Импликация и другие логические связки

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

"Ошибочность", "смысл", "существование факта" -- все это остается за пределами логики.

Вы придаёте этому смысл всеобщности, а значит пытаетесь втянуть это всё в логику, так как именно она является той областью знаний, которую используют все теории.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

Что же касается "ошибочности", то она остается также и за пределами арифметики: если кто-то по ошибке написал: "$500<10$", то эта запись в арифметике не принимается. Так ведь?

В арифметике это опровергается. Но это не значит, что этого нет в языке арифметики.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

И этим оправдывается наличие в логике ложных высказываний. Правильно?

Наличие в логике ложных высказываний оправдывается наличием в логике понятия "абсурда" (или "противоречия") и возможностью приведения предположения к оному абсурду. Например, в арифметике за универсальный абсурд может приниматься $0=1$. Обычно он обозначается $\bot$. Если из предположения $A$ следует абсурд, т.е. $A \to \bot$, то это означает, что это предположение ложно, и это записывается как его отрицание: $\neg A$.

Вы можете использовать это знание в разборе того доказательства ex falso quodlibet, которое я приводил выше.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

И мне кажется, что поскольку не я один из этого исхожу, есть смысл обсудить отношение между логикой и действительностью, в частности, обсудить, что имеется в виду под этим соответствием/несоответствием, тем более, что об этом в учебниках, кажется, почти ничего не говорят.

Ничего не имеется в виду. Просто когда Вы декларируете "факт действительности", Вы принимаете соответствующее утверждение за аксиому. Вот и всё.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

При этом, например, одно и то же выражение $500>100$ является выражением и арифметического факта $500>100$, и логического высказывания $500>100$, что способствует введению в заблуждение, в которое и я был введен (когда подумал, что высказывания для логики берутся прямо из арифметики).

Это всё ерунда какая-то. $500>100$ - это и доказуемое предложение арифметики, и "логическое высказывание".

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

Как я полагаю, действительность отличается от логики, в частности, тем, что конъюнкция в логике может быть ложной, то есть состоящей из высказываний, не все из которых являются истинными.

Действительность отличается от логики примерно тем же, чем бузина в огороде отличается от дядьки в Киеве. Однако могут быть высказывания, выражающие факты действительности.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

Что значит, что высказывание не соответствует действительности? Это когда об истинном факте высказывается, что он ложный, или наоборот? Нет, ложное высказывание это то, которое утверждает, что факт существует, в то время как он не существует, или наоборот.

Это всё какая-то бессмысленная игра словами. Утверждение о существовании - это утверждение языка логики первого порядка, содержащее квантор существования. Оно может быть соответствующим или не соответствующим "действительности". Если мы считаем, что соответствует, то примем его за аксиому. Если считаем, что не соответствует, то примем за аксиому его отрицание.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

Например, в такой действительности, как арифметика Пеано, не существует факт "$500<10$" (правильно?), и поэтому логическое высказывание "$500<10$", которое утверждает существование этого факта, является ложным.

Я не знаю, причём тут "действительность", но арифметика Пеано имеет аксиомы, которые мы по определению считаем истинными, если принимаем арифметику Пеано. И в этой аксиоматике высказывание $500<10$ приводится к абсурду, т.е. доказывается его ложность.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

Мне, конечно, надо еще получше разобраться в этом, но, как я уже говорил в предыдущем посте, мне кажется, что в применении к арифметике возможна только импликация с истинной посылкой и истинным заключением

Если бы были импликации только с истинной посылкой, то в посылке не было бы необходимости: Можно было бы употреблять заключение без импликации. Весь смысл импликации в том, что посылка может оказаться ложной, и это не отменит истинность импликации.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

epros в сообщении #1634908 писал(а):

Принятием за аксиому, например.

Но это особый случай -- когда за истинные высказывания можно принять любые, лишь бы они не противоречили друг другу.

Нет, это не особый случай. Это общий случай. Мы принимаем за аксиому утверждение о "факте действительности", когда говорим о том, что считаем действительностью. Мы принимаем за истинные высказывания аксиомы теории, когда строим модель этой теории. И мы "условно" принимаем аксиомы теории, когда хотим получить теоретические выводы, подлежащие экспериментальной проверке.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

А когда аксиомы уже приняты, и надо оценить простое высказывание, то как это сделать?

По правилам вывода, которые предоставляет нам логика. В логике высказываний только одно правило вывода - modus ponens.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

Прошу принять во внимание то, что я написал выше: "математические высказывания берутся не из математики, а из списка высказываний о ее фактах."

Бессмыслица какая-то. Какой "список высказываний", о каких "фактах"? Где это всё взять?

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

epros в сообщении #1634908 писал(а):

А причём здесь утверждение "если число меньше $10$, то оно больше $100$"? Это ложное общее утверждение, а значит не надо выводить из него истинное частное утверждение $(500<10) \to (500>100)$, нет такого правила.

Почему нет такого правила? Вы же говорили, что нельзя вместо конкретного значения подставлять свободную переменную, а вместо свободной переменной можно подставлять конкретное значение, то есть можно вместо $x$ подставить $500$ в $(x<10) \to (x>100)$, разве нет?

А ещё я говорил, что правила вывода - это правила получения из одних истинных (доказанных) высказываний других истинных высказываний. Они не применяются к ложным высказываниям.

У Вас избирательная восприимчивость текста.

[Евгений Машеров]

Импликация это не мясорубка, в которую можно запихнуть тухлятину ложное высказывание и получить свежий фарш истинное высказывание. А тестер, на вход которого подаются не содержательные утверждения, а их значения истинности (причём это функция с двумя аргументами, и то, что после стрелочки - тоже аргумент этой функции), и который выдаёт значение истинности для рассуждения.
Если фершалу велено выдавать бюлютень при температуре больше 38 по Цельсию, а он выдал человеку с нормальной температурой, но пулевым ранением, нарушения выданной ему инструкции нет. То есть $A\rightarrow B$, где A - "высокая температура" и B - "освобождение от работы" не следует, что действия его ошибочны. Для B может быть много оснований, даже если A не выполняется.

[Vladimir Pliassov]

Оставим пока рассуждения о действительности, в частности, о том, является ли арифметика ее частью, возьмем логику и арифметику.

В логике высказывание $(500 < 10) \to (500 > 100)$ является истинным, а в арифметике, как я полагаю, оно либо лишено смысла (потому что в арифметике нет смысла исходить из того, что $500 < 10$), либо опровергается (потому что, если число меньше, чем $10$, то по аксиомам Пеано из этого не следует, что оно больше, чем $100$). Разве это не означает, что это высказывание, истинное в логике, не соответствует арифметике (не соответствует никакому арифметическому факту)?

tolstopuz в сообщении #1634948 писал(а):

В $1769$ году Эйлер по ошибке написал "$\not\exists x,y,z,w\in\mathbb{N}: x^4+y^4+z^4=w^4$". В $1988$ году эта ошибка была обнаружена: $2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4$. Получается так, что запись Эйлера в арифметике $219$ лет принималась, а теперь не принимается? Или она сразу не принималась и Эйлеру просто не надо было писать ерунду, а мы должны прокрасться ночью в библиотеку и ее зачеркнуть?

Эта запись принималась по ошибке. Но, вообще-то, из уважения к Эйлеру, могли бы эту ошибку не обнаруживать. Совесть потеряли.

mihaild в сообщении #1634956 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1634944 писал(а):

Но в логике высказываний принимается выражение $500 < 100$ (как ложное высказывание)

Нет, в логике высказываний такое нельзя написать чисто синтаксически - в её алфавите нет цифр и значка $<$. Там есть только пропозициональные переменные, логические связки и скобки.

Но, поскольку

mihaild в сообщении #1634956 писал(а):

в исчислении высказываний ... под высказыванием понимается ... пропозициональная переменная.

то, наверное, и под пропозициональной переменной понимается высказывание, то есть пишут: $p=, -- так что должно быть возможно вместо $p$ написать $500 < 100$?

epros в сообщении #1632197 писал(а):

Давайте я Вам продемонстрирую пример того, как аксиома $A\to (B\to A)$ выводится из альтернативной (не гильбертовской) аксиоматики исчисления высказываний. Итак, пусть мы хотим определить импликацию двумя правилами:
1) $A, A \to B \vdash B$ - modus ponens гласит, что если в аксиоматике есть утверждения $A$ и $A \to B$, то мы имеем право вывести утверждение $B$.
2) $(\mathcal{T},A \vdash B) \vdash (\mathcal{T} \vdash A \to B)$ - дедукция гласит, что если при добавлении к некой аксиоматике $\mathcal{T}$ утверждения $A$ выводится утверждение $B$, то мы имеем право считать, что в аксиоматике $\mathcal{T}$ выводится импликация $A \to B$.

Доказательство такое:
1) $\bullet A$ - гипотеза.
2) $\bullet \bullet B$ - гипотеза.
3) $\bullet \bullet A$ - применение гипотезы 1 в контексте гипотезы 2.
4) $\bullet B \to A$ - дедукция от 2 до 3.
5) $A \to (B \to A)$ - дедукция от 1 до 4.

Круглые маркеры слева показывают уровни вложенности гипотез. Каждая новая гипотеза увеличивает уровень вложенности на единицу. Таким образом, утверждения с круглыми маркерами слева являются гипотетическими, т.е. вообще говоря не доказанными. Но каждая дедукция снижает уровень вложенности гипотез на единицу. Таким образом, последнее утверждение 5 уже является не гипотетическим, а доказанным в общем случае (тавтологией). Как видите, первое правило, определяющее импликацию (modus ponens), мы здесь даже не использовали. Данная тавтология доказывается с использованием одного лишь правила дедукции.

Здесь я никак не могу понять выражение $A\to (B\to A)$. Имеется в виду, что, если $A$ существует, то существование $A$ из чего-то следует, например, если я существую, значит, есть причина этого, например -- я родился?

(Говорю: "например", -- потому что, если я существую, то это не значит, что я родился: может быть, я был всегда.)

Можно ли импликацию $A\to (B\to A)$ изобразить диаграммой Венна? По-моему, нет, во всяком случае, одной простой диаграммой (где в прямоугольнике два пересекающихся круга).

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

то есть пишут: $p=``500 < 100''$

В исчислении высказываний - не пишут. Она принципиально не занимается "внутренней структурой" высказываний.
Пишут так в исчислении высказываний. Там есть, например, серия аксиом ("логические аксиомы") - если взять тавтологию исчисления высказываний, и вместо пропозициональных переменных подставить формулы, то получится аксиома исчисления предикатов.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

Имеется в виду, что, если $A$ существует, то существование $A$ из чего-то следует, например, если я существую, значит, есть причина этого, например -- я родился?

Если $A$ выполнено. Тут $A$ - пропозициональная переменная, к ним "существует" неприменимо.
Тут написано, что из истинности $A$ следует, что $A$ следует из чего угодно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

Можно ли импликацию $A\to (B\to A)$ изобразить диаграммой Венна?

А как Вы вообще хотите логические формулы диаграммами Венна изображать?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

Имеется в виду, что, если $A$ существует

Про утверждения нельзя говорить, "существуют" они или нет. Можно говорить, верны они или нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

Здесь я никак не могу понять выражение $A\to (B\to A)$

Смотрите.
Справедливость $B\to A$ означает, что при условии верности $B$ утверждение $A$ справедливо (если же $B$ неверно, про $A$ ничего не утверждается).
Справедливость $A$ означает, что утверждение $A$ справедливо безо всяких условий (в общем, это тавтология).
Если утверждение $A$ справедливо безо всяких условий, то, конечно, оно справедливо и при условии $B$.
Таким образом, $A\to(B\to A)$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

В логике высказывание $(500 < 10) \to (500 > 100)$ является истинным, а в арифметике, как я полагаю

Логика - это просто язык для всех других математических дисциплин. Не может быть так, что что-то в логике верно, а в арифметике нет. Арифметика сама основана на логике. Так что высказывание $(500 < 10) \to (500 > 100)$ просто верно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

в арифметике, как я полагаю, оно либо лишено смысла

Без углубления в логику действительно можно поначалу считать, что это утверждение лишено смысла. Но без такого углубления вы просто ограничиваете себе инструменты, которыми можете пользоваться. Не стоит так делать, лучше натренировать свою интуицию так, чтобы она воспринимала это утверждение как истинное (каким оно и является).

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

либо опровергается (потому что, если число меньше, чем $10$, то по аксиомам Пеано из этого не следует, что оно больше, чем $100$).

НЕТ, не опровергается.
Используя аксиомы, вы можете делать следствия из $500<10$ и доказывать импликации, но не опровергать их.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

В логике высказывание $(500 < 10) \to (500 > 100)$ является истинным, а в арифметике, как я полагаю, оно либо лишено смысла (потому что в арифметике нет смысла исходить из того, что $500 < 10$), либо опровергается (потому что, если число меньше, чем $10$, то по аксиомам Пеано из этого не следует, что оно больше, чем $100$). Разве это не означает, что это высказывание, истинное в логике, не соответствует арифметике (не соответствует никакому арифметическому факту)?

"В логике" ли, или "в арифметике" - речь об одном и том же высказывании. Потому что логика - это вообще про все высказывания, а арифметика - как раз про такие высказывания, которые про соотношения между числами. И если оно истинно "в логике", то точно в том же смысле истинно и "в арифметике".

Я не понимаю что значит "не соответствует ни одному арифметическому факту". По моим понятиям, если в арифметике опровергнута предпосылка импликации, это автоматически означает, что импликация доказана в арифметике.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

Здесь я никак не могу понять выражение $A\to (B\to A)$. Имеется в виду, что, если $A$ существует, то существование $A$ из чего-то следует, например, если я существую, значит, есть причина этого, например -- я родился?

Смотрите приведённое выше доказательство из пяти шагов. Оно в точности выражает то, что означает эта двойная импликация: Если $A$ истинно, то какое бы $B$ мы ни предположили, это не отменит истинность $A$. Если бы это было не так, то мы не могли бы применить шаг 3 доказательства: Декларировать истинность $A$ в контексте предположения $B$.

Тем не менее, это можно прочитать и так, что "истиное утверждение следует из чего угодно". Некоторые даже считают это "парадоксом материальной импликации".

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

Можно ли импликацию $A\to (B\to A)$ изобразить диаграммой Венна? По-моему, нет, во всяком случае, одной простой диаграммой (где в прямоугольнике два пересекающихся круга).

А смысл? Диаграмма Венна для тавтологии - это весь лист. Т.е. как бы мы ни нарисовали $A$ и $B$ относительно друг друга, областью истинности такой двойной импликации будет весь лист.

[Vladimir Pliassov]

1.

Кажется я нашел пример, который "весомо, грубо, зримо" демонстрирует закон ex falso quodlibet! И ведь это тот же самый пример, который я уже использовал несколько раз.

Пусть мы имеем множество $\mathbb N$ натуральных чисел (включая $0$). Каждый элемент этого множества либо делится на $2$, либо нет, а также либо делится на $3$, либо нет. При этом $\mathbb N$ разбивается на четыре непересекающихся подмножества:

1) $N_1$, элементами которого являются все числа, которые не делятся ни на $2$, ни на $3$,

2) $N_2$, элементами которого являются все числа, которые не делятся на $2$ и при этом делятся на $3$,

3) $N_3$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$, но не делятся на $3$,

4) $N_4$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$ и на $3$.

Возьмем два утверждения: $p= и $q=, $x\in \mathbb N$.

Теперь упорно о каждом числе будем утверждать, что оно делится на $2$, получится, что мы в одних случаях говорим правду, а в других лжем. А также о каждом числе будем утверждать, что оно делится на $3$, и снова получится, что мы в одних случаях говорим правду, а в других лжем. Таким образом,

для элементов $N_1$ оба утверждения $p$ и $q$ будут ложными, то есть имеем $\neg p, \neg q$;

для элементов $N_2$ $p$ будет ложным, а $q$ истинным, то есть имеем $\neg p, q$;

для элементов $N_3$ $p$ будет истинным, а $q$ ложным, то есть имеем $p,\neg q$;

для элементов $N_4$ оба утверждения будут истинными, то есть имеем $p, q$.

Составим четыре конъюнкции

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2) $\neg p\wedge q$,

3) $p\wedge \neg q$,

4) $p\wedge q$,

соответствующие четырем подмножествам $N_1, N_2, N_3, N_4$. Эти подмножества являются конституентами.

Исключим третью конъюнкцию (вместе с конституентой $N_3$) -- обведем ее траурной рамкой (зачеркнуть не получается):

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2) $\neg p\wedge q$,

3) $\boxed {p\wedge \neg q}$,

4) $p\wedge q$.

Теперь любое число из оставшихся (то есть из принадлежащих подмножеству $\mathbb N\setminus N_3$), если делится на $2$, то делится и на $3$, то есть имеем истинную импликацию $p\to q$ "из истины следует истина".

Ложной импликации $p\to \neg q$ ("из истины следует ложь") не имеем, поскольку исключена третья конъюнкция (вместе с конституентой $N_3$), так что у нас не остается чисел, которые делились бы на $2$ и при этом не делились на $3$.

Теперь смертельный номер!

Среди чисел, которые не делятся на $2$ (то есть среди чисел, о которых мы лгали, что они делятся на $2$), есть такие, которые не делятся на $3$ (то есть такие, о которых мы лгали, что они делятся на $3$), и такие, которые делятся на $3$ (то есть такие, о которых мы не лгали, когда говорили, что они делятся на $3$), таким образом, имеем вожделенный принцип ex falso quodlibet: "из лжи следует что угодно" (в смысле: "как ложь, так и правда").

Но тут надо уточнить. Ложь бывает разная,

из одной лжи (например, из лжи, что $5$ делится на $2$) следует, что число ($5$) не делится на $3$, то есть имеем истинную импликацию $\neg p\to \neg q$ -- "из лжи следует ложь", --

а из другой лжи (например, из лжи, что $9$ делится на $2$) следует, что число ($9$) делится на $3$, то есть имеем истинную импликацию $\neg p\to q$ -- "из лжи следует истина".

И еще: если мы знаем о числе только то, что оно не делится на $2$, мы не можем сказать, делится оно на $3$ или нет, но для каждого конкретного числа, которое не делится на $2$, это однозначно.

(Раньше я думал и писал об этом в этой теме, что для чисел, которые не делятся на $2$, следования неоднозначные, потому что из $\neg p$ следует как $\neg q$, так и $q$, но теперь вижу, что неоднозначность здесь только для пропозициональных переменных, но не для чисел, так как одно и то же число не может и делиться, и не делиться на $3$.)

2.

Если возьмем утверждения: $p= и $q=, то получим многострадальные импликации $(x\nless 10)\to (x\nless 100)$, $(x\nless 10)\to (x< 100)$, $(x< 10)\to (x\nless 100)$ и $(x< 10)\to (x< 100)$, посылки и следствия которых, в общем виде представляют собой высказывательные функции, но при конкретных значениях эти импликации в принципе не отличаются от рассмотренных выше в посте.

3.

Mikhail_K в сообщении #1635103 писал(а):

Справедливость $B\to A$ означает, что при условии верности $B$ утверждение $A$ справедливо (если же $B$ неверно, про $A$ ничего не утверждается).
Справедливость $A$ означает, что утверждение $A$ справедливо безо всяких условий (в общем, это тавтология).
Если утверждение $A$ справедливо безо всяких условий, то, конечно, оно справедливо и при условии $B$.
Таким образом, $A\to(B\to A)$.

Спасибо, понятно. А вот эти:

$A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))$

$(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$?

mihaild в сообщении #1635102 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635096 писал(а):

то есть пишут: $p=``500 < 100''$

В исчислении высказываний - не пишут. Она принципиально не занимается "внутренней структурой" высказываний.
Пишут так в исчислении высказываний.

Вы имели в виду "в исчислении предикатов"?

mihaild в сообщении #1635102 писал(а):

Там есть, например, серия аксиом ("логические аксиомы") - если взять тавтологию исчисления высказываний, и вместо пропозициональных переменных подставить формулы, то получится аксиома исчисления предикатов.

Значит, импликация $(500 < 10) \to (500 > 100)$ и прочие, о которых мы так много говорили, записаны в исчислении предикатов?

mihaild в сообщении #1635102 писал(а):

А как Вы вообще хотите логические формулы диаграммами Венна изображать?

Все 16 бинарных логических операций (например, $A\to B$, $A\vee B$, $A\wedge B$) изображаются диаграммами Венна, потому что есть соответствие между этими операциями и подмножествами объемлющего множества. Соответствующие диаграммы помещены в каждой статье Википедии о логических операциях (связках).

Но более сложные операции, вероятно, труднее изобразить этими диаграммами (если вообще возможно), хотя, как видим, может быть, как раз наоборот:

epros в сообщении #1635105 писал(а):

А смысл? Диаграмма Венна для тавтологии - это весь лист. Т.е. как бы мы ни нарисовали $A$ и $B$ относительно друг друга, областью истинности такой двойной импликации будет весь лист.

Ничего и рисовать не надо. (Тем не менее, надо осознать, что именно не надо рисовать.)

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

$A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))$

Если справедливо $A$, то, если при этом справедливо $B$, тогда справедливо $A\wedge B$.
Другими словами, тут просто написано: если верны $A$ и $B$, то верны $A$ и $B$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

$(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$

Если из $A$ вытекает $C$ и из $B$ тоже вытекает $C$, тогда из того, что справедливо $A$ или $B$, вытекает $C$. Тоже самоочевидная вещь.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

1.

Продолжаете ерундой заниматься. Комбинируя варианты "из двух значений истинности", Вы ничего нового про ex falso quodlibet не поймёте. Потому что в двузначную (классическую) логику ex falso quodlibet уже заложен. Если хотите понять, какие к нему могут быть альтернативы, я указал куда копать. Там в первую очередь придётся отказаться от двузначности логики (но и тогда останется "из лжи следует любое отрицание"), а потом придётся и на дедукцию накладывать ограничения.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

А вот эти:

$A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))$

$(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$?

Первая тавтология - часть определения конъюнкции через импликацию. Вторая тавтология - часть определения дизъюнкции через импликацию. Потому что возможны логики без конъюнкции и дизъюнкции. Но если мы хотим, чтобы они в логике были, то добавляем в аксиоматику эти определения.

Mikhail_K, я бы не советовал здесь апеллировать к "очевидности", потому что могут быть вещи, вполне "очевидные" тем, кто приучен к классической логике, но при этом недоказуемые. Например, "очевидная" (потому что верная в классической логике) тавтология $(A \to (B \lor C)) \to ((A \to B) \lor (A \to C))$ недоказуема без закона исключённого третьего или заменяющих его законов - снятия двойного отрицания или Пирса.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

Значит, импликация $(500 < 10) \to (500 > 100)$ и прочие, о которых мы так много говорили, записаны в исчислении предикатов?

С точки зрения исчисления высказываний выражения типа $500 < 10$ - это просто вставки непонятных строк вместо пропозициональных переменных.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

$A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))$

$(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$

epros в сообщении #1635145 писал(а):

Mikhail_K, я бы не советовал здесь апеллировать к "очевидности", потому что могут быть вещи, вполне "очевидные" тем, кто приучен к классической логике, но при этом недоказуемые. Например, "очевидная" (потому что верная в классической логике) тавтология $(A \to (B \lor C)) \to ((A \to B) \lor (A \to C))$ недоказуема без закона исключённого третьего или заменяющих его законов - снятия двойного отрицания или Пирса.

Я не спорю, что они могут быть недоказуемыми, и что они фактически служат частью определения конъюнкции и дизъюнкции (а с определениями не спорят). Впрочем, справедливость всех этих утверждений можно проверить по таблице истинности. Мне нравится подход, когда любая тавтология без кванторов, справедливость которой видна по таблице истинности, принимается за аксиому логики. Тогда аксиом будет с большим избытком, но снимается вопрос, почему они взяты именно такие (конечно, для исчисления предикатов всё равно придётся специально добавить несколько аксиом с кванторами).

[epros]

Mikhail_K в сообщении #1635146 писал(а):

Мне нравится подход, когда любая тавтология без кванторов, справедливость которой видна по таблице истинности, принимается за аксиому логики.

Если исходить из двузначности логики, то можно просто определить все известные логические связки таблицами истинности, вот и вся аксиоматика. Другое дело, что двузначность логики - сама по себе является взятой с потолка вещью, а поэтому весьма спорной.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

Вы имели в виду "в исчислении предикатов"?

Да, ачепятка.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

Значит, импликация $(500 < 10) \to (500 > 100)$ и прочие, о которых мы так много говорили, записаны в исчислении предикатов?

Смотря какие прочие, но эта - да. В алфавите исчисления высказываний просто нет символа $<$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

Все 16 бинарных логических операций (например, $A\to B$, $A\vee B$, $A\wedge B$) изображаются диаграммами Венна

Связки можно. Но формулы менее интересно, потому что формула это не просто таблица истинности - есть много разных форул с одинаковой таблицей истинности, соответственно одинаковыми диаграммами Венна.

[Vladimir Pliassov]

1.

epros в сообщении #1635145 писал(а):

Продолжаете ерундой заниматься. Комбинируя варианты "из двух значений истинности", Вы ничего нового про ex falso quodlibet не поймёте.

Мне все же кажется, что, комбинируя эти варианты, я понял про ex falso quodlibet что-то новое: я понял, что он работает (надеюсь, я не ошибаюсь). Я не говорю, что занимаясь этими комбинациями, я вывел этот закон или что я его обосновал, но я его обнаружил и, по-моему, я его продемонстрировал, -- разве это не так? (Правда, продемонстрировал с ошибками, но об этом после).

epros в сообщении #1635145 писал(а):

Потому что в двузначную (классическую) логику ex falso quodlibet уже заложен. Если хотите понять, какие к нему могут быть альтернативы, я указал куда копать. Там в первую очередь придётся отказаться от двузначности логики (но и тогда останется "из лжи следует любое отрицание"), а потом придётся и на дедукцию накладывать ограничения.

Я уже копаю и очень хочу докопаться, но мне кажется, что мне надо бы сначала освоить двузначную логику (хотя можно, конечно, идти и широким фронтом).

2.

Об ошибках. Сегодня я вижу, что в сообщении #1635132 не все правильно написал, вот это:

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

Возьмем два утверждения: $p= и $q=, $x\in \mathbb N$.

Теперь упорно о каждом числе будем утверждать, что оно делится на $2$, получится, что мы в одних случаях говорим правду, а в других лжем. А также о каждом числе будем утверждать, что оно делится на $3$, и снова получится, что мы в одних случаях говорим правду, а в других лжем. Таким образом,

для элементов $N_1$ оба утверждения $p$ и $q$ будут ложными, то есть имеем $\neg p, \neg q$;

для элементов $N_2$ $p$ будет ложным, а $q$ истинным, то есть имеем $\neg p, q$;

для элементов $N_3$ $p$ будет истинным, а $q$ ложным, то есть имеем $p,\neg q$;

для элементов $N_4$ оба утверждения будут истинными, то есть имеем $p, q$.

надо переделать, потому что

$p= и $q=, $x\in \mathbb N$ это не утверждения, а пропозициональные (высказывательные) функции.

Итак,

возьмем две пропозициональные функции: $\mathcal P= и $\mathcal Q=, $x\in \mathbb N$. При подстановках конкретных значений вместо $x$ они будут превращаться либо в истинные высказывания $p$ и $q$ соответственно, либо в ложные высказывания $\neg p$ и $\neg q$ соответственно.

Теперь упорно о каждом числе будем утверждать, что оно делится на $2$, получится, что мы в одних случаях говорим правду, а в других лжем. А также о каждом числе будем утверждать, что оно делится на $3$, и снова получится, что мы в одних случаях говорим правду, а в других лжем. Таким образом,

для каждого $x\in N_1$ обе функции $\mathcal P$ и $\mathcal Q$ превратятся в ложные высказывания, то есть в $\neg p$ и $\neg q$ соответственно;

для каждого $x\in N_2$ функция $\mathcal P$ превратится в ложное высказывание $\neg p$, а функция $\mathcal Q$ -- в истинное высказывание $q$;

для каждого $x\in N_3$ функция $\mathcal P$ превратится в истинное высказывание $p$, а функция $\mathcal Q$ -- в ложное высказывание $\neg q$;

для каждого $x\in N_4$ обе функции $\mathcal P$ и $\mathcal Q$ превратятся в истинные высказывания, то есть в $p$ и $q$ соответственно.

Также и этот абзац:

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

2.

Если возьмем утверждения: $p= и $q=, то получим многострадальные импликации $(x\nless 10)\to (x\nless 100)$, $(x\nless 10)\to (x< 100)$, $(x< 10)\to (x\nless 100)$ и $(x< 10)\to (x< 100)$, посылки и следствия которых, в общем виде представляют собой высказывательные функции, но при конкретных значениях эти импликации в принципе не отличаются от рассмотренных выше в посте.

надо переделать:

Если возьмем пропозициональные функции: $\mathcal P= и $\mathcal Q=, $x\in \mathbb N$, то получим многострадальные импликации $(x\nless 10)\to (x\nless 100)$, $(x\nless 10)\to (x< 100)$, $(x< 10)\to (x\nless 100)$ и $(x< 10)\to (x< 100)$.

В остальном там как будто все правильно.

3.

Mikhail_K в сообщении #1635135 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

$A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))$

Если справедливо $A$, то, если при этом справедливо $B$, тогда справедливо $A\wedge B$.
Другими словами, тут просто написано: если верны $A$ и $B$, то верны $A$ и $B$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

$(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$

Если из $A$ вытекает $C$ и из $B$ тоже вытекает $C$, тогда из того, что справедливо $A$ или $B$, вытекает $C$. Тоже самоочевидная вещь.

Спасибо! Теперь можно попытаться разобраться со всей аксиоматикой логики высказываний.

epros в сообщении #1635145 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1635132 писал(а):

А вот эти:

$A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))$

$(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$?

Первая тавтология - часть определения конъюнкции через импликацию. Вторая тавтология - часть определения дизъюнкции через импликацию. Потому что возможны логики без конъюнкции и дизъюнкции. Но если мы хотим, чтобы они в логике были, то добавляем в аксиоматику эти определения.

Спасибо! Надеюсь и до этого дойти.

epros в сообщении #1634987 писал(а):

Ничего не имеется в виду. Просто когда Вы декларируете "факт действительности", Вы принимаете соответствующее утверждение за аксиому. Вот и всё.

Вот, как я понимаю, значительная подвижка в решении вопроса!

Как вообще можно говорить о соответствии действительности, если мы не можем знать, какая она на самом деле? (Кантовская "вещь в себе", этот взгляд я разделяю.)

Прежде чем устанавливать, соответствует ли действительности утверждение о существовании факта, надо установить, существует ли этот факт, а это невозможно.

И ведь я сам говорил: "Я считаю действительностью то, что является действительностью по моим представлениям", -- то есть я исхожу из своих представлений, как из аксиом.

Для меня действительность это принятый мной набор аксиом.

С таким определением Вы согласны?

Я спрашиваю, потому что, по-моему, без действительности все-таки нельзя. Вы и сами вот опять сказали:

epros в сообщении #1634987 писал(а):

могут быть высказывания, выражающие факты действительности.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635182 писал(а):

Мне все же кажется, что, комбинируя эти варианты, я понял про ex falso quodlibet что-то новое: я понял, что он работает (надеюсь, я не ошибаюсь).

Не мучайтесь уже. Таблицу значений истинности для классической импликации мы все знаем и ничего нового Вы из этого не высосете.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635182 писал(а):

Я уже копаю и очень хочу докопаться, но мне кажется, что мне надо бы сначала освоить двузначную логику (хотя можно, конечно, идти и широким фронтом).

Что именно Вы ещё собираетесь освоить про импликацию в двузначной логике? Очевидно, что у неё будет таблица значений истинности из четырёх строк. И очевидно, что она не может быть никакой иной.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635182 писал(а):

Как вообще можно говорить о соответствии действительности, если мы не можем знать, какая она на самом деле? (Кантовская "вещь в себе", этот взгляд я разделяю.)

Давайте обойдёмся без философии. Логике без разницы, что Вы думаете о действительности. Она просто позволяет Вам выразить свои мысли о ней, каковы бы они ни были.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635182 писал(а):

Для меня действительность это принятый мной набор аксиом.

С таким определением Вы согласны?

Я не знаю, что "для Вас" действительность. Но аксиомы могут быть о чём угодно, не только про "действительность".

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1635182 писал(а):

Для меня действительность это принятый мной набор аксиом.

Наверное, следствия из этих аксиом Вы тоже относите к "действительности"?
Если да, то в общем, можете так считать, ничего не мешает этому.
Если не углубляться в более тонкие вещи: бывают утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть исходя из заданного набора аксиом. Интуитивно кажется, что такие утверждения или же их отрицания должны "соответствовать действительности", но на это могут быть разные взгляды.
В общем-то, всё про "действительность" - это уже не логика, а философия.