Импликация и другие логические связки

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1633719 писал(а):

Если Вы хотите говорить о противоречивости нескольких утверждений между собой, то это будет в точности означать, что опровергнута их конъюнкция.

Насколько я понимаю, конъюнкция опровергнута, если доказана ее ложность.

epros в сообщении #1633719 писал(а):

Я Вам говорю, что Ваша терминология не имеет внятного определения.

Да, пока не определено, что такое противоречие между посылкой и заключением. Сейчас попытаюсь определить.

Посылка и заключение импликации находятся в противоречии, когда их конъюнкция ложна.

Пусть дана импликация $(x<10)\to (x>100)$, надо доказать, что конъюнкция $(x<10)\wedge (x>100)$ ложна.

$\lhd$ Пусть высказывание $(x<10)$ истинно, тогда высказывание $(x\nless 10)$ ложно. Таким образом, конъюнкция $(x<10)\wedge (x\nless 10)$ ложна. Но тогда и конъюнкция $(x<10)\wedge (x>100)$ тоже ложна, так как $(x>100)\to (x\nless 10)$. $\rhd$

Таким образом, имеем противоречие между посылкой и заключением. Доказал?

epros в сообщении #1633719 писал(а):

Что такое "смысловая связь"?

Цитата:

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением. Википедия, "Импликация".

epros в сообщении #1633719 писал(а):

Вообще-то я предлагаю Вам не вымучивать свой мозг, изобретая новые понятия логики, а воспользоваться существующими.

Когда я стараюсь понять то, что написано в книгах, я пытаюсь построить у себя в голове модель, которая соответствует тому, что в них написано.

[пианист]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633736 писал(а):

Посылка и заключение импликации находятся в противоречии, когда их конъюнкция ложна.

Но это же просто значит, что посылка ложна. М.б., стоит так и говорить?

[Vladimir Pliassov]

пианист в сообщении #1633745 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633736 писал(а):

Посылка и заключение импликации находятся в противоречии, когда их конъюнкция ложна.

Но это же просто значит, что посылка ложна. М.б., стоит так и говорить?

Не обязательно посылка, при этом противоречии ложным может быть следствие: при соответствующих значениях переменной $x$ имеем:

$(5<10)\to (5>100)$ -- "из истины следует ложь" -- ложное высказывание;

$(50<10)\to (50>100)$ -- "из лжи следует ложь" -- истинное (неопределенное) высказывание;

$(500<10)\to (500>100)$ -- "из лжи следует истина" -- истинное (неопределенное) высказывание;

но ни при каком значении $x$ не имеем истинного высказывания типа "из истины следует истина".

[пианист]

Если есть сомнения, можно просто тупо посчитать:
$(A \to B) \wedge ¬(A \wedge B) = (¬A \lor B) \wedge (¬A \lor ¬B) = ¬A \lor (B \wedge ¬B) = ¬A \lor \bot = ¬A$

Vladimir Pliassov в сообщении #1633751 писал(а):

Не обязательно посылка

Обязательно

[tolstopuz]

Я взял первый попавшийся результат поиска по запросу "логика смысл истинность", и там все детально объяснено:

https://rstu.ru/metods/books/matlog2008.pdf

Цитата:

Логика высказываний рассматривает эти предложения не с точки зрения их смысла, содержания, а только с точки зрения их истинности или ложности.

Цитата:

Определение импликации вынуждает считать истинными такие предложения, как: "если $2\times 2=4$, то Москва столица России"; "если $2\times2=5$, то $3\times 3=6$". Это связано с тем, что определениями логических операций смысл составляющих высказываний не учитывается, они рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством - быть истинными, либо ложными.
Истинность высказывания "если $2\times2=5$, то $3\times 3=6$" кажется парадоксальной. Но объяснение этому, во-первых, следует искать в том, что сами высказывания $2\times2=5$ и $3\times 3=6$ мало связаны между собой, а во-вторых, в том, что использование сослагательного наклонения несколько точнее отражало бы смысл указанной импликации. В самом деле, утверждение "если бы $2\times2=5$, то $3\times 3=6$" не кажется противоречивым, то есть истинность нашей импликации означает, что "$3\times 3=6$ не менее истинно, чем $2\times 2=5$".

[Vladimir Pliassov]

пианист в сообщении #1633755 писал(а):

Обязательно

А как же вот:

$(5<10)\to (5>100)$ -- "из истины следует ложь"?

Но дело даже не в этом. Я вдруг увидел, что не верно, что посылка и заключение импликации находятся в противоречии, когда их конъюнкция ложна. Потому что может быть так, что посылка и заключение импликации не находятся в противоречии (хотя теперь опять не определено, что это значит), и при этом их конъюнкция ложна:

$(50<10)\to (50<100)$ -- "из лжи следует истина" -- истинное высказывание и при этом ложная конъюнкция $(50<10)\wedge (50<100)$, или

$(500<10)\to (500<100)$ -- "из лжи следует ложь" -- истинное высказывание и при этом ложная конъюнкция $(500<10)\wedge (500<100)$.

Нет, противоречие между посылкой и следствием импликации надо определить как-то иначе.

Но, по-моему, интуитивно ясно, что в импликации $(x<10)\to (x>100)$ это противоречие есть (из-за противоположных знаков $<,>$ и из-за того, что $100>10$).

tolstopuz в сообщении #1633764 писал(а):

Я взял первый попавшийся результат поиска по запросу "логика смысл истинность", и там все детально объяснено:

По-моему, в приведенной Вами цитате нет импликации, посылка и следствие которой были бы в противоречии. Не уверен, но, может быть, это противоречие возможно только при их смысловой связи?

[пианист]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633767 писал(а):

А как же вот:

$(5<10)\to (5>100)$

Уточните плз Ваш вопрос. Я там строчку равенств выписал, в количестве 4.
Какое из равенств, по-Вашему, опровергается процитированным текстом?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633767 писал(а):

По-моему, в приведенной Вами цитате нет импликации, посылка и следствие которой были бы в противоречии. Не уверен, но, может быть, это противоречие возможно только при их смысловой связи?

Вы опять не услышали того, что вам говорят, и повторяете понятные только вам слова.

Что такое "противоречие", вы объясняете через внутреннюю структуру высказываний ("из-за противоположных знаков" и так далее), то есть говорите о смысле высказываний. Ваши измышления не относятся к логике.

Цитата:

Логика высказываний рассматривает эти предложения не с точки зрения их смысла, содержания, а только с точки зрения их истинности или ложности.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1633770 писал(а):

Что такое "противоречие", вы объясняете через внутреннюю структуру высказываний ("из-за противоположных знаков" и так далее), то есть говорите о смысле высказываний. Ваши измышления не относятся к логике.

А Вы, кажется, правы! То, чем я сейчас занимаюсь, это, наверное, не логика, вернее, не только логика, а также и то, что около.

Можно ли в рамках логики высказываний (или в рамках какой-то другой логики) сказать, что утверждения $x<10$ и $x>100$ противоречат друг другу?

пианист в сообщении #1633769 писал(а):

Какое из равенств, по-Вашему, опровергается процитированным текстом?

Я, признаюсь, не вижу, как эти равенства:

$(A \to B) \wedge ¬(A \wedge B) = (¬A \lor B) \wedge (¬A \lor ¬B) = ¬A \lor (B \wedge ¬B) = ¬A \lor \bot = ¬A$

доказывают, что в случае ложной конъюнкции посылки и заключения посылка обязательно должна быть ложной (хотя я, наверное, не так понял?), но вот конъюнкция $(5<10)\wedge (5>100)$ истинной посылки и ложного заключения импликации $(5<10)\to (5>100)$.

[пианист]

Vladimir Pliassov
Вы не прояснили свой вопрос "А как же..", и я не могу на него ответить, т.к. не понимаю.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633789 писал(а):

не вижу, как эти равенства

Очень просто. Слева (в цепочке равенств) в символьной форме написано "из $A$ следует $B$, и неверно, что $A$ и $B$", справа "неверно, что $A$".

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633789 писал(а):

Можно ли в рамках логики высказываний (или в рамках какой-то другой логики) сказать, что утверждения $x<10$ и $x>100$ противоречат друг другу?

Если это означает, что ни при каком значении $x$ они оба одновременно не могут быть истинными, то это запишется с помощью конъюнкции, отрицания и квантора всеобщности. Когда вы изучите исчисление высказываний и перейдете к исчислению предикатов, у вас появится больше возможностей выражать свои мысли в корректной математической форме. (Хотя, судя по истории ваших сообщений, некорректных форм будет гораздо больше)

Vladimir Pliassov в сообщении #1630738 писал(а):

Есть высказывания, которые истинны при одних условиях и ложны при других условиях, и они (как аргументы) годятся для булевых функций, потому что оценка их истинности может принимать как значение $0$, так и значение $1$.

Если вы продолжите читать Куратовского-Мостовского, то этот материал будет в параграфе 1 главы 2 - "Высказывательные функции. Кванторы". Ваша попытка переизобрести их самостоятельно привела только к 17 страницам путаницы и графомании.

Но вначале рекомендую завершить изучение исчисления высказываний, где высказывания имеют фиксированные логические значения и не содержат переменных.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1633797 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633789 писал(а):

Можно ли в рамках логики высказываний (или в рамках какой-то другой логики) сказать, что утверждения $x<10$ и $x>100$ противоречат друг другу?

Если это означает, что ни при каком значении $x$ они оба одновременно не могут быть истинными, то это запишется с помощью конъюнкции, отрицания и квантора всеобщности.

Так: $\forall x,\; ¬(A \wedge B)$ при $A= и $B=?

То есть запись $¬(A \wedge B)$ означает, что конъюнкция $(A \wedge B)$ ложна?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633839 писал(а):

То есть запись $¬(A \wedge B)$ означает, что конъюнкция $(A \wedge B)$ ложна?

Вы пытаетесь угадать это по реакции собеседников?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633839 писал(а):

То есть запись $\neg(A \wedge B)$ означает, что конъюнкция $(A \wedge B)$ ложна?

Да. Более точно: $\neg A$ - это отрицание утверждения $A$, то есть утверждение, которое истинно тогда и только тогда, когда $A$ ложно.
Утверждая $\neg A$, мы утверждаем, что $A$ ложно.
Утверждая $\neg(A \wedge B)$, мы утверждаем, что $(A \wedge B)$ ложно.

-- 23.03.2024, 15:52 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1633839 писал(а):

Так: $\forall x,\; ¬(A \wedge B)$ при $A= и $B=?

Да, так.

Я бы вместо $A$ и $B$ писал лучше $A(x)$ и $B(x)$, чтобы показать, что эти утверждения (предикаты) зависят от $x$. Но это уже мелочь.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1633845 писал(а):

Да. Более точно: $\neg A$ - это отрицание утверждения $A$, то есть утверждение, которое истинно тогда и только тогда, когда $A$ ложно.
Утверждая $\neg A$, мы утверждаем, что $A$ ложно.
Утверждая $\neg(A \wedge B)$, мы утверждаем, что $(A \wedge B)$ ложно.

Спасибо за исчерпывающий ответ, он мне очень помог. Но значит ли $(A \to B)$ в выражении

$(A \to B) \wedge ¬(A \wedge B) = (¬A \lor B) \wedge (¬A \lor ¬B) = ¬A \lor (B \wedge ¬B) = ¬A \lor \bot = ¬A$,

что импликация $(A \to B)$ истинна (полагается истинной), поскольку при $(A \to B)$ не стоит $\neg$?

tolstopuz в сообщении #1633841 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633839 писал(а):

То есть запись $¬(A \wedge B)$ означает, что конъюнкция $(A \wedge B)$ ложна?

Вы пытаетесь угадать это по реакции собеседников?

И вот видите -- угадал (после предыдущего поста).

Дело в том, что я не очень хорошо понимал, что значит $\neg A$, думал, что, может быть, это значит: "Возьмем не $A$, а что-нибудь другое."