2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 ... 72  След.
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение14.07.2024, 14:04 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
vicvolf в сообщении #1646273 писал(а):
Какие получились $w(3),w(5),w(7)$? Я проверю.

Хорошо, попозже.

Dmitriy40 в сообщении #1646275 писал(а):
Полчаса до 1e13, соответственно часов 5 до 1e14, запустил.

А точно тот самый паттерн? Количества такие: 9205, 47915, 265824 ?

-- 14.07.2024, 14:21 --

vicvolf в сообщении #1646273 писал(а):
Какие получились $w(3),w(5),w(7)$? Я проверю.

$w(3) =\dfrac{3^6}{2^6},w(5)=\dfrac{5^6}{2^{13}},w(7)=\dfrac{7^6}{2^6\cdot3^7}}$

Почти сразу умножил на $2^6$ и перемножил между собой.

Код:
[0, 18, 24, 54, 84, 90, 108]


0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 3)      1 ostatok


      1
1 - ____               7     6           6
      3        2      3     3       6   3
__________ = _____ * ____ = ____ * 2  = ___
               3       7     6           0
                      2     2           2
      1  7
( 1 - _ )
      3





0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 5)      3 ostatka  0, 4, 2, 2, 2, 0, 4

      3
1 - ____               7      6
      5        2      5      5   
__________ = _____ * ____ = ____
               5       14    13
                      2     2   
      1  7
( 1 - _ )
      5




0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 7)      5 ostatkov  0, 2, 5, 6, 0, 3, 5

      5
1 - ____               7      6
      7        2      7      7   
__________ = _____ * ____ = ____
               7       7     6 7
                      6     2 3   
      1  7
( 1 - _ )
      7



   6       6      6              6
  3       5      7            105
______ * ____ * ________  =  _______
   0       13     6 7         19 7
  2       2      2 3         2  3






 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение14.07.2024, 15:07 


23/02/12
3341
Yadryara в сообщении #1646276 писал(а):

Код:
[0, 18, 24, 54, 84, 90, 108]


0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 3)      1 ostatok


      1
1 - ____               7     6           6
      3        2      3     3       6   3
__________ = _____ * ____ = ____ * 2  = ___
               3       7     6           0
                      2     2           2
      1  7
( 1 - _ )
      3





0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 5)      3 ostatka  0, 4, 2, 2, 2, 0, 4

      3
1 - ____               7      6
      5        2      5      5   
__________ = _____ * ____ = ____
               5       14    13
                      2     2   
      1  7
( 1 - _ )
      5




0, 9, 12, 27, 42, 45, 54 (mod 7)      5 ostatkov  0, 2, 5, 6, 0, 3, 5

      5
1 - ____               7      6
      7        2      7      7   
__________ = _____ * ____ = ____
               7       7     6 7
                      6     2 3   
      1  7
( 1 - _ )
      7



   6       6      6              6
  3       5      7            105
______ * ____ * ________  =  _______
   0       13     6 7         19 7
  2       2      2 3         2  3





Верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение14.07.2024, 15:10 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
vicvolf в сообщении #1646278 писал(а):
Неверно, $w$ - это количество. Должно быть целое число.

Ну да, $w$ это количество уникальных остатков:

$w(3) = 1, w(5)= 3, w(7)=5$

Я же расписал как их считал. Просто поторопился и написал произведения вместо количества остатков. Но посчитал-то вроде правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение14.07.2024, 15:34 


23/02/12
3341
Yadryara в сообщении #1646280 писал(а):
Но посчитал-то вроде правильно.
Да, правильно. Пригодилась теория?

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение14.07.2024, 16:15 
Заслуженный участник


20/08/14
11714
Россия, Москва
Yadryara в сообщении #1646276 писал(а):
А точно тот самый паттерн? Количества такие: 9205, 47915, 265824 ?
Да, тот самый:
Yadryara в сообщении #1646258 писал(а):
Это для паттерна 7-108-1, то есть [0, 18, 24, 54, 84, 90, 108].
А количества другие:
Код:
1e8: nn=[1, 4, 11, 28, 34, 39, 21, 9, 9, 2, 0, 1], sum=159
1e9: nn=[4, 29, 102, 153, 147, 108, 50, 28, 13, 3, 0, 1], sum=638
1e10: nn=[41, 250, 536, 736, 627, 431, 166, 66, 26, 3, 0, 1], sum=2883
1e11: nn=[419, 1671, 3130, 3546, 2722, 1501, 565, 186, 56, 12, 0, 1], sum=13809
1e12: nn=[3087, 11269, 18443, 17949, 12140, 5932, 2078, 593, 125, 21, 0, 1], sum=71638
1e13: nn=[24030, 75583, 108959, 96375, 58305, 25391, 8181, 2014, 382, 48, 7, 1], sum=399276
Которые и были первыми у меня:
Dmitriy40 в сообщении #1646143 писал(а):
Код:
1e8:    159     110     152
1e9:    638     410     618
1e10:   2883    1848    2538
1e11:   13809   9205    12198
1e12:   71638   47915   62870
1e13:   399276  265824  354380

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение14.07.2024, 16:32 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
vicvolf

Ещё бы. Но чтобы с её помощью оценить хотя бы количество всех 19-252, нужно ещё много сделать.

Dmitriy40 в сообщении #1646285 писал(а):
А количества другие:

Не зря уточнил. Это такая особенность. См. ниже.

Yadryara в сообщении #1646198 писал(а):
Ну я понял, гипотеза HL-1 как раз под количество всех кортежей и заточена. Для чистых кортежей она подходит только в тех случаях, когда кортеж невозможно загрязнить.

Коряво сформулировал.

Кристально чистый кортеж, который невозможно загрязнить, для которого доля чистых строго 100%, назову кристаллом. Например, [ 0, 2, 6 ] — кристалл.

Гипотеза HL-1 заточена под кристаллы. Но получаемые количества подходят и для количества всех для других паттернов с не меньшей точностью. Надо только понять как эти кристаллы связаны с обычными нашими паттернами. Установить соответствие.

И только тогда можно будет посчитать асимптотику для 19-252.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение14.07.2024, 16:39 


23/02/12
3341
vicvolf в сообщении #1632363 писал(а):
Yadryara в сообщении #1632317 писал(а):
Так что прикидку в студию, плиз.
Я ничего нового не изобретал. Есть первая гипотеза Харди-Литтлвуда о количестве k-кортежей на интервале $x$: $\pi(x,k) \sim \frac{Cx}{\ln^k(x)}$, где постоянная $C$ зависит от структуры кортежа. В данном случае я хотел просто грубо оценить порядок величины $x$ до первого кортежа, поэтому предположил значение $\pi(x,k)=1$, а значение $C$ вообще не учитывал. Наверно так делать нельзя, так как значение $C$ при большом значение $k$ велико и формула асимптотическая. До этого я проверял гипотезу при небольших значениях $k$ и большом количестве кортежей и она давала хорошие результаты.
Я тогда прикинул по первой гипотезе Харди-Литтлвуда. Интересно, что теперь получится с учетом коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение14.07.2024, 16:54 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
vicvolf, конечно интересно. Помогайте считать, пожалуйста.

Dmitriy40, ну вот сравнение и прогноз по этому 1-му паттерну:

Код:
10^        HL-1      Fact  Pogresh.

8        2437.2711   159   14.3
9        2908.1197   638    3.56
10      5090.8037   2883    0.766
11     16014.133   13809    0.160
12     74214.578   71638    0.0360
13    400943.47   399276    0.00418
14   2317911.7

Сравнение и прогноз по 2-му остаются в силе.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение14.07.2024, 22:37 
Заслуженный участник


20/08/14
11714
Россия, Москва
Yadryara
Dmitriy40 в сообщении #1646285 писал(а):
А количества другие:
Код:
1e8: nn=[1, 4, 11, 28, 34, 39, 21, 9, 9, 2, 0, 1], sum=159
1e9: nn=[4, 29, 102, 153, 147, 108, 50, 28, 13, 3, 0, 1], sum=638
1e10: nn=[41, 250, 536, 736, 627, 431, 166, 66, 26, 3, 0, 1], sum=2883
1e11: nn=[419, 1671, 3130, 3546, 2722, 1501, 565, 186, 56, 12, 0, 1], sum=13809
1e12: nn=[3087, 11269, 18443, 17949, 12140, 5932, 2078, 593, 125, 21, 0, 1], sum=71638
1e13: nn=[24030, 75583, 108959, 96375, 58305, 25391, 8181, 2014, 382, 48, 7, 1], sum=399276
Код:
1e14: nn=[177056, 502986, 661258, 530930, 288540, 114539, 33688, 7580, 1296, 170, 17, 2], sum=2318062

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение15.07.2024, 07:02 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
Да, высоченная точность получилась:

Код:
10^       HL-1      Fact  Pogresh.

8       2437.2711    159   14.3
9       2908.1197    638   3.56
10      5090.8037   2883   0.766
11     16014.133   13809   0.160
12     74214.578   71638   0.0360
13    400943.47   399276   0.00418
14   2317911.7   2318062  -0.0000648
15  13999274
16  87556996

Но это, видимо, повезло. Если 7-108-2 посчитать, навряд ли погрешность будет меньше 0.01 %, как для 7-108-1.

Dmitriy40 в сообщении #1646275 писал(а):
Кстати похоже эта ваша $w(\ldots)$ выдаёт просто количество запрещённых остатков по модулю простого.

Вот именно. Ну что не могли по человечески (русским языком :-) ) написать:

$w$ — количество запрещённых остатков по нечётному простому модулю не превышающему длину кортежа.

Ну ладно, продрался через неудобные формулировки и сделал прогу, которая всё что надо для HL-1 считает и даёт прогноз прямо по паттерну:

Код:
{print();
v = [0, 18, 24, 54, 84, 90, 108];
MC = 2^(#v-1);

forprime(p=3,#v, m=setminus(vector(p,i,i-1),Set(-v%p));
w = p - #m;
MC *= (1 - w/p)/(1 - 1/p)^#v);
C07 = 0.3694375103864986893231907499;

C = MC * C07 * 3/2;

\\10^  1  2  3  4   5   6    7     8     9     10 
fc = [ 0, 0, 0, 0,  0,  0,   0,  159,  638,  2883,
13809, 71638, 399276, 2318062, 1,   1,1,1,1,1,   1,1,1,1,1,  1];

print("10^        HL-1      Fact  Pogresh.");
print();

for(po = 8, 16,
Li2 = intnum(t=2, 10^po, C/log(t)^7);

if(fc[po]<>1,
printf("%d    %.8g      %d    %.3g\n",po,Li2,fc[po],(Li2-fc[po])/fc[po]),
printf("%d   %.9g\n",po,Li2));
);

print();

}quit;

Единственное что пока непонятно, это то самое соответствие, о котором говорил выше. В данном случае взял поправочный кэф 1.5 : C = MC * C07 * 3/2.

Для 19-252, я конечно тоже уже подсчитал, грустный прогноз сбылся, превышение огромное.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение15.07.2024, 08:47 


23/02/12
3341
Yadryara в сообщении #1646339 писал(а):
Единственное что пока непонятно, это то самое соответствие, о котором говорил выше. В данном случае взял поправочный кэф 1.5 : C = MC * C07 * 3/2.
Не понял а зачем поправочный коэффициент $1,5$? Наверно из-за этого:
Yadryara в сообщении #1646198 писал(а):
Ну я понял, гипотеза HL-1 как раз под количество всех кортежей и заточена. Для чистых кортежей она подходит только в тех случаях, когда кортеж невозможно загрязнить.
Коряво сформулировал. Кристально чистый кортеж, который невозможно загрязнить, для которого доля чистых строго 100%, назову кристаллом. Например, [ 0, 2, 6 ] — кристалл.
Гипотеза HL-1 заточена под кристаллы. Но получаемые количества подходят и для количества всех для других паттернов с не меньшей точностью. Надо только понять как эти кристаллы связаны с обычными нашими паттернами. Установить соответствие.
Если кортеж можно загрязнить, то (если он проходит по модулю) количество таких кортежей можно рассчитать, но с другой длиной. Ведь длина кортежа - это количество входящих в него простых чисел. Конечно, если считать $19-257$ без учета загрязняющих простых, то будет большая ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение15.07.2024, 09:55 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
vicvolf в сообщении #1646342 писал(а):
Если кортеж можно загрязнить, то (если он проходит по модулю) количество таких кортежей можно рассчитать, но с другой длиной.

Уже думал об этом.

Вы поняли, что такое Over prime ? Да, с другой длиной, но какой? С максимально возможной.

То есть, например, можно максимально загрязнить 19-252, тем самым превратив его в кристалл 49-252. И обсчитать. А что дальше? А, ну да, доли для самых грязных мы знаем. Попробую посчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение15.07.2024, 10:19 


23/02/12
3341
Yadryara в сообщении #1646345 писал(а):
vicvolf в сообщении #1646342 писал(а):
То есть, например, можно максимально загрязнить 19-252, тем самым превратив его в кристалл 49-252. И обсчитать. А что дальше? А, ну да, доли для самых грязных мы знаем. Попробую посчитать.
Надо подсчитать все варианты загрязнения, которые проходят по модулю, а потом сложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение15.07.2024, 10:34 
Заслуженный участник


20/08/14
11714
Россия, Москва
По идее длинные кортежи должны вносить пренебрежимо малый вклад в сумму/произведение, ведь их очень и очень мало.

Например вот все кортежи диаметром 252 длиной 30 и более:
5803841: [0, 8, 18, 26, 36, 38, 42, 50, 60, 66, 86, 92, 96, 98, 102, 110, 120, 128, 138, 150, 158, 176, 182, 192, 200, 212, 218, 228, 240, 246, 252], len=31
7448471: [0, 2, 6, 8, 18, 20, 30, 38, 50, 66, 72, 86, 90, 98, 108, 128, 132, 158, 162, 170, 176, 186, 192, 216, 218, 228, 242, 246, 248, 252], len=30
8756939: [0, 2, 8, 14, 20, 24, 32, 42, 44, 60, 74, 80, 90, 98, 102, 114, 120, 122, 144, 168, 170, 174, 182, 188, 192, 204, 234, 240, 248, 252], len=30
21402047: [0, 2, 6, 30, 32, 44, 56, 60, 62, 72, 90, 102, 116, 134, 140, 146, 150, 162, 170, 174, 176, 182, 186, 192, 206, 210, 216, 234, 242, 252], len=30
453166381: [0, 6, 10, 12, 22, 30, 42, 48, 70, 72, 76, 78, 96, 106, 108, 142, 148, 150, 156, 162, 180, 192, 196, 198, 202, 210, 220, 232, 238, 252], len=30
925594261: [0, 16, 22, 28, 48, 60, 82, 88, 118, 120, 130, 138, 148, 168, 172, 180, 186, 196, 198, 202, 208, 210, 216, 226, 228, 232, 238, 246, 250, 252], len=30
70872264271: [0, 6, 12, 18, 22, 30, 42, 48, 58, 70, 72, 76, 96, 100, 102, 112, 118, 120, 132, 160, 172, 180, 186, 202, 208, 228, 232, 238, 246, 252], len=30
187433748011: [0, 6, 12, 26, 32, 38, 48, 56, 66, 68, 72, 90, 102, 108, 110, 116, 146, 152, 156, 158, 168, 182, 186, 188, 198, 210, 236, 242, 248, 252], len=30
220654442209: [0, 4, 10, 12, 24, 28, 48, 54, 64, 78, 82, 84, 88, 90, 94, 102, 112, 120, 130, 132, 154, 160, 172, 174, 180, 190, 208, 210, 234, 252], len=30
И дальше их нет как минимум до 1e14.
А последний (до 1e14) кортеж диаметром 252 длиной 40+ был таким:
587: [0, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 44, 54, 56, 60, 66, 72, 74, 86, 90, 96, 104, 114, 122, 132, 140, 146, 152, 156, 164, 170, 174, 182, 186, 200, 210, 222, 224, 234, 236, 240, 242, 252], len=40

Кортежей же диаметром 252 и длиной ровно 19 до 1e14 навалом, примерно 170 миллионов.

Да, они все не чистые и не грязные, не совпадают с паттерном 19-252, однако тех значит ещё сильно меньше, и чем грязнее (после нескольких первых), тем сильно меньше, так что искать кортеж длиной 49 (да и любой 40+) смысла не имеет, как и учитывать его вероятность в общей.

 Профиль  
                  
 
 Re: кортежи последовательных простых. ключ к 19-252
Сообщение15.07.2024, 10:47 
Аватара пользователя


29/04/13
8070
Богородский
Dmitriy40 в сообщении #1646349 писал(а):
как и учитывать его вероятность в общей.

Вот не уверен, предлагаю попробовать. Вот в апреле была инфа:

Dmitriy40 в сообщении #1636947 писал(а):
Yadryara в сообщении #1636672 писал(а):
Кстати, эти 30 грязных определяются очень рано, уже после $19\#$. Их, видимо, можно в студию.
для следующих простых комбинации загрязнений начинают повторяться (массив это общее количество вариантов загрязнений заданной длины/степени, левый 0 это чистые):
19#: #ww: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 8, 44, 70, 118, 78, 48, 16], len=31, 384 / 384
23#: #ww: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 40, 146, 346, 576, 600, 390, 134, 36, 6], len=31, 2284 / 2304
29#: #ww: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 24, 230, 822, 2268, 4396, 6012, 5512, 3260, 1284, 344, 72, 6], len=31, 24230 / 27648
31#: #ww: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 24, 488, 2780, 10278, 25554, 44516, 55602, 48338, 28518, 11430, 3452, 812, 108, 6], len=31, 231906 / 331776
37#: #ww: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 98, 968, 8370, 40984, 137018, 320136, 545468, 658854, 549262, 325204, 136642, 44218, 10986, 1770, 162, 6], len=31, 2780150 / 6635520

То есть паттернов 49-252 (включающих 19-252) всего 6 штук, да? Можно их в студию?

-- 15.07.2024, 11:13 --

А, ну вот же эти 6 комплектов Over prime = 30. Добавлю их в основной паттерн...

[2, 8, 20, 26, 32, 48, 56, 60, 68, 78, 86, 92, 98, 102, 110, 116, 138, 146, 158, 168, 170, 176, 182, 198, 200, 212, 228, 230, 236, 242]
[10, 22, 24, 40, 52, 54, 64, 66, 70, 76, 82, 94, 100, 106, 114, 136, 142, 150, 154, 166, 174, 184, 192, 196, 202, 204, 226, 232, 244, 250]
[10, 16, 22, 24, 40, 52, 54, 70, 76, 82, 84, 94, 106, 114, 136, 142, 150, 154, 160, 166, 174, 184, 192, 196, 204, 220, 226, 232, 244, 250]
[10, 22, 24, 40, 52, 54, 66, 70, 76, 82, 94, 100, 106, 114, 136, 142, 150, 154, 160, 166, 174, 184, 192, 196, 202, 204, 226, 232, 244, 250]
[2, 8, 20, 26, 48, 50, 56, 60, 68, 78, 86, 92, 98, 102, 110, 116, 138, 146, 152, 158, 170, 176, 182, 186, 198, 200, 212, 228, 230, 242]
[2, 8, 20, 26, 48, 50, 56, 60, 68, 78, 86, 98, 102, 110, 116, 138, 146, 152, 158, 170, 176, 182, 186, 188, 198, 200, 212, 228, 230, 242]

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 1076 ]  На страницу Пред.  1 ... 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 ... 72  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group