Импликация и другие логические связки

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1636006 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

Обозначим через $p$ произвольное истинное высказывание, в которое превращается функция $x<10$ (при подстановке вместо $x$ соответствующего значения), а через $\neg p$ ложное высказывание, которое является отрицанием $p$,

Приведите пример.

В качестве произвольного истинного высказывания $p$ возьмем высказывание "$5<10$" -- в него превращается функция $x<10$ при подстановке вместо $x$ значения $5$, -- то есть имеем $p=$ "$5<10$".

Через $\neg p$ обозначим ложное высказывание "$5\geqslant 10$", которое является отрицанием $p=$ "$5<10$", -- то есть имеем $\neg p=$ "$5\geqslant 10$".

Но надо признать, что моя формулировка в приведенной Вами цитате корявая (хотя, по-моему, и верная), можно сформулировать лучше.

Однако я не хочу этого делать, потому что хочу перейти на другую систему.

Вместо того, чтобы брать одну пропозициональную функцию $\mathcal P(x)=$"$x<10$" и обозначать через $p$ произвольное истинное и через $\neg p$ произвольное ложное высказывание, в которое она превращается при подстановке вместо $x$ конкретного значения,

я думаю брать две пропозициональные функции: $\mathcal P(x)=$"$x<10$" и $\neg \mathcal P(x)=$"$x\geqslant 10$", -- и обозначать через $p$ высказывание, в которое превращается функция $\mathcal P(x)$, а через $\neg p$ высказывание, в которое превращается функция $\neg \mathcal P(x)$ при подстановке вместо $x$ конкретного значения.

Поскольку функции $\mathcal P(x)$ и $\neg \mathcal P(x)$ являются отрицаниями друг друга, $p$ и $\neg p$ также будут отрицаниями друг друга.

При этом ни о высказывании $p$, ни о высказывании $\neg p$ нельзя будет сказать, является оно истинным или ложным, пока не будет произведена сверка с действительностью (что бы это ни значило).

Это удобно, потому что с $p$ и $\neg p$ во многих случаях можно работать и без этой сверки (оставить действительность в стороне),

например, рассматривая импликацию $p\to q$, нет необходимости знать, истинно $p$ или ложно.

Но если уж понадобиться -- сверить, и тогда будет либо $p=\top$, а $\neg p=\bot$, либо $p=\bot$, а $\neg p=\top$.

Так лучше?

tolstopuz в сообщении #1636007 писал(а):

Если почитать чуть ниже, видно, что это уже стало фигурой речи и означает конкретное высказывание. "Обозначим через $p$ произвольную сумму сдачи, которую мне дадут с $10$ рублей при покупке товара стоимостью в $x$ рублей при подстановке вместо $x$ соответствующего значения".

А что не так?

Обозначим через $p$ одно из истинных высказываний (все равно, какое -- по нашему выбору), в которое превращается функция $x<10$ при подстановке вместо $x$ соответствующего значения (такие высказывания ведь есть? -- при соответствующем $x$), а через $\neg p$ ложное высказывание, которое является отрицанием $p$ (не какое попало, а именно то, которое является отрицанием $p$, и это $\neg p$ является ложным, раз $p$ истинное). По-моему, все правильно. Или нет?

tolstopuz в сообщении #1636110 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1635103 писал(а):

Если утверждение $A$ справедливо безо всяких условий, то, конечно, оно справедливо и при условии $B$.

Последнее предложение, по-моему, утверждает конъюнкцию $B$ и $A$, но не импликацию

В последнем предложении есть две импликации

Первая -- $\bot \to A$, а вторая -- $B\to A$? Что касается первой, то с ней мне надо еще разобраться, но вторая -- это именно то, в чем я сомневаюсь.

tolstopuz в сообщении #1636110 писал(а):

и оно не говорит прямо об истинности ни утверждения $A$, ни утверждения $B$. Ваша же версия с конъюнкцией означает, что утверждения $A$ и $B$ оба одновременно истинны. Замечаете, насколько вы извратили смысл?

Mikhail_K в сообщении #1636132 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

Последнее предложение, по-моему, утверждает конъюнкцию $B$ и $A$, но не импликацию

Нет. Когда я говорю "если $A$, то $B$", то я всегда имею в виду импликацию и ничего не говорю про истинность ни $A$, ни $B$. Когда я говорю "если завтра пойдёт дождь, то я не пойду на прогулку", я не имею в виду, что завтра обязательно пойдёт дождь. И тем более не имею в виду, что обязательно останусь дома (а отказаться от прогулки я могу, даже если дождя не будет).

Здесь я неудачно выразился, и это привело к недоразумению. Я не имел в виду, что последнее предложение утверждает истинность конъюнкции $B\wedge A$, я имел в виду, что оно утверждает наличие конъюнкции, но не наличие импликации.

Mikhail_K в сообщении #1636104 писал(а):

P.S. Пожалуйста, не пишите кавычки " внутри формулы (внутри долларов). Такие формулы потом плохо цитируются из-за какого-то сбоя. Можно писать например так: $A=$"$\lambda$ делится на $2$".

Спасибо, понял, теперь так и делаю. Но для информации: если не удается скопировать через "вставку", можно скопировать через "цитату", это всегда получается.

Mikhail_K в сообщении #1636104 писал(а):

Замечание: было бы лучше везде писать не $A,C,D$, а $A(\lambda)$, $C(\lambda)$, $D(\lambda)$ - чтобы акцентировать внимание на том, что это предикаты, зависящие от переменной $\lambda$.

У меня $\lambda$ это не переменная, я там написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

Пусть $\lambda$ это некоторое фиксированное натуральное число

Можно сказать, что $\lambda$ это некоторое фиксированное значение $x$. Если бы $\lambda$ было переменной, то $A=$"$\lambda$ делится на $2$", $C=$"$\lambda$ делится на $8$" и $D=$"$\lambda$ делится на $5$" были бы не высказываниями, а высказывательными функциями.

Mikhail_K в сообщении #1636104 писал(а):

Просто $C\to A$ верно вообще для всех $\lambda$, а $D\to A$ верно не для всех $\lambda$ (и, таким образом, утверждение $\forall\lambda,\,D\to A$ неверно). Подразумевая квантор $\forall\lambda$ вначале, можно для краткости сказать и просто: $D\to A$ неверно (но если мы так говорим, то обязательно подразумеваем, что имели в виду неверность $\forall\lambda,\,D\to A$. А само $D\to A$ при некоторых $\lambda$ может быть и верным).

И поскольку $\lambda$ это фиксированное число, квантор при нем, как я понимаю, не нужен.

Mikhail_K в сообщении #1636104 писал(а):

Дальше Вы вроде как приводите контрпример, но непонятно, где в нём $B$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635996 писал(а):

Пусть $\lambda$ это некоторое фиксированное натуральное число, и пусть оно делится на $2$, то есть пусть высказывание $A=$"$\lambda$ делится на $2$" справедливо.

Возьмем еще два высказывания: $C=$"$\lambda$ делится на $8$" и $D=$"$\lambda$ делится на $5$", и пусть они оба тоже будут справедливы.

То есть $\lambda$ может быть равно, например, $40$.

Здесь я намеренно не употребил букву $B$, чтобы зарезервировать ее для обозначения любого другого утверждения, кроме $A$, я имел в виду, что позже $B$ будет общим обозначением для утверждений $C$ и $D$, то есть $B$ будет принимать значения $C$ и $D$, а если понадобится, то и другие.

Я хотел показать, что не все $B$, то есть не все утверждения, кроме $A$, являются причиной $A$ -- есть ведь такой взгляд (который я пока не разделяю), что идея аксиомы именно в том, что любое другое утверждение, кроме $A$, является причиной $A$? И общим обозначением для всех этих других утверждений в формуле $A\to (B\to A)$ служит $B$, правильно?

То есть я хотел показать, что, например, при $B=C$ утверждение $B$ является причиной $A$, потому что из того, что натуральное число делится на $8$, следует, что оно делится и на $2$, а при $B=D$ утверждение $B$ не является причиной $A$, потому что из того, что натуральное число делится на $5$, не следует, что оно делится на $2$.

По-моему, формула $A\to (B\to A)$ означает, что

для любого истинного $A$ найдется $B$, которое является его причиной (причиной $A$).

Но это не значит, что любое $B$ является причиной $A$.

При этом мы здесь, конечно, имеем конъюнкцию $C\wedge A$ и конъюнкцию $D\wedge A$ (хотя и не имеем импликации $D\to A$) и, разумеется, конъюнкцию $A\wedge C\wedge D$: $\lambda$ делится одновременно на $2$, на $8$ и на $5$.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1636261 писал(а):

Я не имел в виду, что последнее предложение утверждает истинность конъюнкции $B\wedge A$, я имел в виду, что оно утверждает наличие конъюнкции, но не наличие импликации.

Vladimir Pliassov в сообщении #1636261 писал(а):

По-моему, формула $A\to (B\to A)$ означает, что
для любого истинного $A$ найдется $B$, которое является его причиной (причиной $A$).

Вообще непонятно, что значит "наличие конъюнкции" (и вообще "наличие утверждения", "найдётся такое-то утверждение", если под этим не понимается просто его истинность).
И нет, формула $A\to (B\to A)$ означает не это. Что она означает - я писал ранее.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1636261 писал(а):

Через $\neg p$ обозначим ложное высказывание "$5\geqslant 10$", которое является отрицанием $p=$ "$5<10$", -- то есть имеем $\neg p=$ "$5\geqslant 10$".

$5\geqslant 10$ не имеет никакого отношения к посылке импликации $x < 10 \to x > 100$.

-- Сб апр 13, 2024 15:44:18 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1636261 писал(а):

Так лучше?

Для чего? Не вижу ни малейшего смысла в этих манипуляциях.

[Vladimir Pliassov]

1.

epros в сообщении #1636296 писал(а):

$5\geqslant 10$ не имеет никакого отношения к посылке импликации $x < 10 \to x > 100$.

Да, тут у меня что-то не так.

При $x=5$ высказывательная функция $x<10$ в самом деле превращается в высказывание $5<10$.

Высказывание $5\geqslant 10$ в самом деле является отрицанием высказывания $5<10$.

Но функция $x<10$ ни при каком $x$ не превращается в высказывание $5\geqslant 10$. В это высказывание при $x=5$ превращается функция $x\geqslant 10$.

2.

mihaild в сообщении #1635846 писал(а):

Нет понятия "импликации нет". Есть понятия "импликация истинна", "импликация ложна", "импликация общезначима" (в немного разных контекстах).
(Оффтоп)
Понятие "импликация есть" на самом деле есть в модальной логике, но оно там имеет строгий смысл, и Вам это не надо.

Mikhail_K в сообщении #1636267 писал(а):

Вообще непонятно, что значит "наличие конъюнкции" (и вообще "наличие утверждения", "найдётся такое-то утверждение", если под этим не понимается просто его истинность).

Спасибо, кажется, осознал. Теперь вместо "исключается конституента/конъюнкция", -- буду говорить: "конституента пуста, конъюнкция ложна".

Если из множества $\mathbb N$ исключены все числа, которые делятся на $2$ и при этом не делятся на $3$, то это не значит, что исключена конституента, которую они составляют, конституента остается, но становится пустой (от нее так же невозможно избавиться, как от пустого множества вообще).

Так же и конъюнкция, о которой я говорил, что она исключается (из числа четырех конъюнкций), не исключается, а становится ложной (при наличии соответствующих обстоятельств действительности).

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1636527 писал(а):

Да, тут у меня что-то не так.

Да, тут у Вас что-то не так, Вы уже на двух дюжинах страниц зачем-то строите бессмысленные комбинации из непонятных $p$ и $q$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov, присоединюсь к предыдущему оратору: мне кажется маловероятным, что продолжение этого обсуждения сильно поможет Вашему пониманию. Я бы предлолжил Вам пойти дальше, посмотреть, как таблица истинности импликации используется на практике, и после разбора чего-то содержательного вернуться, при необходимости.

[Mikhail_K]

Добавлю, пожалуй ещё такую идею.
Импликация $A\to B$ - это то, что мы доказываем, когда производим логический вывод $B$ из предположения $A$.

Потому что этим мы как раз доказываем, что не может быть так, что $A$ верно, а $B$ при этом неверно (ведь мы вывели $B$ из $A$). А три других варианта вполне возможны. Если $A$ неверно, то наш вывод просто бесполезен, и $B$ может быть как верным, так и неверным.

Таким образом, если мы вывели $B$ из $A$, то мы доказали утверждение "НЕ $(A$ И НЕ $B)$". Но это и есть импликация $A\to B$, ровно как она понимается в математической логике.

[Евгений Машеров]

0. Повторюсь: Логика (включая и импликацию, как один из её инструментов) это не мясорубка, перемалывающая факты в истинный фарш, а тестер для проверки целостности рассуждений. А импликация это функция не с одним входом и одним выходом, на входе содержательные рассуждения, на выходе тоже, а функция с двумя входами, принимающими значения лишь И и Л (и И или Л на выходе)
1. Вот книжка, авось интересно
https://www.twirpx.cc/file/4160643/?not ... unapproved

[warlock66613]

Евгений Машеров, это вы скорее про булеву алгебру говорите, а не про логику. В логике нет никаких И и Л, только аксиомы и правила вывода.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1635249 писал(а):

В математике есть набор результатов, которые доказаны в предположении верности гипотезы Римана. Например, здесь есть небольшой список:
https://mathoverflow.net/questions/1720 ... hypothesis
Обозначим обобщенную гипотезу Римана $GRH$, такое утверждение (фактически тоже гипотезу) $A$. Например, $A=$"тест на простоту Миллера-Рабина никогда не ошибается".
Теорема из этого списка - импликация $GRH\to A$. В настоящий момент мы не знаем, истинна ли $GRH$, точно так же не знаем, истинна ли $A$. Какие тут возможны варианты?

1. $GRH$ верна и $A$ тоже верна. Ожидаемый с нетерпением вариант.
2. $GRH$ неверна и $A$ тоже неверна. Обидно, но не исключено.
3. $GRH$ неверна, а $A$ тем не менее верна. Вполне возможно. Более того, для некоторых таких $A$ уже есть альтернативные доказательства, не требующие $GRH$, и они перестали быть гипотезами и стали теоремами.
4. $GRH$ верна, а $A$ неверно. Это невозможно, потому что импликация $GRH\to A$ доказана. Даже опубликована в журнале и проверена рецензентами.

Что же мы видим из этого списка? Конечно же, таблицу истинности импликации!

Во всяком случае, по-моему, понятно, как можно опровергнуть гипотезу Римана -- по принципу $(P\to Q)\to(\neg Q\to \neg P)$, где $P$ это гипотеза $GRH$, а $Q$ это гипотеза $A$.

То есть, поскольку доказана импликация $GRH\to A$, для опровержения гипотезы Римана достаточно опровергнуть гипотезу "тест на простоту Миллера-Рабина никогда не ошибается".

Также, если найдется какая-то другая гипотеза $B$, следующая из гипотезы Римана, и если удастся эту гипотезу $B$ опровергнуть, то тем самым будет опровергнута гипотеза Римана.

И, вообще, если доказано, что из гипотезы $P$ следует гипотеза $Q$, и при этом доказано, что гипотеза $Q$ неверна, то тем самым доказано, что неверна и гипотеза $P$.

План действий:

взять все гипотезы, следующие из гипотезы Римана, и попытаться опровергнуть хотя бы одну из них, если это удастся, то тем самым будет опровергнута гипотеза Римана.

Правильно?

[mihaild]

Правильно, только я бы не назвал это "планом".
Эквивалентно: взять все гипотезы, из которых следует отрицание гипотезы Римана, и попробовать какую-нибудь из них доказать.