Дискретное и непрерывное

[Mihr]

Предлагаю всем отвечающим ознакомиться с историей сообщений ТС. В частности, с темами topic124504.html , topic124089.html , topic149222.html . Многое проясняется.

[mihaild]

skobar в сообщении #1642303 писал(а):

У любых двух непустых подмножеств, одно из которых левее другого, существует разделяющий элемент

Это полнота по Дедекинду. Определяется для упорядоченных множеств.
Полнота по Коши: любая фундаментальная последовательность сходится. Определяется для метрических пространств, топологических векторных пространств и упорядоченных групп (и может быть еще чего-то, где можно разумно говорить о сходимости "расстояний" или "разностей" к нулю).
Из полноты по Дедекинду следует архимедовость (у натуральных чисел не может быть точной верхней грани). Из полноты по Коши - нет.

[epros]

siago в сообщении #1642272 писал(а):

И какая же особенность философии мешает мне понять?

Употреблять слова и словосочетания, смысла которых не понимаешь. Примеры: "непрерывное множество", "единое". Математики, в отличие от философов, сначала дают определения употребляемым понятиям.

[skobar]

mihaild в сообщении #1642331 писал(а):

skobar в сообщении #1642303 писал(а):

У любых двух непустых подмножеств, одно из которых левее другого, существует разделяющий элемент

Это полнота по Дедекинду. Определяется для упорядоченных множеств.
Полнота по Коши: любая фундаментальная последовательность сходится. Определяется для метрических пространств, топологических векторных пространств и упорядоченных групп (и может быть еще чего-то, где можно разумно говорить о сходимости "расстояний" или "разностей" к нулю).
Из полноты по Дедекинду следует архимедовость (у натуральных чисел не может быть точной верхней грани). Из полноты по Коши - нет.

Я в курсе о полноте по Коши. Это никак не противоречит тому, что я писал и тому, что ваше предложение добавить в определение действительных чисел свойство Архимеда лишнее.

Если полнота упорядоченного поля определяется через требование сходимости всякой последовательности Коши, то в это определение полноты ещё добавляется требование выполнения свойства Архимеда. Смотрите, например, книгу Ebbinghaus-а и др. "Numbers", издательство Springer-Verlag, 1990. Там во второй главе в пятом параграфе озвучены семь эквивалентных определений полноты.

[mihaild]

skobar в сообщении #1642339 писал(а):

Это никак не противоречит тому, что я писал и тому, что ваше предложение добавить в определение действительных чисел свойство Архимеда лишнее.

Вопрос в том, что называть словом "полнота" без уточнения. Но, кажется, этот вопрос не очень важен.

[skobar]

mihaild в сообщении #1642354 писал(а):

skobar в сообщении #1642339 писал(а):

Это никак не противоречит тому, что я писал и тому, что ваше предложение добавить в определение действительных чисел свойство Архимеда лишнее.

Вопрос в том, что называть словом "полнота" без уточнения. Но, кажется, этот вопрос не очень важен.

Определение полноты упорядоченного поля является общепринятым, а не чем-то экзотическим. Если всякая последовательность Коши сходится, то это, по определению, ещё не означает полноту поля.

[siago]

mihaild в сообщении #1642293 писал(а):

siago в сообщении #1642291

писал(а):
Как линию можно считать множеством (чего бы то ни было )? Что значит "как считать"? По определению, линия - множество точек. Что значит "считать что-то чем-то"?

Я помню это определение. Я всю жизнь старался понимать, а не запоминать, и в последние годы стал иногда задумываться над самыми основами мироздания, к которым отношу и происхождение и условия существования таких объектов, как например линия. Так вот я не могу понять, что линия это множество, хотя всю жизнь это знал и раньше над этим не задумывался.

[wrest]

siago в сообщении #1642391 писал(а):

стал иногда задумываться над самыми основами мироздания, к которым отношу и происхождение и условия существования таких объектов, как например линия,

Линия вообще не часть "мироздания" и тем более не принадлежит "основам мироздания". Линия ниоткуда не происходит. Если уж чешется философия, то почитайте про Платоновы миры идей и вещей.

-- 12.06.2024, 21:08 --

siago в сообщении #1642391 писал(а):

Так вот я не могу понять, что линия это множество,

Значит, вам не дано.

[siago]

dgwuqtj в сообщении #1642294 писал(а):

siago в сообщении #1642285

писал(а):
Канторово множество очевидно дискретно, так как состоит из дискретных элементов.
Да ну? В нём континуум элементов, их перечислить невозможно в принципе. Так же, как и числа на отрезке. И они там не изолированы ни в каком смысле, опять же.

Ну конечно дискретно! Вы же сами называете признак дискретности:

dgwuqtj в сообщении #1642294 писал(а):

есть, конечно, точки вида $1/3$, после которых некоторый пробел

[dgwuqtj]

siago в сообщении #1642393 писал(а):

Вы же сами называете признак дискретности:

То есть признак дискретности — это наличие таких "концов"? Тогда отрезок дискретен, у него аж 2 конца. Множество $[0, 1] \cup [2, 3] \cup [4, 5] \cup [6, 7] \cup \ldots$ тем более дискретно, у него счётный набор таких концов. Как и у канторового множества. Если что, в канторовом множестве большинство точек (в смысле теоретико-множественной мощности) концами не являются. А ещё есть толстое канторово множество, там так и в смысле меры...

[epros]

siago в сообщении #1642391 писал(а):

Так вот я не могу понять, что линия это множество, хотя всю жизнь это знал и раньше над этим не задумывался.

А по каким признакам Вы определите, что это "поняли"?

[siago]

Dan B-Yallay в сообщении #1642302 писал(а):

Представим плоскость и две различные точки на ней. Через эти 2 точки согласно аксиом Гильберта проходит единственная прямая линия. Укажите: каким еще таким "непрерывным изменением" эта линия образована?

Ну как же?! Вспомните, как рисуют графики функций: наносят систему координат и начинают плавно менять аргумент. Плавное изменение аргумента часто даёт в результате плавное изменение функции.
Хотя, вы навели меня на мысль, что есть линии или поверхности, произведенные не изменением аргумента, а образованные как-бы сразу, например поверхность яблока. Я в последнее время много думал о функциях, поэтому такую возможность упустил из виду. Вместе с тем, если глубоко задуматься, поверхность яблока не непрерывная. Её действительно можно считать состоящей из точек, за которые можно принять живые клетки, но они дискретны.

-- 12.06.2024, 21:33 --

Dan B-Yallay в сообщении #1642302 писал(а):

siago в сообщении #1642291

писал(а):
Если утверждать обратное, то назовите два любых последовательных элемента.
Вы в курсе, что прибегаете к ложной дихотомии
?

Да нет, я рассматриваю все доступные варианты, а вот вы, похоже, пытаетесь предложенный мной вариант исключить.

[wrest]

wrest в сообщении #1642392 писал(а):

Если уж чешется философия, то почитайте про Платоновы миры идей и вещей.

А, и ещё, уже явно пришло время вспомнить старика Зенона И заслушать например ваше понимание его апорий.

[siago]

gefest_md в сообщении #1642304 писал(а):

siago в сообщении #1642268 писал(а):

Я склонен полагать, что на отрезке можно выделить точку в любом месте, а вот что он состоит из точек, у меня под большим вопросом.

В геометрии Евклида есть теорема: Точки, расположенные по одну сторону от данной прямой на одном и том же расстоянии, образуют прямую. Значит любой отрезок на этой прямой состоит из некоторых таких точек.

Ну здесь, опять же, мы эту прямую не строим из точек, а даже если и пытаемся это сделать, то в результате всё равно соединяем поставленные точки линией, то есть непрерывным движением карандаша.

[dgwuqtj]

siago в сообщении #1642398 писал(а):

Ну здесь, опять же, мы эту прямую не строим из точек, а даже если и пытаемся это сделать, то в результате всё равно соединяем поставленные точки линией, то есть непрерывным движением карандаша.

Напомню, что карандаш вполне себе дискретный (как и вся обычная материя), а то, что он рисует, — не прямая линия, а довольно кривая (особенно под микроскопом) относительно широкая полоса графита. Зачастую ещё и с пробелами.