolf вчера тоже взял паттерны с удвоенными гэпами, в том числе и несимметричный. И тоже сработало для всех кортежей.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение12.07.2024, 13:21 


23/02/12
3341
Yadryara в сообщении #1646069 писал(а):
vicvolf, раз у Вас так быстро считается, посчитайте этот же Ваш паттерн 5-30 подальше, до $10^{11}$ или до $10^{12}$, сравним с прогнозом.
1000 e8: nn=[141928, 85654, 17080, 1241, 30], sum= 245933, time: 48min, 54,106 ms - очень высокая точность прогноза. Так что данную гипотезу можно использовать для прогноза и больших кортежей.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение12.07.2024, 13:34 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
vicvolf
Очень быстро! Вот теперь я прям рад, что Вы в теме.

vicvolf в сообщении #1646108 писал(а):
очень высокая точность прогноза

Давайте покажу:

Код:
10^        HL-1         Fact  Pogresh.

5          79.584908      22   2.62
6         128.98695       63   1.05
7         346.40148      307   0.128
8        1422.0071      1400   0.0157
9        7230.2183      7216   0.00197
10      40802.734      40845  -0.00103
11     245714.74      245933  -0.000887
12    1553397.0

vicvolf в сообщении #1646108 писал(а):
Так что данную гипотезу можно использовать для прогноза и больших кортежей.

Кстати, прогноз по этим же паттернам, 5-120, 5-240, 5-360 получается простым учетверением множителя, то есть беру не $\frac{15^4}{2^{10}}$, а $\frac{15^4}{2^{8}}$ :

Код:
10^        HL-1         Fact  Pogresh.

8        5688.0285      5523   0.0299
9       28920.873      28917   0.000134
10     163210.93      162852   0.00220
11     982858.96   
12    6213587.8   
13   40857951

Ну и та же просьба: посчитать подальше любой из этих трёх паттернов с равными гэпами. Относительная погрешность, видимо, снова уменьшится.

А как считать другие, более длинные паттерны? Множители пока под вопросом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 1076 ]  На страницу Пред.  1 ... 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55 ... 72  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group