Геометрия для не особо одарённых

[horda2501]

Да, но я не могу их выполнить. То есть, можно, конечно, у построения из книги стороны скопировать и всё. Но я хочу разобраться почему не получается, ведь я всё правильно вроде делаю. Вообщем, это вопрос из области начертательной геометрии, так сказать. Хочу разобраться на фундаментальном уровне в фигуре "треугольник", как она "работает". Вот тут неясно - одно равенство сторон сохраняется, а другое не достигается при этом Возможно, мне в каком-то другом разделе такие вопросы нужно задавать, вроде "черчение" или "начертательная геометрия"?

[gefest_md]

horda2501 в сообщении #1640363 писал(а):

Вот тут неясно - одно равенство сторон сохраняется, а другое не достигается при этом

После построения угла $B$ и биссектрисы, отложите сначала равные отрезки $BA$ и $BL.$ Потом прямую $AL$ до пересечения с другой стороной угла $B.$ В конце отложите точку $M.$ Построение имеет смысл, чтобы показать, что существует треугольник, выполняющий условия задачи.

[horda2501]

Спасибо! То есть, получается, что если начать выполнять это построение с других (по сути противоположенных) элементов, то в итоге "построятся" нужные треугольники в любом случае, а если не с этих, то возможны "неправильные" треугольники (как у меня)? Попробую на следующем занятии подумать почему

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1640354 писал(а):

1) Я отложила точку B и от неё две полупрямые, образующие угол 120 градусов

Почему $120^o$?
Сдепайте угол между сторонами $90^o$, и будет Вам счастье...

[gefest_md]

gefest_md в сообщении #1640367 писал(а):

Построение имеет смысл, чтобы показать, что существует треугольник, выполняющий условия задачи.

Не уверен в этом. Вроде как в логике, благодаря аксиомам $\forall-\text{удаления}$ и $\exists-\text{введения}$, если $\forall x\,P(x),$ то уже и $\exists x \,P(x).$ Может ли быть в геометрии, чтобы любой треугольник выполнял условия некоторой задачи без того, чтобы такой треугольник существовал?

[horda2501]

Я попробовала выполнить построение в другой последовательности. Всё дело в том, что при мере угла в 120 градусов прямая, содержащая сторону ВС, будет параллельна прямой, которая будет содержать сторону AC, если АВ=BL! (Кстати, подскажите, пожалуйста, как ставить символ градуса вместо слова, в LaTeX'е не нашла). На иллюстрации из книги у угла ABC мера 60 градусов и все равенства "строятся" как нужно. Похоже, существует некая закономерность, мол, для "биссектрисы тупого угла невозможно равенство с одним из катетов" или что-то вроде этого

-- 27.05.2024, 17:48 --

Похоже на то, что это "расстройство" актуально только для угла 120 градусов, а не для любого тупого, так как я построила угол АВС=100 и все равенства "сошлись".

[wrest]

horda2501 в сообщении #1640456 писал(а):

слова, в LaTeX'е не нашла)

$36,6^{\circ}$ делается так

$36,6^{\circ}$

[svv]

horda2501 в сообщении #1640456 писал(а):

Кстати, подскажите, пожалуйста, как ставить символ градуса вместо слова, в LaTeX'е не нашла

Я ставлю так: нажимаю клавишу Alt и, не отпуская, набираю на цифровой клавиатуре 0176. Должен быть включён режим NumLock.
Но способ wrest лучше.

[gefest_md]

horda2501 в сообщении #1640456 писал(а):

Похоже на то, что это "расстройство" актуально только для угла 120 градусов, а не для любого тупого, так как я построила угол АВС=100 и все равенства "сошлись".

Когда угол $120^\circ$, применяется одна теорема о сумме односторонних углов к прямым $AC,$ $BL$ и секущей $AB.$

Дошло до меня, что для любого треугольника теорема задачи верна. В частности, если нарисовать треугольник с $\angle B=120^\circ,$ то для него будет выполнено условие задачи: если $BM=BC$ и $BA=BL,$ то $AM=CL.$ В силу того, что $BA\not=BL.$ Уверенности прибавилось.

[horda2501]

Непросто символ градуса изобразить Быстрее слово напечатать получается.

Результат данного упражнения таков. Я остановилась как раз на теме "Симметрия относительно точки" в 8 классе. Осознала, что не имею достаточно знаний по программе 7 класса и начала углублённо её проходить. Вот в этом упражнении, похоже, и есть эта симметрия, оно же движение. Там два одинаковых треугольника. Один, копия второго, словно "съехал" вращаясь вокруг их общей точки В. Угол "съезда" 64 градуса, т.е. около 2/3 от 100. Расстояние между точками С и М по прямой 54 мм, что соответствует длине LC=AM. А вот отрезок AL=18 мм, т.е. 1/3 от этой длины. Это какое-то явление, свойственное геометрическому движению? Ну, а при угле 120 биссектриса создаёт угол 60 и треугольник получается равносторонний, а прямые AL и ВС не пересекаются.

Чертёж прилагаю: https://postimg.cc/fVLxN8qz

[gefest_md]

horda2501
Симметрия не то же, что вращение (относительно точки). Для симметрии нужна только точка, для вращения нужна и точка, и угол (вместе с направлением). Можно сказать треугольник $BLC$ переходит в треугольник $BAM$ при вращении вокруг точки $B$ на угол $50^\circ$, по часовой стрелке. Например, при этом вращении, точка $C$ переходит в точку $M,$ точка $L$ переходит в точку $A,$ точка $B$ переходит в себя. Вращение ведёт себя как функция.

[Mikhail_K]

gefest_md

(Оффтоп)

gefest_md в сообщении #1640401 писал(а):

если $\forall x\,P(x),$ то уже и $\exists x \,P(x).$

Это неверно.

gefest_md в сообщении #1640367 писал(а):

Построение имеет смысл, чтобы показать, что существует треугольник, выполняющий условия задачи.

Надо отметить только, что это уже другая задача. Исходная задача - доказать утверждение вида "Если $A$, то $B$". В ней не нужно проверять, точно ли условия $A$ когда-нибудь выполняются. Если даже вдруг окажется, что условия $A$ противоречивы, это никак не повлияет на справедливость доказанного утверждения "Если $A$, то $B$" (потому что из лжи следует что угодно).

[gefest_md]

Mikhail_K

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1640514 писал(а):

Это неверно.

Я объяснил почему посчитал это верным. Скажем по аксиоматике Клини.

Mikhail_K в сообщении #1640514 писал(а):

потому что из лжи следует что угодно

В своём следующем сообщении я дополнил мысль на примере треугольника с углом $B$ в $120^\circ.$ Добавлю, если множество треугольников не пусто, то из теоремы всеобщности о треугольниках следует существование треугольника, выполняющий условие теоремы.

[Mikhail_K]

gefest_md

(Оффтоп)

gefest_md в сообщении #1640518 писал(а):

Я объяснил почему посчитал это верным. Скажем по аксиоматике Клини.

Да, видимо следует сказать аккуратнее. Обычно утверждения с кванторами, с которыми приходится иметь дело в математике, имеют вид $\forall x\in M, P(x)$ или $\exists x\in M:\, P(x)$ (хотя их можно переписать в виде $\forall x,\,(x\in M\,\to P(x))$ и $\exists x:\,(x\in M\,\,{\textrm{и}}\,\,P(x))$ соответственно - и тогда они будут меньше похожи друг на друга).

Из утверждения $\forall x\in M, P(x)$ не следует, что $\exists x\in M:\,P(x)$ - потому что множество $M$ может оказаться пустым, и тогда первое утверждение верно, а второе неверно.

Задача может состоять в доказательстве утверждения вида $\forall x\in M, P(x)$. Здесь $x\in M$ - условия задачи, а $P(x)$ - вывод, который требуется доказать. Например, если задача про треугольники, и что-то про треугольник известно, а что-то надо доказать, то $M$ - множество треугольников, удовлетворяющих условию задачи, а $P(x)$ - доказываемое утверждение про треугольник $x$. Теоретически, условия задачи могут быть противоречивыми (т.е. множество $M$ может быть пустым). Но выяснение, так это или не так - это уже другая, отдельная задача.

Доказываемое утверждение $\forall x\in M, P(x)$ можно записать в виде $\forall x,\,(x\in M\,\to P(x))$. Если мы доказали это, то утверждение $x\in M\,\to P(x)$ верно для любых $x$, вне зависимости от пустоты или непустоты $M$, и вне зависимости от того, $x\in M$ или $x\notin M$. Видимо, здесь Вы об этом и говорите:

gefest_md в сообщении #1640468 писал(а):

Дошло до меня, что для любого треугольника теорема задачи верна. В частности, если нарисовать треугольник с $\angle B=120^\circ,$ то для него будет выполнено условие задачи: если $BM=BC$ и $BA=BL,$ то $AM=CL.$ В силу того, что $BA\not=BL.$

Возможно, я не сразу верно понял, о чём Вы здесь говорите.

[gefest_md]

Mikhail_K

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1640578 писал(а):

Возможно, я не сразу верно понял, о чём Вы здесь говорите.

Согласен, что в первом сообщении сказал что-то не то: я говорил отдельно об исчислении предикатов в контексте геометрической теории.