2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5070
Предлагаю всем отвечающим ознакомиться с историей сообщений ТС. В частности, с темами topic124504.html , topic124089.html , topic149222.html . Многое проясняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
skobar в сообщении #1642303 писал(а):
У любых двух непустых подмножеств, одно из которых левее другого, существует разделяющий элемент
Это полнота по Дедекинду. Определяется для упорядоченных множеств.
Полнота по Коши: любая фундаментальная последовательность сходится. Определяется для метрических пространств, топологических векторных пространств и упорядоченных групп (и может быть еще чего-то, где можно разумно говорить о сходимости "расстояний" или "разностей" к нулю).
Из полноты по Дедекинду следует архимедовость (у натуральных чисел не может быть точной верхней грани). Из полноты по Коши - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 11:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10982
siago в сообщении #1642272 писал(а):
И какая же особенность философии мешает мне понять?

Употреблять слова и словосочетания, смысла которых не понимаешь. Примеры: "непрерывное множество", "единое". Математики, в отличие от философов, сначала дают определения употребляемым понятиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 12:11 


04/06/24
114
mihaild в сообщении #1642331 писал(а):
skobar в сообщении #1642303 писал(а):
У любых двух непустых подмножеств, одно из которых левее другого, существует разделяющий элемент
Это полнота по Дедекинду. Определяется для упорядоченных множеств.
Полнота по Коши: любая фундаментальная последовательность сходится. Определяется для метрических пространств, топологических векторных пространств и упорядоченных групп (и может быть еще чего-то, где можно разумно говорить о сходимости "расстояний" или "разностей" к нулю).
Из полноты по Дедекинду следует архимедовость (у натуральных чисел не может быть точной верхней грани). Из полноты по Коши - нет.


Я в курсе о полноте по Коши. Это никак не противоречит тому, что я писал и тому, что ваше предложение добавить в определение действительных чисел свойство Архимеда лишнее.

Если полнота упорядоченного поля определяется через требование сходимости всякой последовательности Коши, то в это определение полноты ещё добавляется требование выполнения свойства Архимеда. Смотрите, например, книгу Ebbinghaus-а и др. "Numbers", издательство Springer-Verlag, 1990. Там во второй главе в пятом параграфе озвучены семь эквивалентных определений полноты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
skobar в сообщении #1642339 писал(а):
Это никак не противоречит тому, что я писал и тому, что ваше предложение добавить в определение действительных чисел свойство Архимеда лишнее.
Вопрос в том, что называть словом "полнота" без уточнения. Но, кажется, этот вопрос не очень важен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 15:12 


04/06/24
114
mihaild в сообщении #1642354 писал(а):
skobar в сообщении #1642339 писал(а):
Это никак не противоречит тому, что я писал и тому, что ваше предложение добавить в определение действительных чисел свойство Архимеда лишнее.
Вопрос в том, что называть словом "полнота" без уточнения. Но, кажется, этот вопрос не очень важен.

Определение полноты упорядоченного поля является общепринятым, а не чем-то экзотическим. Если всякая последовательность Коши сходится, то это, по определению, ещё не означает полноту поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 21:02 
Аватара пользователя


08/01/18
138
Москва
mihaild в сообщении #1642293 писал(а):
siago в сообщении #1642291

писал(а):
Как линию можно считать множеством (чего бы то ни было )? Что значит "как считать"? По определению, линия - множество точек. Что значит "считать что-то чем-то"?

Я помню это определение. Я всю жизнь старался понимать, а не запоминать, и в последние годы стал иногда задумываться над самыми основами мироздания, к которым отношу и происхождение и условия существования таких объектов, как например линия. Так вот я не могу понять, что линия это множество, хотя всю жизнь это знал и раньше над этим не задумывался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 21:07 


05/09/16
12108
siago в сообщении #1642391 писал(а):
стал иногда задумываться над самыми основами мироздания, к которым отношу и происхождение и условия существования таких объектов, как например линия,

Линия вообще не часть "мироздания" и тем более не принадлежит "основам мироздания". Линия ниоткуда не происходит. Если уж чешется философия, то почитайте про Платоновы миры идей и вещей.

-- 12.06.2024, 21:08 --

siago в сообщении #1642391 писал(а):
Так вот я не могу понять, что линия это множество,

Значит, вам не дано. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 21:10 
Аватара пользователя


08/01/18
138
Москва
dgwuqtj в сообщении #1642294 писал(а):
siago в сообщении #1642285

писал(а):
Канторово множество очевидно дискретно, так как состоит из дискретных элементов.
Да ну? В нём континуум элементов, их перечислить невозможно в принципе. Так же, как и числа на отрезке. И они там не изолированы ни в каком смысле, опять же.

Ну конечно дискретно! Вы же сами называете признак дискретности:
dgwuqtj в сообщении #1642294 писал(а):
есть, конечно, точки вида $1/3$, после которых некоторый пробел

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 21:21 
Заслуженный участник


07/08/23
1162
siago в сообщении #1642393 писал(а):
Вы же сами называете признак дискретности:

То есть признак дискретности — это наличие таких "концов"? Тогда отрезок дискретен, у него аж 2 конца. Множество $[0, 1] \cup [2, 3] \cup [4, 5] \cup [6, 7] \cup \ldots$ тем более дискретно, у него счётный набор таких концов. Как и у канторового множества. Если что, в канторовом множестве большинство точек (в смысле теоретико-множественной мощности) концами не являются. А ещё есть толстое канторово множество, там так и в смысле меры...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10982
siago в сообщении #1642391 писал(а):
Так вот я не могу понять, что линия это множество, хотя всю жизнь это знал и раньше над этим не задумывался.

А по каким признакам Вы определите, что это "поняли"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 21:29 
Аватара пользователя


08/01/18
138
Москва
Dan B-Yallay в сообщении #1642302 писал(а):
Представим плоскость и две различные точки на ней. Через эти 2 точки согласно аксиом Гильберта проходит единственная прямая линия. Укажите: каким еще таким "непрерывным изменением" эта линия образована?

Ну как же?! Вспомните, как рисуют графики функций: наносят систему координат и начинают плавно менять аргумент. Плавное изменение аргумента часто даёт в результате плавное изменение функции.
Хотя, вы навели меня на мысль, что есть линии или поверхности, произведенные не изменением аргумента, а образованные как-бы сразу, например поверхность яблока. Я в последнее время много думал о функциях, поэтому такую возможность упустил из виду. Вместе с тем, если глубоко задуматься, поверхность яблока не непрерывная. Её действительно можно считать состоящей из точек, за которые можно принять живые клетки, но они дискретны.

-- 12.06.2024, 21:33 --

Dan B-Yallay в сообщении #1642302 писал(а):
siago в сообщении #1642291

писал(а):
Если утверждать обратное, то назовите два любых последовательных элемента.
Вы в курсе, что прибегаете к ложной дихотомии
?

Да нет, я рассматриваю все доступные варианты, а вот вы, похоже, пытаетесь предложенный мной вариант исключить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 21:35 


05/09/16
12108
wrest в сообщении #1642392 писал(а):
Если уж чешется философия, то почитайте про Платоновы миры идей и вещей.

А, и ещё, уже явно пришло время вспомнить старика Зенона :mrgreen: И заслушать например ваше понимание его апорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 21:39 
Аватара пользователя


08/01/18
138
Москва
gefest_md в сообщении #1642304 писал(а):
siago в сообщении #1642268 писал(а):
Я склонен полагать, что на отрезке можно выделить точку в любом месте, а вот что он состоит из точек, у меня под большим вопросом.
В геометрии Евклида есть теорема: Точки, расположенные по одну сторону от данной прямой на одном и том же расстоянии, образуют прямую. Значит любой отрезок на этой прямой состоит из некоторых таких точек.

Ну здесь, опять же, мы эту прямую не строим из точек, а даже если и пытаемся это сделать, то в результате всё равно соединяем поставленные точки линией, то есть непрерывным движением карандаша.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискретное и непрерывное
Сообщение12.06.2024, 21:42 
Заслуженный участник


07/08/23
1162
siago в сообщении #1642398 писал(а):
Ну здесь, опять же, мы эту прямую не строим из точек, а даже если и пытаемся это сделать, то в результате всё равно соединяем поставленные точки линией, то есть непрерывным движением карандаша.

Напомню, что карандаш вполне себе дискретный (как и вся обычная материя), а то, что он рисует, — не прямая линия, а довольно кривая (особенно под микроскопом) относительно широкая полоса графита. Зачастую ещё и с пробелами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 119 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Stratim, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group