Импликация и другие логические связки

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1634566 писал(а):

Конечно, это число 500. Если оно меньше 10, то оно больше 100, а я - Папа Римский.

Это по законам логики. Но я пока еще не согласился, что если высказывание истинно по этим законам, то оно соответствует действительности.

mihaild в сообщении #1634566 писал(а):

Что Вы вообще понимаете под "соответствием действительности"? Хотя бы примерно.

Не могу обобщить, но скажу, что, во всяком случае, (по моим представлениям)

высказывание $(500<10)$ не соответствует действительности, потому что в действительности нет такого факта: $(500<10)$, -- при этом с точки зрения логики это высказывание ложное, потому что оно не соответствует действительности;

высказывание $(500>100)$ соответствует действительности, потому что в действительности есть такой факт: $(500>100)$ -- при этом с точки зрения логики это высказывание истинное, потому что оно соответствует действительности;

высказывание $(500<10) \to (500>100)$ не соответствует действительности, потому что в действительности нет такого факта: если число меньше $10$, то оно больше $100$, -- при этом с точки зрения логики это высказывание истинное, потому что оно соответствует таблице истинности.

Так что (повторюсь, но с некоторыми изменениями)

в логике высказываний истинность простых высказываний определяется тем, соответствуют ли они действительности, а истинность составных высказываний -- тем, соответствуют ли они таблице истинности, при этом, будучи истинными (по этой таблице), они могут не соответствовать действительности.

mihaild в сообщении #1634566 писал(а):

Тут важный вопрос: как понимать "соответствие действительности" формул со свободными переменными (по Куратовскому, насколько я понимаю - высказывательных форм, не являющихся высказываниями).

Я думаю, что формуле со свободной переменной в действительности соответствует возможность факта, например, $x<10$ в логике это формула со свободной переменной, а в действительности это возможность для любого числа меньше $10$ принять участие в операции или быть рассмотренным.

mihaild в сообщении #1634566 писал(а):

Тут есть два варианта: либо вообще запретить говорить об их истинности (так же как мы не говорим об истинности вектора),

Я отношу вектор к действительности (хотя, может быть, бывает вектор в логике?)

mihaild в сообщении #1634566 писал(а):

либо неявно ставить по ним квантор всеобщности. Во втором случае эта импликация ложна. А вот если подставить в неё число $500$, то получится истинное утверждение.

Ну, значит, не надо запрещать говорить об их истинности. Здесь две возможности: ставить по ним квантор всеобщности (можно неявно) или придавать переменной конкретное значение (как Вы и говорите). Вот здесь об этом:

Mikhail_K в сообщении #1633451 писал(а):

Есть формула $(x<10)\to (x>100)$ и есть формула $\forall x,\,(x<10)\to (x>100)$.
Первая формула - истинна при одних $x$ и ложна при других $x$. Вторая формула - просто ложна (как раз потому, что первая не всегда истинна).

Когда пишут импликацию со свободной переменной $x$, то наиболее корректно говорить о её истинности или ложности не вообще, а при конкретных значениях $x$. Но если считать, что перед такой импликацией стоит $\forall x,$ (и он просто опущен для краткости, но подразумевается там) - тогда можно говорить об истинности или ложности вообще.

mihaild в сообщении #1634566 писал(а):

А вот если подставить в неё число $500$, то получится истинное утверждение. Это совершенно нормальная ситуация, и бывает и без импликации.

Здесь я не понял последнее предложение.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634626 писал(а):

высказывание $(500<10) \to (500>100)$ не соответствует действительности, потому что в действительности нет такого факта: если число меньше $10$, то оно больше $100$

А высказывание $(300<10) \to (500>100)$ соответствует вашей "действительности"?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634626 писал(а):

потому что в действительности нет такого факта: если число меньше $10$, то оно больше $100$

А есть ли в действительности факт "если $500$ меньше $10$, то $500$ больше $100$"? И как Вы это установили?

Vladimir Pliassov в сообщении #1634626 писал(а):

Здесь две возможности: ставить по ним квантор всеобщности (можно неявно) или придавать переменной конкретное значение (как Вы и говорите).

Нет, такого я не говорю. Вот у нас есть формула со свободной переменной. Понятно, что значит её истинность (при фиксированной интерпретации) при некоторой оценке (когда мы каждой свободной переменной сопоставляем некоторый объект). А что значит истинность формулы со свободной переменной вообще - непонятно. Точно нельзя для его определения "придавать конкретное значение", потому что какое конкретно?

Vladimir Pliassov в сообщении #1634626 писал(а):

Здесь я не понял последнее предложение

Ну например есть формула со свободной переменной $x < 42$. Если подставить в неё $x = 13$, то получится истинное утверждение, а если $x = 666$, то ложное.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634530 писал(а):

сложное высказывание $(500<10) \to (500>100)$ -- истинное, потому что соответствует таблице истинности, но при этом оно не соответствует действительности

О, Вы придумали новое словосочетание: "соответствует действительности". Не знаю уж, какова Ваша действительность и как ей соответствовать, но моей действительности высказывание $(500<10) \to (500>100)$ соответствует. Как раз потому что $500<100$ действительности не соответствует.

Я вижу, что Вы почему-то невзлюбили ex falso quodlibet и пытаетесь с помощью употребления всяких словосочетаний типа "соответствует действительности" его обойти. Право, не стоит. Вряд ли Вы сочините новую альтернативную логику. Всё уже украдено до Вас. Логики, которые не принимают ex falso quodlibet, именуются "паранепротиворечивыми". Есть попытки построения логик, не принимающих и более фундаментальные вещи. Например, попытки не принять закон непротиворечия называются "диалектизмом". И даже есть множество людей, которые, начитавшись Гегеля, убедили себя в том, что якобы существует какая-то "диалектическая логика". Увы, все эти попытки построения альтернативных логик выглядят воистину жалко и ни к чему интересному так и не привели.

Если Ваша душа не хочет принять ex falso quodlibet, то выше я Вам объяснял, что этот закон можно вывести из двух вещей: наличия в логике дедукции и снятия двойного отрицания. И если снятие двойного отрицания (которое Вы почему-то принимаете не задумываясь) действительно взято с потолка, то дедукция - эта как раз и есть та вещь, которая позволяет нам трактовать значок $\to$ как "логическое следование". Так что, отвергая ex falso quodlibet, будьте готовы к тому, что импликация полностью потеряет связь с логической выводимостью.

[tolstopuz]

Нашел у Кнута любопытную цитату:

Кнут, 4A, стр. 73 писал(а):

В действительности логика высказываний была разработана греческими философами еще в IV веке до н. э. В те времена велись значительные споры о том, как присвоить правильное значение "истина" или "ложь" суждению "если $x$, то $y$", когда $x$ и $y$ являются суждениями; Филон из Мегары (Philo of Megara) около $300$ года до н. э. определил его с помощью таблицы истинности, приведенной в табл. $1$, где, в частности, указано, что импликация истинна, если и $x$, и $y$ ложны.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1634629 писал(а):

А высказывание $(300<10) \to (500>100)$ соответствует вашей "действительности"?

Нет, не соответствует. Прибавим $200$ к каждой части неравенства $(300<10)$, получим высказывание $(500<210)$, эквивалентное высказыванию $(300<10)$, и высказывание $(500<210) \to (500>100)$, эквивалентное высказыванию $(300<10) \to (500>100)$.

Высказывание $(500<210) \to (500>100)$ не соответствует действительности, так как нет факта "если число меньше, чем $210$, то оно больше, чем $100$", поэтому и высказывание $(300<10) \to (500>100)$ не соответствует действительности.

При этом высказывания $(300<10)$ и $(500>100)$ не противоречат друг другу, потому что не противоречат друг другу высказывания $(500<210)$ и $(500>100)$, так как число может быть меньше, чем $210$, и вместе с тем больше, чем $100$.

mihaild в сообщении #1634632 писал(а):

А есть ли в действительности факт "если $500$ меньше $10$, то $500$ больше $100$"? И как Вы это установили?

Я считаю, что такого факта в действительности нет, потому что нет факта "если число меньше $10$, то оно больше $100$".

А факт "если $500$ меньше $10$, то $500$ меньше $100$" в действительности есть, потому что есть факт "если число меньше $10$, то оно меньше $100$".

mihaild в сообщении #1634632 писал(а):

А что значит истинность формулы со свободной переменной вообще - непонятно. Точно нельзя для его определения "придавать конкретное значение", потому что какое конкретно?

Конечно, нельзя определить истинность формулы со свободной переменной, придав ей какое-то фиксированное (конкретное) значение, потому что как только Вы придадите переменной фиксированное значение, она перестанет быть свободной переменной, но при этом формула превратится в высказывание, и его истинность можно будет определить.

Однако и истинность формулы со свободной переменной можно определить, поставив перед ней квантор всеобщности, например,

Mikhail_K в сообщении #1633451 писал(а):

формула $\forall x,\,(x<10)\to (x>100)$ ... ложна.

epros в сообщении #1634676 писал(а):

О, Вы придумали новое словосочетание: "соответствует действительности".

Это не я придумал, вот я погуглил чуть-чуть и сразу наткнулся на следующее:

Цитата:

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Истинное высказывание соответствует действительности, а ложное высказывание не соответствует действительности.

https://nauchniestati.ru/spravka/uslovi ... yslennost/

epros в сообщении #1634676 писал(а):

Не знаю уж, какова Ваша действительность и как ей соответствовать, но моей действительности высказывание $(500<10) \to (500>100)$ соответствует. Как раз потому что $500<100$ действительности не соответствует.

Я сам не знаю, что такое действительность, но понимаю так, что она все-таки есть. Да и Вы говорите: "$500<100$ действительности не соответствует", -- значит, признаете ее? А если не признаете, то как Вы определяете истинность простого высказывания, например, $500<100$?

epros в сообщении #1634676 писал(а):

Я вижу, что Вы почему-то невзлюбили ex falso quodlibet

Поверьте, что это не так!

epros в сообщении #1634676 писал(а):

Если Ваша душа не хочет принять ex falso quodlibet, то выше я Вам объяснял, что этот закон можно вывести из двух вещей: наличия в логике дедукции и снятия двойного отрицания. И если снятие двойного отрицания (которое Вы почему-то принимаете не задумываясь) действительно взято с потолка, то дедукция - эта как раз и есть та вещь, которая позволяет нам трактовать значок $\to$ как "логическое следование". Так что, отвергая ex falso quodlibet, будьте готовы к тому, что импликация полностью потеряет связь с логической выводимостью.

Я его не отвергаю и был бы Вам очень признателен, если бы Вы указали мне, где я могу познакомиться с его выводом -- я имею в виду уже готовое доказательство, потому что хотя и и знаю от Вас, что его можно "вывести из двух вещей: наличия в логике дедукции и снятия двойного отрицания", но как это сделать, не представляю.

tolstopuz в сообщении #1634727 писал(а):

Нашел у Кнута любопытную цитату:

Кнут, 4A, стр. 73 писал(а):

В действительности логика высказываний была разработана греческими философами еще в IV веке до н. э. В те времена велись значительные споры о том, как присвоить правильное значение "истина" или "ложь" суждению "если $x$, то $y$", когда $x$ и $y$ являются суждениями; Филон из Мегары (Philo of Megara) около $300$ года до н. э. определил его с помощью таблицы истинности, приведенной в табл. $1$, где, в частности, указано, что импликация истинна, если и $x$, и $y$ ложны.

Но как они определяли истинность $x$ и $y$? Я здесь предполагаю, что $x$ и $y$ это простые (не составные) высказывания.

Ведь не по таблице истинности? А как?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634743 писал(а):

Прибавим

Бертран Рассел писал(а):

Предположим, что 2 + 2 = 5.
Вычтем из обеих частей по два: 2 = 3.
Переставим левую и правую части: 3 = 2.
Вычтем из обеих частей по единице: 2 = 1.
Папа римский и я — нас двое. Так как 2 = 1, то папа римский и я — одно лицо. Следовательно, я — папа римский.

-- Пт мар 29, 2024 18:23:25 --

И точно так же доказывается занимательный факт про число $500$.

Пусть $500 < 10$.
Это означает, что $10 > 500$.
Но $500 > 2$, следовательно, $10 > 2$.
Умножим обе части неравенства на положительное число $50$ и получим, что $500 > 100$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634743 писал(а):

Я считаю, что такого факта в действительности нет, потому что нет факта "если число меньше $10$, то оно больше $100$".

А почему Вас заинтересовал именно этот факт а не, например, "если 500 меньше числа, то 500 больше 100"?

Vladimir Pliassov в сообщении #1634743 писал(а):

Это не я придумал, вот я погуглил чуть-чуть и сразу наткнулся на следующее

И в Вашей цитате "соответствие действительности" объявляется синонимом истинности.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634743 писал(а):

Это не я придумал, вот я погуглил чуть-чуть и сразу наткнулся на следующее:

Цитата:

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным. Истинное высказывание соответствует действительности, а ложное высказывание не соответствует действительности.
https://nauchniestati.ru/spravka/uslovi ... yslennost/

Вот именно, что это всё про ту же истинность. А Вы говорите: "Нет, я против ex falso quodlibet ничего не имею". А что же это тогда было? К чему эти рассуждения про "другой вид истинности", для которого $500<10 \to 500>100$ вдруг перестаёт быть истинным, пардон "соответствующим действительности"?

Vladimir Pliassov в сообщении #1634743 писал(а):

Я его не отвергаю и был бы Вам очень признателен, если бы Вы указали мне, где я могу познакомиться с его выводом -- я имею в виду уже готовое доказательство, потому что хотя и и знаю от Вас, что его можно "вывести из двух вещей: наличия в логике дедукции и снятия двойного отрицания", но как это сделать, не представляю.

Ну, Вы поищите прямо в этой теме и обрящете. Я, конечно, мог бы сам поискать и процитировать, но думаю, Вам это будет полезнее.

-- Пт мар 29, 2024 22:32:10 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1634743 писал(а):

Я сам не знаю, что такое действительность, но понимаю так, что она все-таки есть. Да и Вы говорите: "$500<100$ действительности не соответствует", -- значит, признаете ее? А если не признаете, то как Вы определяете истинность простого высказывания, например, $500<100$?

Просто я интерпретирую эти значки как арифметические высказывания. С точки зрения предположения, что аксиомы арифметики "истинны", я готов условно считать "истинными" или "ложными" и соответствующие арифметические высказывания.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1634632 писал(а):

А есть ли в действительности факт "если $500$ меньше $10$, то $500$ больше $100$"? И как Вы это установили?

Я возьму факт "если $500$ меньше $10$, то $500$ меньше $100$".

Выражение "если пятьсот меньше десяти, то пятьсот меньше ста" я понимаю так:

если число, которое обозначено словом "пятьсот", меньше числа, которое обозначено словом "десять", и число, которое обозначено словом "десять", меньше числа, которое обозначено словом "сто", то число, которое обозначено словом "пятьсот", меньше числа, которое обозначено словом "сто".

Другими словами:

если число, которое обозначено словом "пятьсот", содержит меньше единиц, чем число, которое обозначено словом "десять", и число, которое обозначено словом "десять", содержит меньше единиц, чем число, которое обозначено словом "сто", то число, которое обозначено словом "пятьсот", содержит меньше единиц, чем число, которое обозначено словом "сто".

Например, если словом "пятьсот" обозначено число $7$, словом "десять" обозначено число $13$, а словом "сто" обозначено число $41$, то импликация $(500<10) \to (500<100)$ примет вид $(7<13) \to (7<41)$, и в таком виде она имеет смысл в арифметике (здесь и дальше имеется в виду арифметика Пеано).

Но если словом "пятьсот" обозначено число $500$, словом "десять" обозначено число $10$, а словом "сто" обозначено число $100$, то импликацию $(500<10) \to (500<100)$ рассматривать в арифметике нет смысла, потому что в арифметике факты $(500<10)$ и $(500<100)$ не имеют места.

Таким образом, в арифметике нет ничего, что соответствовало бы истинной (с точки зрения логики) импликации $(500<10) \to (500<100)$, то есть, если считать арифметику действительностью, то логическое высказывание $(500<10) \to (500<100)$ ей не соответствует.

В арифметике импликация $(x<10) \to (x<100)$ не может иметь ложную посылку, потому что в арифметике при $x\nless 10$ выражение $(x<10) \to (x<100)$ не имеет смысла, так что для арифметики нет закона ex falso quodlibet.

В арифметике выражение $(500<10)$ представляет собой не ложную посылку, а ошибку, и, если импликация $(x<10) \to (x<100)$ при истинной посылке имеет ложное заключение, то это тоже ошибка, а не ложная импликация.

То есть в применении к арифметике возможна только истинная импликация.

Поэтому в арифметике нельзя перед выражением $(x<10) \to (x<100)$ ставить квантор $\forall x$ (имея в виду, что $x$ принимает значения, скажем, от $-\infty$ до $+\infty$). Здесь квантором является (истинная) посылка $(x<10)$, и $(x<10) \to (x<100)$ можно записать как $\forall x<10: x<100$.

epros в сообщении #1634782 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1634743 писал(а):

Да и Вы говорите: "$500<100$ действительности не соответствует", -- значит, признаете ее? А если не признаете, то как Вы определяете истинность простого высказывания, например, $500<100$?

Просто я интерпретирую эти значки как арифметические высказывания. С точки зрения предположения, что аксиомы арифметики "истинны", я готов условно считать "истинными" или "ложными" и соответствующие арифметические высказывания.

Я разделяю арифметику и логику и считаю арифметику действительностью.

Я считаю, что одно и то же выражение $500>100$ является выражением и арифметического факта $500>100$, и логического высказывания $500>100$, но арифметический факт $500>100$ и логическое высказывание $500>100$ это не одно и то же, первый относится к действительности, а второе -- к логике. И я бы не хотел употреблять выражение "арифметическое высказывание" во избежание недоразумений, я считаю термин "высказывание" сугубо логическим.

Вы же считаете, что арифметический факт $500>100$ и логическое высказывание $500>100$ это одно и то же, и выражения "арифметический факт" не употребляете, а употребляете выражение "арифметическое высказывание", подчеркивая, таким образом, единство арифметики и логики.

Это интересный взгляд, неожиданный для меня.

Если считать арифметику и логику множествами, то я полагаю, что они не пересекаются, а Вы полагаете, что они пересекаются.

Но даже если принять Ваш взгляд и полагать, что они пересекаются, то, по-моему, они все же не совпадают: в логике есть что-то такое, чего нет в арифметике, как я попытался показать выше в этом посте.

mihaild в сообщении #1634772 писал(а):

И в Вашей цитате "соответствие действительности" объявляется синонимом истинности.

Да, и я с этим не согласен. Но в ней, во всяком случае, не отрицается существование действительности.

В логике истинность составных высказываний определяется по логическим законам (по таблице истинности). Но истинность простых, первоначальных высказываний не может определяться по таблице, так ведь? Она должна определяться как-то иначе, а как же еще, если не соответствием/несоответствием действительности? Другое дело, что считать действительностью, я, например, арифметику считаю действительностью (но, разумеется, не только арифметику).

epros в сообщении #1634782 писал(а):

Ну, Вы поищите прямо в этой теме и обрящете. Я, конечно, мог бы сам поискать и процитировать, но думаю, Вам это будет полезнее.

Вот это:

epros в сообщении #1633101 писал(а):

Если Вам интересно, откуда взялись аксиомы логики, то я Вам ранее указывал в каком направлении следует смотреть вместо того, чтобы перебирать варианты значений истинности.

1) Если мы хотим, чтобы запись $A \to B$ хоть в какой-то мере означала выводимость $B$ из $A$, то у нас в логике должна быть применима дедукция
. А если у нас применима дедукция, то мы, как минимум, можем вывести $A \to (B \to A)$ (я ранее приводил вывод).

2) Подстановкой в эту тавтологию вместо $A$ тождественной лжи $\bot$ мы получаем утверждение, что из ложного высказывания следует любое отрицание: $\bot \to \neg B$.

3) Далее мы можем подставить в эту тавтологию $\neg A$ вместо $B$ и получим $\bot \to \neg \neg A$.

4) А поскольку в классической логике есть закон снятия двойного отрицания $\neg \neg A \to A$, отсюда следует $\bot \to A$ - тот самый ex falso quodlibet, о происхождении которого Вы спрашиваете.

?

tolstopuz в сообщении #1634629 писал(а):

А высказывание $(300<10) \to (500>100)$ соответствует вашей "действительности"?

tolstopuz в сообщении #1634749 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1634743 писал(а):

Нет, не соответствует. Прибавим $200$ к каждой части неравенства $(300<10)$, получим высказывание $(500<210)$, эквивалентное высказыванию $(300<10)$, и высказывание $(500<210) \to (500>100)$, эквивалентное высказыванию $(300<10) \to (500>100)$.

Высказывание $(500<210) \to (500>100)$ не соответствует действительности, так как нет факта "если число меньше, чем $210$, то оно больше, чем $100$", поэтому и высказывание $(300<10) \to (500>100)$ не соответствует действительности.

Бертран Рассел писал(а):

Предположим, что $2 + 2 = 5$.
Вычтем из обеих частей по два: $2 = 3$.
Переставим левую и правую части: $3 = 2$.
Вычтем из обеих частей по единице: $2 = 1$.
Папа римский и я — нас двое. Так как $2 = 1$, то папа римский и я — одно лицо. Следовательно, я — папа римский.

И точно так же доказывается занимательный факт про число $500$.

Пусть $500 < 10$.
Это означает, что $10 > 500$.
Но $500 > 2$, следовательно, $10 > 2$.
Умножим обе части неравенства на положительное число $50$ и получим, что $500 > 100$.

Спасибо! Это был хороший урок! Во всех этих трех выкладках вычисления делаются на неверных основаниях, так что и результаты получаются неверные.

Но я по-прежнему утверждаю, что высказывание $(500<10) \to (500>100)$ не соответствует действительности, потому что в действительности (то есть в арифметике) нет такого факта: "если число меньше $10$, то оно больше $100$" (и здесь дело даже не в том, что в арифметике нет факта $(500<10)$).

mihaild в сообщении #1634772 писал(а):

А почему Вас заинтересовал именно этот факт а не, например, "если 500 меньше числа, то 500 больше 100"?

Такой факт тоже может заинтересовать, и нет гарантии, что он не окажется существующим в некоторых обстоятельствах действительности.

Да и факт "если число меньше $10$, то оно больше $100$", будет существовать, если соединить концы числовой прямой, и при этом считать, что число, расположенное левее, меньше, чем расположенное правее.

Или, если это вызывает затруднение, можно отметить на окружности конечное упорядоченное множество точек, среди которых будут точки, обозначенные $10$, $100$ и $500$ (в соответствии с упорядоченностью точек), и также считать, что число, расположенное левее, меньше, чем расположенное правее.

Правда, это не будет соответствовать аксиомам Пеано.

[mihaild]

Vladimir Pliassov, у Вас как-то стремительно растет количество характеристик утверждений. Теперь еще появились "ошибочность", "смысл", "существование факта".

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Например, если словом "пятьсот" обозначено число $7$

Словом $500$ обозначено

(длинная формула)

$S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\0))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) $

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Я разделяю арифметику и логику

А это неправильный подход. Логика (исчисление предикатов первого порядка) - это язык. Общие правила, по которым записываются утверждения, и по которым из одних утверждений выводятся другие.
Арифметика (Пеано первого порядка) - это теория в этом языке.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Но истинность простых, первоначальных высказываний не может определяться по таблице, так ведь? Она должна определяться как-то иначе, а как же еще, если не соответствием/несоответствием действительности?

Если у нас есть (непротиворечивая) теория первого порядка, то у неё могут быть модели (интерпретации). Плюс для модели бывают разные оценки. Истинность высказывания в модели при данной оценке определяется у Куратовского.
И по этому определению оказывается, что в любой модели арифметики Пеано, при любой оценке, высказывание $(500 < 10) \rightarrow (500 > 100)$ истинно. Потому что в любой модели при любой оценке, $500 < 10$ ложно, $500 > 10$ истинно, а значит вся импликация истинна.

Вот так используется определение истинности арифметических формул в модели. Ничего другого - "осмысленность", "ошибочность", "соответствие действительности" - не определяется и не нужно.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Я считаю, что одно и то же выражение $500>100$ является выражением и арифметического факта $500>100$, и логического высказывания $500>100$, но арифметический факт $500>100$ и логическое высказывание $500>100$ это не одно и то же, первый относится к действительности, а второе -- к логике.

Я ничего не понял.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

И я бы не хотел употреблять выражение "арифметическое высказывание" во избежание недоразумений, я считаю термин "высказывание" сугубо логическим.

Логика - это система правил рассуждения, общая для всех теорий. Она для того и нужна, чтобы авторы разных прикладных теорий понимали друг друга. Поэтому предложения языка арифметики тоже следуют правилам логики. Но из одних правил логики нам, конечно, не понять, что означают строки из цифр и значков $<$ и $>$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Но истинность простых, первоначальных высказываний не может определяться по таблице, так ведь? Она должна определяться как-то иначе, а как же еще, если не соответствием/несоответствием действительности?

Принятием за аксиому, например.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Вот это:

epros в сообщении #1633101 писал(а):

Если Вам интересно, откуда взялись аксиомы логики, то я Вам ранее указывал в каком направлении следует смотреть вместо того, чтобы перебирать варианты значений истинности.

1) Если мы хотим, чтобы запись $A \to B$ хоть в какой-то мере означала выводимость $B$ из $A$, то у нас в логике должна быть применима дедукция. А если у нас применима дедукция, то мы, как минимум, можем вывести $A \to (B \to A)$ (я ранее приводил вывод).

2) Подстановкой в эту тавтологию вместо $A$ тождественной лжи $\bot$ мы получаем утверждение, что из ложного высказывания следует любое отрицание: $\bot \to \neg B$.

3) Далее мы можем подставить в эту тавтологию $\neg A$ вместо $B$ и получим $\bot \to \neg \neg A$.

4) А поскольку в классической логике есть закон снятия двойного отрицания $\neg \neg A \to A$, отсюда следует $\bot \to A$ - тот самый ex falso quodlibet, о происхождении которого Вы спрашиваете.

?

Да. А то, на что ссылается пункт (1), было на странице 10.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Но я по-прежнему утверждаю, что высказывание $(500<10) \to (500>100)$ не соответствует действительности, потому что в действительности (то есть в арифметике) нет такого факта: "если число меньше $10$, то оно больше $100$"

А причём здесь утверждение "если число меньше $10$, то оно больше $100$"? Это ложное общее утверждение, а значит не надо выводить из него истинное частное утверждение $(500<10) \to (500>100)$, нет такого правила.

[Vladimir Pliassov]

1.

mihaild в сообщении #1634889 писал(а):

Vladimir Pliassov, у Вас как-то стремительно растет количество характеристик утверждений. Теперь еще появились "ошибочность", "смысл", "существование факта".

Нет, у логического утверждения только одна характеристика -- истинность. "Ошибочность", "смысл", "существование факта" -- все это остается за пределами логики.

Что же касается "ошибочности", то она остается также и за пределами арифметики: если кто-то по ошибке написал: "$500<10$", то эта запись в арифметике не принимается. Так ведь?

mihaild в сообщении #1634889 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Например, если словом "пятьсот" обозначено число $7$

Словом $500$ обозначено

(длинная формула)

$S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(S(\\0))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))\\)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) $

А я посчитал! Здесь, если не ошибаюсь, ровно 500 раз буква $S$ и 500 скобок $()$.

Нет, я имею в виду именно: если словом "пятьсот" обозначено число $7$, -- по незнанию, по ошибке или злонамеренно, -- то пятьсот меньше десяти. Но если это несоответствие устранить, то есть если обозначить словом "пятьсот" число $500$, то $500\nless 10$.

mihaild в сообщении #1634889 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Я разделяю арифметику и логику

А это неправильный подход. Логика (исчисление предикатов первого порядка) - это язык. Общие правила, по которым записываются утверждения, и по которым из одних утверждений выводятся другие.
Арифметика (Пеано первого порядка) - это теория в этом языке.

Не могу судить о логике первого порядка, я пока что занимаюсь логикой нулевого порядка -- логикой высказываний. Но в логике высказываний принимается выражение $ (как ложное высказывание), а в арифметике (Пеано) оно, по-моему, не принимается.

2.

Но у меня мелькнула догадка!

Ложные высказывания используются в логике, потому что в тавтологии не имеет значения истинность высказывания. Это очень удобно: нет необходимости выяснять, соответствует ли действительности использующееся в тавтологии высказывание -- которое может оказаться очень сложным. И этим оправдывается наличие в логике ложных высказываний. Правильно?

3.

Как я обнаружил, не все согласны с тем, что действительность существует. Но я -- и не только я -- исхожу из того, что она существует, и из того, что логические высказывания могут ей соответствовать или не соответствовать. И мне кажется, что поскольку не я один из этого исхожу, есть смысл обсудить отношение между логикой и действительностью, в частности, обсудить, что имеется в виду под этим соответствием/несоответствием, тем более, что об этом в учебниках, кажется, почти ничего не говорят.

Например, у Куратовского, Мостовского (кроме того, что не определяется даже, что такое высказывание вообще) не определяется, что такое истинное (ложное) высказывание:

Цитата:

Произвольные высказывания будем обозначать буквами $p, q, r, \ldots \; .$ Будем считать, что каждое из рассматриваемых высказываний либо истинно, либо ложно.

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 11

Правда, за этим следует интересное предложение:

Цитата:

Так как мы будем иметь дело только с высказываниями из области математики, то это предположение принять можно.

Сравните с тем, что здесь:

epros в сообщении #1634782 писал(а):

Просто я интерпретирую эти значки как арифметические высказывания. С точки зрения предположения, что аксиомы арифметики "истинны", я готов условно считать "истинными" или "ложными" и соответствующие арифметические высказывания.

Когда я прочитал эти последние полторы строчки, меня поразило, что высказывания для логики могут браться прямо из арифметики, то есть прямо из действительности. И больше суток я находился под впечатлением от этих слов.

Но минут пятнадцать назад я вдруг понял, что математическое высказывание это сделанное кем-то высказывание о математическом факте. Так что математические высказывания берутся не из математики, а из списка высказываний о ее фактах.

При этом, например, одно и то же выражение $500>100$ является выражением и арифметического факта $500>100$, и логического высказывания $500>100$, что способствует введению в заблуждение, в которое и я был введен (когда подумал, что высказывания для логики берутся прямо из арифметики).

Заметьте, что у Куратовского, Мостовского сказано: "Так как мы будем иметь дело только с высказываниями из области математики ..." -- но ведь не всегда мы имеем дело с высказываниями из области математики? Если ваза разбилась, не можете же вы взять разбитие вазы непосредственно в качестве высказывания? Вам надо сначала высказаться об этом факте, а уже потом использовать это высказывание в логике. Правильно?

epros в сообщении #1634908 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Я считаю, что одно и то же выражение $500>100$ является выражением и арифметического факта $500>100$, и логического высказывания $500>100$, но арифметический факт $500>100$ и логическое высказывание $500>100$ это не одно и то же, первый относится к действительности, а второе -- к логике.

Я ничего не понял.

Значит, я плохо объяснил. А теперь?

4.

Мне бы хотелось спросить: есть ли на форуме еще кто-нибудь, кроме меня, кто признает существование действительности?

5.

Как я полагаю, действительность отличается от логики, в частности, тем, что конъюнкция в логике может быть ложной, то есть состоящей из высказываний, не все из которых являются истинными. В противоположность этому, в действительности не может быть сосуществования существующего и несуществующего фактов или двух несуществующих (если не привлекать потустороннего мира несуществующих вещей).

Истинность высказывания определяется, истинность факта не определяется. Факт не может быть ложным или истинным, он либо есть, либо его нет.

Что значит, что высказывание не соответствует действительности? Это когда об истинном факте высказывается, что он ложный, или наоборот? Нет, ложное высказывание это то, которое утверждает, что факт существует, в то время как он не существует, или наоборот.

Например, в такой действительности, как арифметика Пеано, не существует факт "$500<10$" (правильно?), и поэтому логическое высказывание "$500<10$", которое утверждает существование этого факта, является ложным.

6.

mihaild в сообщении #1634889 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Но истинность простых, первоначальных высказываний не может определяться по таблице, так ведь? Она должна определяться как-то иначе, а как же еще, если не соответствием/несоответствием действительности?

Если у нас есть (непротиворечивая) теория первого порядка, то у неё могут быть модели (интерпретации). Плюс для модели бывают разные оценки. Истинность высказывания в модели при данной оценке определяется у Куратовского.
И по этому определению оказывается, что в любой модели арифметики Пеано, при любой оценке, высказывание $(500 < 10) \rightarrow (500 > 100)$ истинно. Потому что в любой модели при любой оценке, $500 < 10$ ложно, $500 > 10$ истинно, а значит вся импликация истинна.

Мне, конечно, надо еще получше разобраться в этом, но, как я уже говорил в предыдущем посте, мне кажется, что в применении к арифметике возможна только импликация с истинной посылкой и истинным заключением

(я, правда, написал там:

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

То есть в применении к арифметике возможна только истинная импликация.

забыв дописать: "типа "из истины следует истина")

а импликация $(500 < 10) \rightarrow (500 > 100)$, истинная в логике, не имеет смысла в арифметике.

(Когда она берется в связи с арифметикой, она продолжает оставаться логической связкой, невозможной в арифметике.)

7.

epros в сообщении #1634908 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Но истинность простых, первоначальных высказываний не может определяться по таблице, так ведь? Она должна определяться как-то иначе, а как же еще, если не соответствием/несоответствием действительности?

Принятием за аксиому, например.

Но это особый случай -- когда за истинные высказывания можно принять любые, лишь бы они не противоречили друг другу.

А когда аксиомы уже приняты, и надо оценить простое высказывание, то как это сделать? (Прошу принять во внимание то, что я написал выше: "математические высказывания берутся не из математики, а из списка высказываний о ее фактах.")

8.

epros в сообщении #1634908 писал(а):

А причём здесь утверждение "если число меньше $10$, то оно больше $100$"? Это ложное общее утверждение, а значит не надо выводить из него истинное частное утверждение $(500<10) \to (500>100)$, нет такого правила.

Почему нет такого правила? Вы же говорили, что нельзя вместо конкретного значения подставлять свободную переменную, а вместо свободной переменной можно подставлять конкретное значение, то есть можно вместо $x$ подставить $500$ в $(x<10) \to (x>100)$, разве нет?

9.

epros в сообщении #1634908 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1634875 писал(а):

Вот это:

Да. А то, на что ссылается пункт (1), было на странице 10.

Спасибо! Кроме этого и того, что на странице 10, я нашел еще два Ваших сообщения, пытаюсь разобраться.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

Что же касается "ошибочности", то она остается также и за пределами арифметики: если кто-то по ошибке написал: "$500<10$", то эта запись в арифметике не принимается. Так ведь?

В $1769$ году Эйлер по ошибке написал "$\not\exists x,y,z,w\in\mathbb{N}: x^4+y^4+z^4=w^4$". В $1988$ году эта ошибка была обнаружена: $2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4$. Получается так, что запись Эйлера в арифметике $219$ лет принималась, а теперь не принимается? Или она сразу не принималась и Эйлеру просто не надо было писать ерунду, а мы должны прокрасться ночью в библиотеку и ее зачеркнуть?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

Но в логике высказываний принимается выражение $500 < 100$ (как ложное высказывание)

Нет, в логике высказываний такое нельзя написать чисто синтаксически - в её алфавите нет цифр и значка $<$. Там есть только пропозициональные переменные, логические связки и скобки.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

а в арифметике (Пеано) оно, по-моему, не принимается

Нет понятия "принимается в арифметике". Есть понятие "выводится в арифметике" (которое часто называют "истинно в арифметике", хотя это не совсем правильно).

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

Ложные высказывания используются в логике, потому что в тавтологии не имеет значения истинность высказывания

В логике высказываний мы начинаем с пропозициональных переменных. Которым затем, при интерпретации, сопоставляется значение "истина" или "ложь". Это так устроено классическое исчисление высказываний. Есть и другие исчисления высказываний, в которых переменным сопоставляются не истина/ложь, а более сложные штуки.
Потом, когда мы переходим к исчислению предикатов, мы вместо пропозициональных переменных используем формулы исчисления предикатов. И чтобы узнать истинность составной формулы, нам нужно у модели теории спросить истинность атомарных формул, а потом у исчисления высказываний - истинность соответствующей формулы исчисления высказываний на такой оценке.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

Например, у Куратовского, Мостовского (кроме того, что не определяется даже, что такое высказывание вообще) не определяется, что такое истинное (ложное) высказывание

Это в исчислении высказываний. В нём под высказыванием понимается просто пропозициональная переменная.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

и логического высказывания $500>100$

Не бывает "логического высказывания $500 > 100$" в отрыве от арифметики.