Импликация и другие логические связки

[Vladimir Pliassov]

С импликацией $(500<10)\to (500>100)$ и я намучился, и со мной намучились. Но импликация ли это?

Возьмем две пропозициональные функции: $\mathcal P= и $\mathcal Q=, $x\in \mathbb N$. При подстановках конкретных значений вместо $x$ они будут превращаться либо в истинные высказывания $p$ и $q$ соответственно, либо в ложные высказывания $\neg p$ и $\neg q$ соответственно.

При $x=500$ имеем высказывания $500<10$ и $500>100$, первое ложное, второе истинное.

Составим четыре конъюнкции:

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2) $\neg p\wedge q$,

3) $p\wedge \neg q$,

4) $p\wedge q$.

Высказывания $500<10$ и $500>100$ соответствуют второй конъюнкции. Попробуем также найти значения $x$, которые соответствуют остальным конъюнкциям:

1) $\neg p\wedge \neg q$ -- при $x=50$,

2) $\neg p\wedge q$ -- при $x=500$,

3) $p\wedge \neg q$ -- при $x=5$,

4) $p\wedge q$ -- такого числа нет.

Значит, исключим четвертую конъюнкцию:

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2) $\neg p\wedge q$,

3) $p\wedge \neg q$,

4) $\boxed {p\wedge q}$, --

получим штрих Шеффера $\mathcal P\uparrow \mathcal Q$.

(Как я понимаю, называть выражение $(500<10)\to (500>100)$ импликацией и употреблять стрелку с числами некорректно, но не знаю, как выразиться корректно.)

[tolstopuz]

В математике есть набор результатов, которые доказаны в предположении верности гипотезы Римана. Например, здесь есть небольшой список:
https://mathoverflow.net/questions/1720 ... hypothesis
Обозначим обобщенную гипотезу Римана $GRH$, такое утверждение (фактически тоже гипотезу) $A$. Например, $A=$"тест на простоту Миллера-Рабина никогда не ошибается".
Теорема из этого списка - импликация $GRH\to A$. В настоящий момент мы не знаем, истинна ли $GRH$, точно так же не знаем, истинна ли $A$. Какие тут возможны варианты?

1. $GRH$ верна и $A$ тоже верна. Ожидаемый с нетерпением вариант.
2. $GRH$ неверна и $A$ тоже неверна. Обидно, но не исключено.
3. $GRH$ неверна, а $A$ тем не менее верна. Вполне возможно. Более того, для некоторых таких $A$ уже есть альтернативные доказательства, не требующие $GRH$, и они перестали быть гипотезами и стали теоремами.
4. $GRH$ верна, а $A$ неверно. Это невозможно, потому что импликация $GRH\to A$ доказана. Даже опубликована в журнале и проверена рецензентами.

Что же мы видим из этого списка? Конечно же, таблицу истинности импликации!

Чем же вариант $3$ принципиально отличается от импликации $(500<10)\to(500>100)$? Да только тем, что Vladimir Pliassov при взгляде на последнюю сразу видит ложность посылки, а при взгляде на $GRH\to A$ - нет. Точно так же его двойник с Альфы Центавра, где уже опровергли (а вдруг?) $GRH$, может смотреть на нас в телескоп и смеяться над тем, что мы печатаем в журналах доказательства импликаций с ложной посылкой.

Vladimir Pliassov хочет поставить математику в зависимость от своих личных интеллектуальных способностей - если он способен понять, что посылка импликации ложна, то ее надо прилюдно сжечь, а если не способен, то пусть пока поживет.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635248 писал(а):

Но импликация ли это?

Да. Внешняя связка (между скобками) стрелочка, значит импликация.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635248 писал(а):

получим штрих Шеффера $\mathcal P\uparrow \mathcal Q$

Это Вы получили, что вот такая формула общезначима (а еще что все варианты реализуются, но для этого вроде бы специального названия нет).

Ваши $\mathcal P$ и $\mathcal Q$ отношения к $(500 < 10) \rightarrow (500 > 100)$ особого не имеют. Почему Вы вообще заменяете на переменную число $100$? Можно например написать $(x < 10) \rightarrow (y > z)$, и получить какую-то высказывательную форму с тремя переменными.

Важно только то, что

Vladimir Pliassov в сообщении #1635248 писал(а):

Высказывания $500<10$ и $500>100$ соответствуют второй конъюнкции

А это и значит, что импликация истинна.
Еще, конечно, штрих Шеффера истинен, $(500 < 10) | (500 > 100)$ истинен, а еще исключающее и не-исключающее или.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1635251 писал(а):

Ваши $\mathcal P$ и $\mathcal Q$ отношения к $(500 < 10) \rightarrow (500 > 100)$ особого не имеют.

Почему не имеют? Ведь $\mathcal P$ и $\mathcal Q$ операнды (?) импликации $(x< 10) \rightarrow (x > 100)$ (если это импликация)?

mihaild в сообщении #1635251 писал(а):

Почему Вы вообще заменяете на переменную число $100$?

Наверное, Вы имеете в виду число $500$? Но я не заменяю его на переменную, я в функциях $\mathcal P= и $\mathcal Q= заменяю $x$ на $500$.

mihaild в сообщении #1635251 писал(а):

Еще, конечно, штрих Шеффера истинен, $(500 < 10) | (500 > 100)$ истинен, а еще исключающее и не-исключающее или.

Может быть, не исключающее или, а обратная импликация? Она получается, если исключить вторую конъюнкцию.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635258 писал(а):

Ведь $\mathcal P$ и $\mathcal Q$ операнды (?) импликации $(x< 10) \rightarrow (x > 100)$ (если это импликация)?

Да. А речь была об импликации $(500 < 10) \rightarrow (500 > 100)$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635258 писал(а):

Наверное, Вы имеете в виду число $500$?

Да.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635258 писал(а):

Но я не заменяю его на переменную, я в функциях $\mathcal P=\text{<<x < 10>>}$ и $\mathcal Q= \text{<<x> 100>>}$ заменяю $x$ на $500$.

А как это связано с тем, является ли $(500 < 10) \rightarrow (500 > 100)$ импликацией?

(Оффтоп)

Движок почему-то отказывается правильно обрабатывать кнопку "вставка" на ТеХе с символом ".

Vladimir Pliassov в сообщении #1635258 писал(а):

Может быть, не исключающее или, а обратная импликация?

Как раз обратная импликация, $(500 < 10) \leftarrow (500 > 100)$, неверна.

[epros]

Vladimir Pliassov, продолжаете молоть всё ту же воду в ступе?

Vladimir Pliassov в сообщении #1635248 писал(а):

Составим четыре конъюнкции:

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2) $\neg p\wedge q$,

3) $p\wedge \neg q$,

4) $p\wedge q$.

Что это за бред? Причём тут какие-то $p$ и $q$? Если хотите записать, что $500<10$ ложно, то подставьте вместо него $\bot$, а если хотите записать, что $500>100$ истинно, то подставьте вместо него $\top$. Это универсальные обозначения для ложного и истинного высказываний.

Так что при разных значениях $x$ импликация $x<10 \to x>100$ может быть эквивалентной $\top \to \bot$, $\bot \to \bot$ или $\bot \to \top$. Поскольку не при всех значениях $x$ она истинна, значит она ложна.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635248 писал(а):

(Как я понимаю, называть выражение $(500<10)\to (500>100)$ импликацией и употреблять стрелку с числами некорректно, но не знаю, как выразиться корректно.)

Некорректно говорить, что импликация - это не импликация.

[Vladimir Pliassov]

1.

До последних нескольких дней я никак не мог понять импликацию $(500< 10)\to (500>100)$, -- я думал, что мы в ней исходим из того, что $(500< 10)$, и не мог этого постигнуть, но теперь понял, что

мы исходим не из того, что $(500< 10)$, а из того, что $(500< 10)$ это ложное высказывание.

Поскольку $(500< 10)$ это ложное высказывание, из него следует либо истинное, либо ложное высказывание -- в данном случае истинное. Как это происходит?

Раз $(500< 10)$ это ложное высказывание, то в действительности $(500\nless 10)$. А из $(500\nless 10)$ следует, что либо $(500>100)$, либо $(500\ngtr 100)$. Так как $(500\ngtr 100)$ не верно, имеем $(500>100)$.

(Казалось бы, то, что либо $(500>100)$, либо $(500\ngtr 100)$ справедливо независимо от того, что $(500\nless 10)$, и зачем же говорить, что первое следует из второго? Но, если бы было $500<10$, то из этого следовало бы $500<100$.

Так же и в контексте изложенного в п. 1 сообщения #1635132 (с исправлением, помещенным в п. 2 сообщения #1635182) можно усомниться в предложении "из того, что число не делится на $2$, следует, что оно либо делится на $3$, либо не делится на $3$", потому что, если натуральные числа берутся сами по себе, то любое число либо делится на $3$, либо нет, независимо от того, делится ли оно на $2$. Но в нашем случае числа берутся не сами по себе, а с условием, что они разделены на четыре конституенты $N_1, N_2, N_3, N_4$, причем третья конституента исключена, так что

из того, что число делится на $2$, следует, что оно делится на $3$ -- истинная импликация "из истины следует истина",

а из того, что число не делится на $2$, следует, что оно либо делится, либо не делится на $3$ -- две истинные импликации: "из лжи следует истина" и "из лжи следует ложь".)

2.

mihaild в сообщении #1635261 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635258 писал(а):

Но я не заменяю его на переменную, я в функциях $\mathcal P= и $\mathcal Q= заменяю $x$ на $500$.

А как это связано с тем, является ли $(500 < 10) \rightarrow (500 > 100)$ импликацией?

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1635261 писал(а):

Движок почему-то отказывается правильно обрабатывать кнопку "вставка" на ТеХе с символом ".

Здесь надо действовать не через "вставку", а через "цитату". Через "вставку" получается не всегда, а через "цитату" всегда.

Теперь понимаю, что Вы имели в виду здесь:

mihaild в сообщении #1635251 писал(а):

Ваши $\mathcal P$ и $\mathcal Q$ отношения к $(500 < 10) \rightarrow (500 > 100)$ особого не имеют. Почему Вы вообще заменяете на переменную число $100$? Можно например написать $(x < 10) \rightarrow (y > z)$, и получить какую-то высказывательную форму с тремя переменными.

Действительно, $(500 < 10) \rightarrow (500 > 100)$ можно получить многими способами, а не только из двух функций с одной переменной.

3.

epros в сообщении #1635270 писал(а):

Что это за бред? Причём тут какие-то $p$ и $q$? Если хотите записать, что $500<10$ ложно, то подставьте вместо него $\bot$, а если хотите записать, что $500>100$ истинно, то подставьте вместо него $\top$. Это универсальные обозначения для ложного и истинного высказываний.

$p$ и $q$ это высказывания, в которые превращаются функции $\mathcal P$ и $\mathcal Q$ при замене переменной на конкретное значение. И если мы, например, скажем: $p$ или $\neg p$, -- то ясно, что речь идет о высказывании, полученном из $\mathcal P$, а если скажем: $\top$ или $\bot$, -- то не ясно, из какой функции они получены -- из $\mathcal P$ или из $\mathcal Q$.

Но $\top$ и $\bot$ я теперь тоже возьму на вооружение, спасибо!

epros в сообщении #1635270 писал(а):

Так что при разных значениях $x$ импликация $x<10 \to x>100$ может быть эквивалентной $\top \to \bot$, $\bot \to \bot$ или $\bot \to \top$.

Спасибо, понятно.

epros в сообщении #1635270 писал(а):

Поскольку не при всех значениях $x$ она истинна, значит она ложна.

А над этим мне надо еще подумать.

4.

Mikhail_K в сообщении #1635241 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635182 писал(а):

Для меня действительность это принятый мной набор аксиом.

Наверное, следствия из этих аксиом Вы тоже относите к "действительности"?
Если да, то в общем, можете так считать, ничего не мешает этому.
Если не углубляться в более тонкие вещи: бывают утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть исходя из заданного набора аксиом. Интуитивно кажется, что такие утверждения или же их отрицания должны "соответствовать действительности", но на это могут быть разные взгляды.
В общем-то, всё про "действительность" - это уже не логика, а философия.

Все-таки здесь есть о чем поговорить, но надо еще подумать.

[пианист]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635287 писал(а):

я никак не мог понять импликацию $(500< 10)\to (500>100)$

Да для чего ее "понимать"? это просто стрелка между двумя высказываниями.
Важно, чтобы высказывания соответствовали правилам, вот и все понимание.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635287 писал(а):

я думал, что мы в ней исходим из того, что $(500< 10)$

В $\sin(\frac{\pi}{2})$ мы из чего исходим - из $\pi$, $2$ или $\frac{\star}{\star}$?

[Vladimir Pliassov]

пианист в сообщении #1635291 писал(а):

В $\sin(\frac{\pi}{2})$ мы из чего исходим - из $\pi$, $2$ или $\frac{\star}{\star}$?

Из всего вместе, то есть из $\frac{\pi}{2}$ как из аргумента функции и из $\sin x$ как из общего определения функции.

[пианист]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635292 писал(а):

Из всего вместе

Цитата:

Ну вот и у бабочек то же самое!

[Alpha AXP]

mihaild в сообщении #1635261 писал(а):

Как раз обратная импликация, $(500 < 10) \leftarrow (500 > 100)$, неверна.

epros в сообщении #1635270 писал(а):

Так что при разных значениях $x$ импликация $x<10 \to x>100$ может быть эквивалентной $\top \to \bot$, $\bot \to \bot$ или $\bot \to \top$. Поскольку не при всех значениях $x$ она истинна, значит она ложна.

Следует ли из вышесказанного понимать, что если импликация при каком-то значении неверна, то она ложна? Или для второй цитаты будет уместнее сказать необщезначима вместо ложна? Или есть какой-то термин для этого? Или неверна и ложна -синонимы?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Предлагаю Вам лучше подумать вот над этим сообщением:

tolstopuz в сообщении #1635249 писал(а):

В математике есть набор результатов...

***

Vladimir Pliassov в сообщении #1635287 писал(а):

а если скажем: $\top$ или $\bot$, -- то не ясно, из какой функции они получены -- из $\mathcal P$ или из $\mathcal Q$.

И в этом нет ничего плохого. Так и должно быть.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635287 писал(а):

$p$ и $q$ это высказывания, в которые превращаются функции $\mathcal P$ и $\mathcal Q$ при замене переменной на конкретное значение.

Какое "конкретное значение"? Если хотите записать $x<10$ для конкретного значения $x=0$, то пишете $\top$, а если хотите записать его для конкретного значения $x=50$, то пишете $\bot$. А что такое $p$? Никому не ведомо.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635287 писал(а):

если скажем: $\top$ или $\bot$, -- то не ясно, из какой функции они получены -- из $\mathcal P$ или из $\mathcal Q$.

И что? $50<10$ равносильно $50>100$, ибо оба они ложны. Зачем Вам знать о них что-то ещё?

epros в сообщении #1635270 писал(а):

Поскольку не при всех значениях $x$ она истинна, значит она ложна.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635287 писал(а):

А над этим мне надо еще подумать.

Ну, думайте. Это правило обобщения, которое есть в исчислении предикатов и о котором я уже говорил.

[Vladimir Pliassov]

Alpha AXP в сообщении #1635294 писал(а):

mihaild в сообщении #1635261 писал(а):

Как раз обратная импликация, $(500 < 10) \leftarrow (500 > 100)$, неверна.

epros в сообщении #1635270 писал(а):

Так что при разных значениях $x$ импликация $x<10 \to x>100$ может быть эквивалентной $\top \to \bot$, $\bot \to \bot$ или $\bot \to \top$. Поскольку не при всех значениях $x$ она истинна, значит она ложна.

Следует ли из вышесказанного понимать, что если импликация при каком-то значении неверна, то она ложна? ... Или есть какой-то термин для этого? Или неверна и ложна -синонимы?

Я думаю, что в первой цитате слово "неверна" следует понимать как "ложна". И ложна она, потому что у нее истинная посылка и ложное заключение -- по определению ложности импликации. Да, я думаю, "неверна" и "ложна" -- синонимы.

Alpha AXP в сообщении #1635294 писал(а):

Или для второй цитаты будет уместнее сказать необщезначима вместо ложна?

Для меня это интересный вопрос: а, вообще, импликация бывает тавтологией?

tolstopuz в сообщении #1635249 писал(а):

1. $GRH$ верна и $A$ тоже верна. Ожидаемый с нетерпением вариант.
2. $GRH$ неверна и $A$ тоже неверна. Обидно, но не исключено.
3. $GRH$ неверна, а $A$ тем не менее верна. Вполне возможно. Более того, для некоторых таких $A$ уже есть альтернативные доказательства, не требующие $GRH$, и они перестали быть гипотезами и стали теоремами.
4. $GRH$ верна, а $A$ неверно. Это невозможно, потому что импликация $GRH\to A$ доказана. Даже опубликована в журнале и проверена рецензентами.

Что же мы видим из этого списка? Конечно же, таблицу истинности импликации!

Да, и как раз как я люблю: четыре конъюнкции, одна из которых исключается, причем именно та, которая состоит из истинного (под номером 1) и ложного (под номером 2) высказываний (не для всех логических функций это так). То есть это прямая импликация.

tolstopuz в сообщении #1635249 писал(а):

Vladimir Pliassov хочет поставить математику в зависимость от своих личных интеллектуальных способностей - если он способен понять, что посылка импликации ложна, то ее надо прилюдно сжечь, а если не способен, то пусть пока поживет.

Я полагаю (как я уже говорил), что для логики не имеет значения, на каком основании исключаются конъюнкции, она начинается тогда, когда они уже исключены.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635321 писал(а):

вообще, импликация бывает тавтологией?

$P \to P$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635321 писал(а):

Да, и как раз как я люблю: четыре конъюнкции, одна из которых исключается, причем именно та, которая состоит из истинной посылки и ложного заключения

Странным образом, если из $GRH$ выводится $A$, то из $GRH \land \neg A$ сразу же выводится $\bot$. И наоборот: Если из $GRH \land \neg A$ выводится $\bot$, то это странным образом означает, что из $GRH$ выводится $A$.