Я объяснил почему посчитал это верным. Скажем по аксиоматике Клини.
Да, видимо следует сказать аккуратнее. Обычно утверждения с кванторами, с которыми приходится иметь дело в математике, имеют вид
![$\forall x\in M, P(x)$ $\forall x\in M, P(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/7/2971d6215d246eebfe0bc8f599030c1d82.png)
или
![$\exists x\in M:\, P(x)$ $\exists x\in M:\, P(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/b/aabde5265c95a2a35111da9c6a8b77fd82.png)
(хотя их можно переписать в виде
![$\forall x,\,(x\in M\,\to P(x))$ $\forall x,\,(x\in M\,\to P(x))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/3/7a3309a5d62d7f5af9f9502467661edd82.png)
и
![$\exists x:\,(x\in M\,\,{\textrm{и}}\,\,P(x))$ $\exists x:\,(x\in M\,\,{\textrm{и}}\,\,P(x))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/2/772849e11c1ac81a4191c8208ba26f2982.png)
соответственно - и тогда они будут меньше похожи друг на друга).
Из утверждения
![$\forall x\in M, P(x)$ $\forall x\in M, P(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/7/2971d6215d246eebfe0bc8f599030c1d82.png)
не следует, что
![$\exists x\in M:\,P(x)$ $\exists x\in M:\,P(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/0/f60bbeeaee55010cd54e646ab1e219b682.png)
- потому что множество
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
может оказаться пустым, и тогда первое утверждение верно, а второе неверно.
Задача может состоять в доказательстве утверждения вида
![$\forall x\in M, P(x)$ $\forall x\in M, P(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/7/2971d6215d246eebfe0bc8f599030c1d82.png)
. Здесь
![$x\in M$ $x\in M$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/d/a3d71bbb900edbc5bd0245a936f8704982.png)
- условия задачи, а
![$P(x)$ $P(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/b/52be0087c9da1f0683ccc50761e8bcab82.png)
- вывод, который требуется доказать. Например, если задача про треугольники, и что-то про треугольник известно, а что-то надо доказать, то
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
- множество треугольников, удовлетворяющих условию задачи, а
![$P(x)$ $P(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/b/52be0087c9da1f0683ccc50761e8bcab82.png)
- доказываемое утверждение про треугольник
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Теоретически, условия задачи могут быть противоречивыми (т.е. множество
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
может быть пустым). Но выяснение, так это или не так - это уже другая, отдельная задача.
Доказываемое утверждение
![$\forall x\in M, P(x)$ $\forall x\in M, P(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/7/2971d6215d246eebfe0bc8f599030c1d82.png)
можно записать в виде
![$\forall x,\,(x\in M\,\to P(x))$ $\forall x,\,(x\in M\,\to P(x))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/3/7a3309a5d62d7f5af9f9502467661edd82.png)
. Если мы доказали это, то утверждение
![$x\in M\,\to P(x)$ $x\in M\,\to P(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/e/19e31d7626ded0cfab7186b05a099ac782.png)
верно для любых
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, вне зависимости от пустоты или непустоты
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
, и вне зависимости от того,
![$x\in M$ $x\in M$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/d/a3d71bbb900edbc5bd0245a936f8704982.png)
или
![$x\notin M$ $x\notin M$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/c/52cdf48e49b491f258d5aa935402776c82.png)
. Видимо, здесь Вы об этом и говорите:
Дошло до меня, что для любого треугольника теорема задачи верна. В частности, если нарисовать треугольник с
![$\angle B=120^\circ,$ $\angle B=120^\circ,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/1/a716d6b581804bbd65f427607054ad4a82.png)
то для него будет выполнено условие задачи: если
![$BM=BC$ $BM=BC$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/6/a6614b5bc86a4786aa7794d4d50853a982.png)
и
![$BA=BL,$ $BA=BL,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/f/35f46cfa9542a63b26a100723ca65dbe82.png)
то
![$AM=CL.$ $AM=CL.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/3/ee3b3dae4fbda20e7491561eb4f74cb582.png)
В силу того, что
![$BA\not=BL.$ $BA\not=BL.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/f/29f3205a4bb5a0095d308983f31e525482.png)
Возможно, я не сразу верно понял, о чём Вы здесь говорите.