Импликация и другие логические связки

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633442 писал(а):

Но импликация $P=(x<10)\to (x>100)$ имеет бесконечно много конкретизаций

Об этом я уже говорил выше. Есть формула $(x<10)\to (x>100)$ и есть формула $\forall x,\,(x<10)\to (x>100)$.
Первая формула - истинна при одних $x$ и ложна при других $x$. Вторая формула - просто ложна (как раз потому, что первая не всегда истинна).

Когда пишут импликацию со свободной переменной $x$, то наиболее корректно говорить о её истинности или ложности не вообще, а при конкретных значениях $x$. Но если считать, что перед такой импликацией стоит $\forall x,$ (и он просто опущен для краткости, но подразумевается там) - тогда можно говорить об истинности или ложности вообще.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633442 писал(а):

ложная импликация это та, которая имеет истинную посылку и ложное заключение

Это справедливо для "чистых" импликаций, без квантора $\forall$ в начале.
Утверждение вида $\forall x,\,P(x)\to Q(x)$ истинно, когда импликация $P(x)\to Q(x)$ истинна при любых $x$.
Утверждение вида $\forall x,\,P(x)\to Q(x)$ ложно, когда импликация $P(x)\to Q(x)$ ложна хотя бы при одном значении $x$ - то есть если хотя бы при одном $x$ посылка верна, а заключение ложно.

[epros]

tolstopuz в сообщении #1633435 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633432 писал(а):

Но, может быть, все-таки бывает, что при выводе используется ложное утверждение? Или такого никогда не бывает?

При доказательстве от противного бывает. Если надо доказать утверждение $A$, то доказывают импликацию $\neg A\to 0$ и по таблице истинности импликации делают вывод, что $\neg A$ ложно, то есть $A$ истинно.

Кстати, при доказательстве импликации $\neg A \to \bot$ утверждение $\neg A$ принимается за гипотезу. Это не значит, что оно утверждается.

[Vladimir Pliassov]

1.

Mikhail_K в сообщении #1633451 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633442 писал(а):

Но импликация $P=(x<10)\to (x>100)$ имеет бесконечно много конкретизаций

Об этом я уже говорил выше. Есть формула $(x<10)\to (x>100)$ и есть формула $\forall x,\,(x<10)\to (x>100)$.
Первая формула - истинна при одних $x$ и ложна при других $x$. Вторая формула - просто ложна (как раз потому, что первая не всегда истинна).

Mikhail_K в сообщении #1633209 писал(а):

Утверждение $\forall x,\,(x<10)\to (x>100)$ - действительно ложное.
Потому что сама импликация $(x<10)\to (x>100)$ ложна при некоторых $x$ (хотя при некоторых $x$ она истинна).

Спасибо, понял.

Без квантора $\forall$ по $x$ и без конкретных значений $x$ импликация $(x<10)\to (x>100)$ не является ни истинной, ни ложной. При $\forall x$ она ложна, а при конкретных значениях $x$ она истинна или ложна, в зависимости от значений.

2.

А вот такая мысль.

Назовем импликацию непротиворечивой, если нет противоречия между ее посылкой и заключением, и противоречивой, если есть противоречие между ее посылкой и заключением.

Импликация $(x<10)\to (x<100)$ непротиворечива, так как нет противоречия в том, что число одновременно меньше, чем $10$, и меньше, чем $100$, и это независимо от значения $x$.

А импликация $(x<10)\to (x>100)$ противоречива, так как не может быть, чтобы число было одновременно меньше, чем $10$, и больше, чем $100$, и это независимо от значения $x$.

Таким образом (во всяком случае, что касается импликаций со свободной переменной),

в результате подстановки конкретных значений вместо свободной переменной из непротиворечивой импликации всегда получается непротиворечивая, а из противоречивой всегда получается противоречивая,

и

непротиворечивая импликация всегда истинна, а противоречивая может быть как истинной, так и ложной (в зависимости от значений переменной).

Кроме того,

противоречивая импликация не может быть истинной типа "из истины следует истина":

при соответствующих значениях переменной $x$ имеем:

$(5<10)\to (5>100)$ -- "из истины следует ложь" -- ложное высказывание;

$(50<10)\to (50>100)$ -- "из лжи следует ложь" -- истинное (неопределенное) высказывание;

$(500<10)\to (500>100)$ -- "из лжи следует истина" -- истинное (неопределенное) высказывание;

но ни при каком значении $x$ не имеем истинного высказывания типа "из истины следует истина".

Есть в логике такое понятие? Или оно ей не нужно?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633548 писал(а):

Есть в логике такое понятие? Или оно ей не нужно?

То, что $P(x)$ противоречит $Q(x)$, можно записать как $\forall x,\,P(x)\,\to\,\neg Q(x)$.
То, что не противоречит - означает, что $\forall x,\,P(x)\,\to\,\neg Q(x)$ неверно.
Здесь $\neg Q(x)$ - отрицание утверждения $Q(x)$, т.е. утверждение, верное тогда и только тогда, когда $Q(x)$ неверно.

То есть для выражения этого Вашего понятия нужна другая импликация, не $P(x)\,\to\,Q(x)$.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1633551 писал(а):

То есть для выражения этого Вашего понятия нужна другая импликация, не $P(x)\,\to\,Q(x)$.

Какая? Не могу догадаться.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633548 писал(а):

Без квантора $\forall$ по $x$ и без конкретных значений $x$ импликация $(x<10)\to (x>100)$ не является ни истинной, ни ложной.

Вообще-то там Вам не так сказали. Если формулу со свободной переменной не трактовать как утверждение, то, конечно, можно не оценивать её истинность. Но вообще-то логика предикатов позволяет трактовать формулу со свободными переменными как утверждение. А в классической логике только два значения истинности, среди которых нет значения "ни истинно, ни ложно".

Vladimir Pliassov в сообщении #1633563 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1633551 писал(а):

То есть для выражения этого Вашего понятия нужна другая импликация, не $P(x)\,\to\,Q(x)$.

Какая? Не могу догадаться.

А прочитать можете?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633548 писал(а):

Без квантора $\forall$ по $x$ и без конкретных значений $x$ импликация $(x<10)\to (x>100)$ не является ни истинной, ни ложной.

В целом верно. Точнее сказать, что истинность этой формулы зависит от $x$.
Фразу "ни истинна, ни ложна" лучше не использовать - её можно неправильно понять.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633563 писал(а):

Какая? Не могу догадаться.

Я же написал в своём предыдущем сообщении, в первой строке.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1633575 писал(а):

Если формулу со свободной переменной не трактовать как утверждение, то, конечно, можно не оценивать её истинность. Но вообще-то логика предикатов позволяет трактовать формулу со свободными переменными как утверждение. А в классической логике только два значения истинности, среди которых нет значения "ни истинно, ни ложно".

Я по-прежнему имею о логике вообще и о логике предикатов смутное представление, но вот как я понимаю.

Оценить истинность утверждения и доказать его противоречивость или непротиворечивость это не одно и то же. Например, утверждение $(50<10)\to (50>100)$ истинно, но при этом противоречиво (потому что противоречиво утверждение $(x<10)\to (x>100)$ ).

И до этой минуты мне казалось, что гораздо интереснее то, что оно противоречиво, чем то, что оно истинно, и я думал, что, может быть, есть смысл по причине его противоречивости оценить его как ложное, несмотря на то, что формально оно истинно. Но мои представления развиваются, и теперь я думаю, что, поскольку противоречивость/непротиворечивость это одно, а истинность это другое, и они без проблем "уживаются" друг с другом, не надо и самому делать из этого проблему. Правильно?

Vladimir Pliassov в сообщении #1633548 писал(а):

Без квантора $\forall$ по $x$ и без конкретных значений $x$ импликация $(x<10)\to (x>100)$ не является ни истинной, ни ложной.

Здесь я имел в виду не то, что истинность импликации $(x<10)\to (x>100)$ оценивается как "ни истинная, ни ложная", а то, что она совсем не оценивается (без квантора $\forall$ по $x$ и без конкретных значений $x$ ее невозможно оценить).

epros в сообщении #1633575 писал(а):

А прочитать можете?

Как я понимаю, $P(x)=, $Q(x)=, поэтому $ читается как "из того, что $x<10$, следует, что $x>100$".

Mikhail_K в сообщении #1633593 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633563 писал(а):

Какая? Не могу догадаться.

Я же написал в своём предыдущем сообщении, в первой строке.

Понятно, это $P(x)\,\to\,\neg Q(x)$, а то я думал, что, может быть, это какая-то совсем третья.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633598 писал(а):

утверждение $(50<10)\to (50>100)$ истинно, но при этом противоречиво (потому что противоречиво утверждение $(x<10)\to (x>100)$

Так лучше не говорить, потому что у утверждения в логике может быть только одна характеристика: истинность/ложность. Никаких других характеристик нет.

Правильно сказать так: утверждение $(50<10)\to (50>100)$ истинно, но при этом также истинно $(50<10)\to (50\not>100)$ (потому что истинно $\forall x,\,(x<10)\to (x\not>100)$)

Или так: утверждение $(50<10)\to (50>100)$ истинно, но при этом $50<10$ противоречит тому, что $50>100$.

Когда Вам нужно сказать про противоречивость утверждений $50<10$ и $50>100$, просто так и говорите, что они противоречат друг другу (или, что то же самое, $(50<10)\to (50\not>100)$). Про импликацию $(50<10)\to (50>100)$ вспоминать тут не надо, она истинна, и ничего другого про неё сказать нельзя.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633598 писал(а):

Оценить истинность утверждения и доказать его противоречивость или непротиворечивость это не одно и то же.

Про моим понятиям установить истинность утверждения можно либо его доказательством, либо опровержением. А что Вы понимаете под противоречивостью утверждения я не понимаю. О противоречивости обычно говорят применительно к аксиоматике в целиком, это означает выводимость из этих аксиом противоречия. Можно, конечно, то же самое применить к отдельному утверждению, но это просто будет означать его ложность.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633598 писал(а):

Здесь я имел в виду не то, что истинность импликации $(x<10)\to (x>100)$ оценивается как "ни истинная, ни ложная", а то, что она совсем не оценивается (без квантора $\forall$ по $x$ и без конкретных значений $x$ ее невозможно оценить).

Как я сказал, формулу со свободными переменными можно не понимать как утверждение, а значит не оценивать её истинность. Например, когда требуется найти корни квадратного уравнения, мы не трактуем формулу этого квадратного уравнения как утверждение, а поэтому никто не спрашивает "истинна" ли она.

Но это не значит, что формулу со свободными переменными и невозможно трактовать как утверждение. Например, тождества, такие как $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, это ни что иное, как формулы со свободными переменными, трактуемые как истинные утверждения.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633598 писал(а):

Оценить истинность утверждения и доказать его противоречивость или непротиворечивость это не одно и то же

У утверждения не может быть противоречивости или непротиворечивости.
Противоречивы или непротиворечивы могут быть два утверждения между собой.
Например, то, что $5>100$, противоречит тому, что $5<10$.
К импликации $(5>100)\,\to\,(5<10)$ это не имеет никакого отношения.

Одно утверждение может быть истинным или ложным. Например, $5>100$ ложно, а $(5>100)\,\to\,(5<10)$ истинно. Про противоречивость одного утверждения говорить не нужно.

[Vladimir Pliassov]

1.

Mikhail_K в сообщении #1633601 писал(а):

Правильно сказать так: утверждение $(50<10)\to (50>100)$ истинно, но при этом также истинно $(50<10)\to (50\not>100)$ (потому что истинно $\forall x,\,(x<10)\to (x\not>100)$)

Или так: утверждение $(50<10)\to (50>100)$ истинно, но при этом $50<10$ противоречит тому, что $50>100$.

Когда Вам нужно сказать про противоречивость утверждений $50<10$ и $50>100$, просто так и говорите, что они противоречат друг другу (или, что то же самое, $(50<10)\to (50\not>100)$). Про импликацию $(50<10)\to (50>100)$ вспоминать тут не надо, она истинна, и ничего другого про неё сказать нельзя.

Понятно, спасибо!

Mikhail_K в сообщении #1633601 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633598 писал(а):

утверждение $(50<10)\to (50>100)$ истинно, но при этом противоречиво (потому что противоречиво утверждение $(x<10)\to (x>100)$

Так лучше не говорить, потому что у утверждения в логике может быть только одна характеристика: истинность/ложность. Никаких других характеристик нет.

А так и хочется назвать ее (эту импликацию) противоречивой -- столько крови она выпила!

И вот именно она - та, у которой посылка и заключение противоречат друг другу!

Та, у которой не противоречат, не так трудна для понимания, и даже, как мне теперь кажется, совсем не трудна:

Сидорову, который не знает английского языка, говорят, что если файвхандрэд меньше, чем десять, то он меньше, чем сто. Сидоров рассуждает так: "Ну конечно, если этот файвхандрэд меньше, чем десять, то он меньше, чем сто", -- и это верное рассуждение.

Но рассуждение: "Если число меньше, чем $10$, то оно больше, чем $100$", -- верным не назовешь. У импликации $(50<10)\to (50>100)$ противоречие между посылкой и заключением, а ее называют истинной, и это вызывает недоумение.

Однако то, что импликация $(50<10)\to (50>100)$ истинна, надо понимать не так, что у нее нет противоречия между посылкой и заключением -- оно-то как раз есть -- а так, что у нее нет такого, чтобы посылка была истинна, а следствие ложно

(по определению импликация считается ложной только в одном случае -- когда ее посылка истинна, а следствие ложно, в остальных случаях она считается истинной -- я здесь нарочно употребил слово "считается" вместо "является").

Здесь просто надо понять, что имеется в виду под словом "истинна", и тогда не будет недоумения.

2.

Правда, все равно странно, что формула, атомом которой является импликация с противоречием между посылкой и заключением, может быть истинной, но об этом я пока не могу судить предметно.

3.

Mikhail_K в сообщении #1633614 писал(а):

У утверждения не может быть противоречивости или непротиворечивости.
Противоречивы или непротиворечивы могут быть два утверждения между собой.
Например, то, что $5>100$, противоречит тому, что $5<10$.
К импликации $(5>100)\,\to\,(5<10)$ это не имеет никакого отношения.

Одно утверждение может быть истинным или ложным. Например, $5>100$ ложно, а $(5>100)\,\to\,(5<10)$ истинно. Про противоречивость одного утверждения говорить не нужно.

Жаль, что так -- во всяком случае в отношении языка: мне кажется, что "импликация может быть одновременно истинной и противоречивой" звучит сильнее, и это более лаконично, чем "импликация может быть истинной и при этом иметь противоречие между посылкой и заключением".

Да и по существу, зачем избегать выражения "импликация может быть одновременно истинной и противоречивой", если это так на самом деле? Правда, надо договориться, что значит "противоречивая импликация" и "противоречивое утверждение вообще", то есть оговорить, что "противоречивое" здесь не значит "ложное".

4.

epros в сообщении #1633610 писал(а):

Про моим понятиям установить истинность утверждения можно либо его доказательством, либо опровержением. А что Вы понимаете под противоречивостью утверждения я не понимаю.

Под противоречивостью утверждения я понимаю наличие в нем противоречия, причем противоречивое утверждение может быть истинным, например, истинная импликация $(50<10)\to (50>100)$ имеет посылку и заключение, которые противоречат друг другу, и поэтому я называю ее противоречивой (во всяком случае, когда рассуждаю сам с собой).

epros в сообщении #1633610 писал(а):

О противоречивости обычно говорят применительно к аксиоматике в целиком, это означает выводимость из этих аксиом противоречия. Можно, конечно, то же самое применить к отдельному утверждению, но это просто будет означать его ложность.

А вот нет! Как только что сказано (повторюсь), импликация может быть одновременно истинной и противоречивой (если позволено будет так выразиться).

epros в сообщении #1633610 писал(а):

Как я сказал, формулу со свободными переменными можно не понимать как утверждение, а значит не оценивать её истинность. Например, когда требуется найти корни квадратного уравнения, мы не трактуем формулу этого квадратного уравнения как утверждение, а поэтому никто не спрашивает "истинна" ли она.

Под утверждением Вы имеете в виду высказывание, которое надо либо доказать, либо опровергнуть, то есть оценить таким образом его истинность, правильно?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633624 писал(а):

Под противоречивостью утверждения я понимаю наличие в нем противоречия,

Это бессмысленный набор слов.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633624 писал(а):

истинная импликация $(50<10)\to (50>100)$ имеет посылку и заключение, которые противоречат друг другу, и поэтому я называю ее противоречивой (во всяком случае, когда рассуждаю сам с собой).

Если уж Вы собираетесь говорить о "противоречивости" отдельных утверждений, то Вам придётся признать, что "противоречива" и посылка сама по себе (это то же самое, что ложность). Но именно по этой причине эта импликация не "противоречива".

Vladimir Pliassov в сообщении #1633624 писал(а):

импликация может быть одновременно истинной и противоречивой (если позволено будет так выразиться).

Нет. Ни в каком разумном смысле.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633624 писал(а):

Под утверждением Вы имеете в виду высказывание, которое надо либо доказать, либо опровергнуть, то есть оценить таким образом его истинность, правильно?

Утверждение - это предложение языка, которое утверждается или может утверждаться.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1633665 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633624 писал(а):

импликация может быть одновременно истинной и противоречивой (если позволено будет так выразиться).

Нет. Ни в каком разумном смысле.

Как я понимаю, мы спорим о терминологии: я говорю, что можно импликацию, у которой есть противоречие между посылкой и заключением, называть противоречивой, Вы же с этим не согласны.

Но теперь я вижу, что и в самом деле

Mikhail_K в сообщении #1633614 писал(а):

Про противоречивость одного утверждения говорить не нужно

потому что это ведет к недоразумениям. А если и говорить иногда, то с оговорками и все равно с риском, что тебя неверно поймут.

2.

Говоря о наличии или отсутствии противоречия между посылкой и заключением у импликаций, я хотел сказать, почему, как я думаю, существует проблема понимания импликации (у которой есть смысловая связь между посылкой и заключением, если ее нет, то это уже другой вопрос).

Импликация, у которой нет противоречия между посылкой и заключением, может быть только истинной, например, импликация $(x<10)\to (x<100)$, -- и ее, как я уже говорил, не так трудно понять, -- а импликация, у которой есть противоречие между посылкой и заключением, может быть как ложной, так и истинной. И то, что она может быть истинной, вызывает недоумение у людей, которые не знают правила

"по определению импликация считается ложной только в одном случае -- когда ее посылка истинна, а следствие ложно, в остальных случаях она считается истинной".

Например, импликация $(x<10)\to (x>100)$ -- "Если число меньше, чем $10$, то оно больше, чем $100$", -- представляя собой очевидную неправду, скажем, в бытовом смысле (именно оттого, что у нее есть противоречие между посылкой и заключением), в логике может являться истинным высказыванием. И это трудно понять, если не знать упомянутого правила.

3.

Тут, правда, надо еще определить, что такое противоречие между посылкой и заключением, и потом доказать, что, в частности, у импликации $(x<10)\to (x>100)$ оно есть, а у импликации $(x<10)\to (x<100)$ его нет.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633704 писал(а):

Как я понимаю, мы спорим о терминологии: я говорю, что можно импликацию, у которой есть противоречие между посылкой и заключением, называть противоречивой, Вы же с этим не согласны.

Я Вам говорю, что Ваша терминология не имеет внятного определения.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633704 писал(а):

есть смысловая связь между посылкой и заключением

Что такое "смысловая связь"?

Vladimir Pliassov в сообщении #1633704 писал(а):

Импликация, у которой нет противоречия между посылкой и заключением, может быть только истинной,

Что значит "нет противоречия между посылкой и заключением"?

Vladimir Pliassov в сообщении #1633704 писал(а):

Тут, правда, надо еще определить, что такое противоречие между посылкой и заключением,

Да уж будьте добры.

Вообще-то я предлагаю Вам не вымучивать свой мозг, изобретая новые понятия логики, а воспользоваться существующими. В существующих понятиях противоречивость чего-либо заключается в том, что из этого чего-либо можно вывести противоречие. Если Вы хотите говорить о противоречивости отдельного утверждения, то это будет означать в точности то, что оно опровергнуто. Если Вы хотите говорить о противоречивости нескольких утверждений между собой, то это будет в точности означать, что опровергнута их конъюнкция.