Импликация и другие логические связки

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633865 писал(а):

Спасибо за исчерпывающий ответ, он мне очень помог. Но значит ли $(A \to B)$ в выражении

$(A \to B) \wedge ¬(A \wedge B) = (¬A \lor B) \wedge (¬A \lor ¬B) = ¬A \lor (B \wedge ¬B) = ¬A \lor \bot = ¬A$,

что импликация $(A \to B)$ истинна (полагается истинной), поскольку при $(A \to B)$ не стоит $\neg$?

В этих выражениях вообще не говорится, что истинно, а что нет. Знак "=" означает, что утверждение слева от этого знака истинно тогда и только тогда, когда истинно выражение справа (и ложно тогда и только тогда, когда ложно утверждение справа).

Утверждение $\neg(A\to B)$ может быть истинным или ложным. Если оно истинно, тогда $A\to B$ ложно. А если $\neg(A\to B)$ ложно, то $A\to B$ истинно.

Поэтому уточню ещё:

Vladimir Pliassov в сообщении #1633839 писал(а):

То есть запись $\neg(A \wedge B)$ означает, что конъюнкция $(A \wedge B)$ ложна?

Запись сама по себе ничего не означает. Но если мы не просто записали $\neg(A \wedge B)$, а утверждаем истинность этого утверждения, тогда $(A \wedge B)$ ложно.

Смысл утверждения $\neg(A \wedge B)$ в том, что утверждение $(A \wedge B)$ ложно. Поэтому, если $\neg(A \wedge B)$ ложно, тогда $(A \wedge B)$ истинно.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633865 писал(а):

Дело в том, что я не очень хорошо понимал, что значит $\neg A$, думал, что, может быть, это значит: "Возьмем не $A$, а что-нибудь другое."

Вы же вроде читали книгу, ссылку на которую сами кинули на первой странице темы. Там на странице 12 (фактически вторая страница текста) очень ясно об этом написано.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1633736 писал(а):

Насколько я понимаю, конъюнкция опровергнута, если доказана ее ложность

Ложность конъюнкции доказана, если она опровергнута.

Vladimir Pliassov в сообщении #1633736 писал(а):

Пусть дана импликация $(x<10)\to (x>100)$, надо доказать, что конъюнкция $(x<10)\wedge (x>100)$ ложна.

Что значит опровергнуть утверждение $\varphi$ со свободной переменной $x$? Это значит привести к противоречию утверждение $\forall x~\varphi$. А это возможно, если $\exists x~\neg \varphi$. Так что если существует $x$, для которого неверно $(x<10)\wedge (x>100)$, то данная конъюнкция ложна. Пример такого $x$ - число $50$. Значит конъюнкция $(x<10)\wedge (x>100)$ ложна.

Рассмотрим пример истинной импликации $(x<10) \to (x<100)$. Конъюнкция $(x<10)\wedge (x<100)$ очевидно ложна, поскольку она ложна при $x=50$.

Какой отсюда вывод? А такой, что все Ваши рассуждения про "противоречивость посылки и заключения" - полная фигня, не имеющая никакого отношения к истинности самой импликации.

-- Вс мар 24, 2024 13:27:05 --

Может быть под "противоречивостью посылки и заключения" Вы имели в виду, что их конъюнкция должна быть ложна при любых значениях свободных переменных? Т.е. $\forall x~\neg((x<10)\wedge (x>100))$? А это то же самое, что $\neg \exists x~(x<10)\wedge (x>100)$. Тогда да, это так: Импликация $(x<10)\to (x>100)$ ложна, а её посылка и заключение "противоречивы".

При этом импликация $(x<100) \to (x<10)$ ложна, хотя её посылка и заключение непротиворечивы, а импликация $(x<10) \to (x<100)$ истинна при том, что её посылка и заключение тоже непротиворечивы.

И какой отсюда вывод? А такой, что рассуждения про противоречивость посылки и заключения - это всё ещё фигня, не имеющая отношения к истинности самой импликации.

[Vladimir Pliassov]

1.

Mikhail_K в сообщении #1633867 писал(а):

Запись сама по себе ничего не означает. Но если мы не просто записали $\neg(A \wedge B)$, а утверждаем истинность этого утверждения, тогда $(A \wedge B)$ ложно.

Спасибо! Как будто понял, надеюсь понять это еще лучше, решая примеры.

tolstopuz в сообщении #1633873 писал(а):

Вы же вроде читали книгу, ссылку на которую сами кинули на первой странице темы. Там на странице 12 (фактически вторая страница текста) очень ясно об этом написано.

Да, читал (конечно, не всю книгу, а это место), но ученик не всегда сразу воспринимает как следует то, что ему говорят. А теперь, когда мне это еще раз, подробно, объяснили, и мне кажется, что там очень ясно об этом написано.

epros в сообщении #1633719 писал(а):

Вообще-то я предлагаю Вам не вымучивать свой мозг, изобретая новые понятия логики, а воспользоваться существующими.

То, чем я сейчас занимаюсь, это не только сама логика, но и вопросы, которые возникают (у очень многих) в связи с ней. Можно не пытаться на них ответить, а сразу взять аксиомы и правила и решать конкретные логические задачи -- это то, что Вы мне предлагаете. Но мне хотелось бы прежде получить на них ответы.

2.

tolstopuz в сообщении #1633797 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633789 писал(а):

Можно ли в рамках логики высказываний (или в рамках какой-то другой логики) сказать, что утверждения $x<10$ и $x>100$ противоречат друг другу?

Если это означает, что ни при каком значении $x$ они оба одновременно не могут быть истинными, то это запишется с помощью конъюнкции, отрицания и квантора всеобщности.

То есть, как я понимаю, говоря вообще,

Определение 1. Высказывания противоречат друг другу, если они не могут быть истинными одновременно.

Я думаю, надо сначала рассмотреть импликации $(x<10)\to (x<100)$ и $(x<10)\to (x>100)$ не при любом значении $x$, а только при $x<10$, то есть при выполнении условия (при истинной посылке), потому что в этом случае с ними как будто все ясно, а уже потом рассмотреть их при невыполнении условия.

Итак, при выполнении условия (при истинной посылке), то есть для каждого $x<10$

импликация (a): $(x<10)\to (x<100)$ -- истинная (типа "из истины следует истина"), и нет противоречия между ее посылкой и заключением, так как они истинны одновременно, например, при $x=8$, а

импликация (b): $(x<10)\to (x>100)$ -- ложная (единственным типом ложной импликации является "из истины следует ложь"), и есть противоречие между ее посылкой и заключением, так как они не могут быть истинными одновременно: нет такого числа, которое было бы одновременно меньше, чем $10$, и больше, чем $100$.

Теперь рассмотрим импликации $(x<10)\to (x<100)$ и $(x<10)\to (x>100)$ при невыполнении условия (при ложной посылке), то есть при $x\nless 10$, например, при $x=50$ и $x=500$.

Импликация (a):

$(50<10)\to (50<100)$ -- "из лжи следует истина" -- истинное высказывание;

$(500<10)\to (500<100)$ -- "из лжи следует ложь" -- истинное высказывание;

Импликация (b):

$(50<10)\to (50>100)$ -- "из лжи следует ложь" -- истинное высказывание;

$(500<10)\to (500>100)$ -- "из лжи следует истина" -- истинное высказывание.

По определению, данному выше, у каждой из этих импликаций есть противоречие между посылкой и заключением, так как ни у одной из них посылка и заключение не являются (не могут являться) истинными одновременно.

И при этом все эти импликации истинны.

То есть при невыполнении условия (при ложной посылке) у истинной импликации со свободной переменной всегда есть противоречие между посылкой и заключением.

Отмечу, что здесь невозможность для посылки и заключения быть истинными одновременно обусловлена не тем, что каждая из них порознь может быть истинной, а вместе они истинными быть не могут, а тем, что посылки $(50<10)$ и $(500<10)$ сами по себе не могут быть истинными.

А наличие таких посылок обусловлено тем, что рассмотренные импликации имеют свободные переменные, то есть представляют собой (высказывательные) функции: если не ограничивать области их определения, то $x$ может быть не меньше, чем $10$.

Но даже если истинная импликация не является (высказывательной) функцией, она по данному определению может иметь противоречие между посылкой и заключением, например, в импликации "если $2\times 2=5$, то я папа римский" посылка не может быть истинной (с точки зрения аксиом Пеано), и потому посылка и заключение не могут быть истинными одновременно.

3.

Не знаю, правильны ли мои рассуждения (у меня они очень часто оказывались неправильными), но даже если так, меня это не удовлетворяет.

Во-первых, мне бы хотелось обнаружить, что у импликации (a) нет противоречия между посылкой и заключением не только при выполнении условия, но и при невыполнении, а у импликации (b) чтобы оно было и при выполнении условия, и при невыполнении (это, правда, есть, но не так, как хотелось бы, см. чуть ниже), потому что интуитивно я чувствую, что это так -- из-за знаков $<, <$ у (a) и из-за знаков $<, >$ у (b).

Во-вторых, хотелось бы, чтобы противоречие между посылкой и заключением основывалось не на том, что при невыполнении условия импликация имеет посылку, которая не может быть истинной, а на чем-то другом, более глубинном, снова скажу: на том, что у (a) знаки $<, <$, а у (b) знаки $<, >$.

4.

Может быть, взять такое определение:

Определение 2. Высказывания противоречат друг другу, если каждое из них само по себе истинно (может быть истинным), но они не могут быть истинными одновременно?

Тогда в импликации "если $2\times 2=5$, то я папа римский" не будет противоречия между посылкой и заключением (потому что посылка не может быть истинной).

И у импликации $(x<10)\to (x<100)$ ни при каком значении $x$ не будет противоречия между посылкой и заключением, а у импликации $(x<10)\to (x>100)$ оно будет только при $x<10$.

Но и это мне не нравится, именно потому, что у импликации $(x<10)\to (x>100)$ оно будет только при $x<10$.

5.

Однако что-то в этом определении есть и хорошее: при нем не считается, что абсурд $50<10$ находится в противоречии с не абсурдом $50<100$, или что абсурд $500<10$ находится в противоречии с абсурдом $500<100$.

6.

epros в сообщении #1633957 писал(а):

Какой отсюда вывод? А такой, что все Ваши рассуждения про "противоречивость посылки и заключения" - полная фигня, не имеющая никакого отношения к истинности самой импликации.

Нет, по-моему, какое-то отношение есть, но не эквивалентное:

По Определению 1 (под "противоречием" имеется в виду "противоречие между посылкой и заключением")

1) при наличии противоречия импликация может быть как истинной, так и ложной -- нет однозначного следования,

2) при отсутствии противоречия импликация всегда истинна -- но обратное неверно (нет эквиваленции);

3) истинная импликация может как иметь противоречие, так и не иметь -- нет однозначного следования,

4) ложная импликация всегда имеет противоречие -- но обратное неверно (нет эквиваленции).

По Определению 2

1) при наличии противоречия импликация может быть только ложной -- но обратное неверно (нет эквиваленции),

2) при отсутствии противоречия импликация может быть как истинной, так и ложной --нет однозначного следования;

3) истинная импликация никогда не имеет противоречия -- но обратное неверно (нет эквиваленции),

4) ложная импликация не всегда имеет противоречие -- нет однозначного следования.

(Интересно сравнить пункт 1) с пунктом 1), пункт 2) с пунктом 2) и т. д. для разных определений.)

Другое дело, что логика высказываний (и, наверное, не только высказываний), как я предполагаю, работает независимо от этих рассуждений.

7.

epros в сообщении #1633957 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1633736 писал(а):

Пусть дана импликация $(x<10)\to (x>100)$, надо доказать, что конъюнкция $(x<10)\wedge (x>100)$ ложна.

Что значит опровергнуть утверждение $\varphi$ со свободной переменной $x$? Это значит привести к противоречию утверждение $\forall x~\varphi$. А это возможно, если $\exists x~\neg \varphi$. Так что если существует $x$, для которого неверно $(x<10)\wedge (x>100)$, то данная конъюнкция ложна. Пример такого $x$ - число $50$. Значит конъюнкция $(x<10)\wedge (x>100)$ ложна.

Рассмотрим пример истинной импликации $(x<10) \to (x<100)$. Конъюнкция $(x<10)\wedge (x<100)$ очевидно ложна, поскольку она ложна при $x=50$.

Какой отсюда вывод? А такой, что все Ваши рассуждения про "противоречивость посылки и заключения" - полная фигня, не имеющая никакого отношения к истинности самой импликации.

-- Вс мар 24, 2024 13:27:05 --

Может быть под "противоречивостью посылки и заключения" Вы имели в виду, что их конъюнкция должна быть ложна при любых значениях свободных переменных? Т.е. $\forall x~\neg((x<10)\wedge (x>100))$? А это то же самое, что $\neg \exists x~(x<10)\wedge (x>100)$. Тогда да, это так: Импликация $(x<10)\to (x>100)$ ложна, а её посылка и заключение "противоречивы".

При этом импликация $(x<100) \to (x<10)$ ложна, хотя её посылка и заключение непротиворечивы, а импликация $(x<10) \to (x<100)$ истинна при том, что её посылка и заключение тоже непротиворечивы.

И какой отсюда вывод? А такой, что рассуждения про противоречивость посылки и заключения - это всё ещё фигня, не имеющая отношения к истинности самой импликации.

Вы, как я понимаю, имеете в виду, что нет эквивалентного отношения между истинностью импликации и противоречием/непротиворечием между ее посылкой и следствием. Да, его, по-моему, нет (и при двух новых определениях, о которых Вы не знали, когда отправляли этот пост).

8.

пианист в сообщении #1633755 писал(а):

Если есть сомнения, можно просто тупо посчитать:
$(A \to B) \wedge ¬(A \wedge B) = (¬A \lor B) \wedge (¬A \lor ¬B) = ¬A \lor (B \wedge ¬B) = ¬A \lor \bot = ¬A$

Я пока еще не вполне понимаю, что здесь написано, так что надеюсь ответить позже.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634144 писал(а):

Определение 1. Высказывания противоречат друг другу, если они не могут быть истинными одновременно.

Высказывания не "могут быть", а имеют фиксированные логические значения - либо истинны, либо ложны. Если вы говорите о высказывательных функциях (как их называют Куратовский-Мостовский на стр. 53), говорите это явно, чтобы не увеличивать путаницу.

[epros]

Vladimir Pliassov, кончайте уже заниматься ерундой. Лучше начните с основ. Разберитесь с тем, что такое "высказывание". Попробуйте ответить на вопросы:
1) $x <10$ - это высказывание или нет?
2) Ложно оно или истинно?
3) "Может" ли оно быть истинным? Ложным?

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1634240 писал(а):

Разберитесь с тем, что такое "высказывание".

Цитата:

Высказывание -- это повествовательное предложение, о котором в каждой конкретной ситуации можно сказать, истинно оно или ложно.

http://intsys.msu.ru/staff/mironov/mathlog.pdf, стр. 7

epros в сообщении #1634240 писал(а):

Попробуйте ответить на вопросы:
1) $x <10$ - это высказывание или нет?
2) Ложно оно или истинно?
3) "Может" ли оно быть истинным? Ложным?

1) $x <10$ - это высказывание, точнее высказывательная функция.

2) Ложно оно или истинно, не определено, это зависит от значения $x$:

3) при $x<10$ оно истинно, при $x\nless 10$ оно ложно.

Вы поставили слово "Может" в кавычки, очевидно, Вы согласны с тем, что

tolstopuz в сообщении #1634145 писал(а):

Высказывания не "могут быть", а имеют фиксированные логические значения - либо истинны, либо ложны.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634264 писал(а):

1) $x <10$ - это высказывание, точнее высказывательная функция.

Я не знаю что такое "высказывательная функция". Но, судя по всему, Вы считаете, что "высказывательная функция" - это частный случай высказывания?

Vladimir Pliassov в сообщении #1634264 писал(а):

2) Ложно оно или истинно, не определено, это зависит от значения $x$:

Согласно Вами же приведённому определению "в каждой конкретной ситуации" высказывание должно быть истинно или ложно, а значит не может быть "не определено". Ситуация конкретна: Я конкретно спрашиваю Вас, конкретно истинно ли $x<10$ или нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634264 писал(а):

3) при $x<10$ оно истинно, при $x\nless 10$ оно ложно.

А давайте обойдёмся без "при". Это высказывание? Тогда конкретно это высказывание, в той форме, как оно сформулировано, без дополнительных условий и пояснений - истинно или нет?

Vladimir Pliassov в сообщении #1634264 писал(а):

Вы поставили слово "Может" в кавычки, очевидно, Вы согласны с тем, что

tolstopuz в сообщении #1634145 писал(а):

Высказывания не "могут быть", а имеют фиксированные логические значения - либо истинны, либо ложны.

Я-то согласен, что мы сейчас говорим о классической логике, а не о модальной, так что слово "может" нам не потребуется. А Вы?

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1634268 писал(а):

Я не знаю что такое "высказывательная функция". Но, судя по всему, Вы считаете, что "высказывательная функция" - это частный случай высказывания?

У Куратовского, Мостовского https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 53, второй абзац и дальше -- о высказывательных функциях. Но там говорится:

Цитата:

Здесь мы займемся высказывательными (пропозициональными -- прим. переводчика) функциями, т. е. выражениями, которые содержат предметные переменные и превращаются в высказывания, если на место этих переменных подставить названия произвольных элементов. Высказывательными функциями являются, например,

$$x>0, \;\; x^2<5, \;\; x -- \text {непустое множество}$$

Примерами высказываний, полученных из этих функций с помощью подстановки, являются $1>0, \;\; 25<5,$ множество простых чисел -- непустое множество.

Выходит, что $x <10$ это не высказывание.

epros в сообщении #1634268 писал(а):

Я конкретно спрашиваю Вас, конкретно истинно ли $x<10$ или нет.

Так как $x<10$ это не высказывание, ответить на этот вопрос утвердительно или отрицательно невозможно. Или же истинным или ложным может быть не только высказывание, но это, наверное, не имеется в виду (я уже боюсь употреблять слово "может").

epros в сообщении #1634268 писал(а):

Я-то согласен, что мы сейчас говорим о классической логике, а не о модальной, так что слово "может" нам не потребуется. А Вы?

А я вообще не имею об этом представления.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634275 писал(а):

Выходит, что $x <10$ это не высказывание.

Отлично! Значит $x<10 \to x<100$, наверное, тоже не высказывание? А мы тут распинались, доказывали, что оно истинно...

Vladimir Pliassov в сообщении #1634275 писал(а):

Так как $x<10$ это не высказывание, ответить на этот вопрос утвердительно или отрицательно невозможно.

Ага, если не высказывание.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634275 писал(а):

Или же истинным или ложным может быть не только высказывание, но это, наверное, не имеется в виду (я уже боюсь употреблять слово "может").

Увы, только высказывания. И про "может" или "не может" рассуждать бесполезно.

Но вопрос в том, какую логику мы имеем в виду? В исчислении предикатов формулы со свободной переменной тоже считаются высказываниями (предложениями языка). Просто есть такое правило обобщения, согласно которому на них автоматически ставится квантор всеобщности. Т.е. $x<10$ - это то же самое, что $\forall x~x<10$. И очевидно, что это утверждение ложно.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1634284 писал(а):

Отлично! Значит $x<10 \to x<100$, наверное, тоже не высказывание? А мы тут распинались, доказывали, что оно истинно...

Спасибо! Теперь многое прояснилось.

[Vladimir Pliassov]

1.

Я, кажется, понял интересную вещь:

в логике высказываний истинность простых высказываний определяется тем, соответствуют ли они действительности, а истинность сложных высказываний -- тем, соответствуют ли они таблице истинности, при этом они могут не соответствовать действительности. Например,

простое высказывание $(500<10)$ -- ложное, потому что не соответствует действительности,

простое высказывание $(500>100)$ -- истинное, потому что соответствует действительности,

сложное высказывание $(500<10) \to (500>100)$ -- истинное, потому что соответствует таблице истинности, но при этом оно не соответствует действительности: не может быть, чтобы число, которое меньше десяти, было больше ста (из того, что число меньше десяти, не следует, что оно больше ста).

Таким образом, логика высказываний не во всем соответствует действительности.

2.

Mikhail_K в сообщении #1633451 писал(а):

Есть формула $(x<10)\to (x>100)$ и есть формула $\forall x,\,(x<10)\to (x>100)$.
Первая формула - истинна при одних $x$ и ложна при других $x$. Вторая формула - просто ложна (как раз потому, что первая не всегда истинна).

Если бы истинность импликаций $(x<10)\to (x>100)$ и $(x<10) \to (x<100)$ определялась не тем, соответствуют ли они таблице истинности, а тем, соответствуют ли они действительности, то квантор $\forall x$ был бы не нужен, потому что тогда квантором служила бы посылка импликации:

$(x<10) \to (x>100)$ можно было бы записать как $\forall x<10, \;\; x>100$ (и тогда эта импликация, разумеется, была бы ложной), а

$(x<10) \to (x<100)$ можно было бы записать как $\forall x<10, \;\; x<100$ (и тогда эта импликация, разумеется, была бы истинной).

3.

Mikhail_K в сообщении #1633614 писал(а):

Противоречивы или непротиворечивы могут быть два утверждения между собой.
Например, то, что $5>100$, противоречит тому, что $5<10$.

Вот идея противоречия между посылкой и заключением импликации $(x<10) \to (x>100)$!

Она не в том, что их конъюнкция ложна, а в том, что одно и то же число $x$ меньше десяти (в посылке) и при этом не меньше десяти (в заключении), что является противоречием.

Сравним с импликацией $(x<10) \to (x<100)$: здесь противоречия между посылкой и заключением нет, так как число $x$ меньше ста (в посылке) и при этом меньше ста (в заключении), что не является противоречием.

[Для импликации $(50<10) \to (50<100)$ конъюнкция $(50<10) \wedge (50<100)$ ложная, а противоречия между посылкой и заключением нет, так как число $50$ меньше ста (в посылке -- поскольку оно меньше десяти) и меньше ста (в заключении).]

Вот эта идея, по-моему, хорошая, но надо еще найти общее определение противоречия между высказываниями.

Очевидно, что она (эта идея) соответствует действительности, но не соответствует логике высказываний, поскольку импликация с противоречием между посылкой и заключением может быть истинной, например, $(50<10) \to (50>100)$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634530 писал(а):

истинность сложных высказываний -- тем, соответствуют ли они таблице истинности, при этом они могут не соответствовать действительности

Они "соответствуют действительности". Истинность составных высказываний определяется из истинности их частей, и соответствие их действительности определяется так же - если составное высказывание при соответствующих действительности истинностных значений его частей истинно, то оно соответствует действительности.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634530 писал(а):

не может быть, чтобы число, которое меньше десяти, было больше ста

Так а заявлялось не это. Заявлялось, что если это число меньше 10, то оно больше 100. И такое число есть.
Ваша фраза записывалась бы как $\exists x: (x < 10) \textcolor{blue}{\wedge} (x > 100)$, а не $\exists x: (x < 10) \textcolor{blue}{\rightarrow} (x > 100)$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1634533 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1634530 писал(а):

не может быть, чтобы число, которое меньше десяти, было больше ста

Так а заявлялось не это. Заявлялось, что если это число меньше 10, то оно больше 100 ... Ваша фраза записывалась бы как $\exists x: (x < 10) \textcolor{blue}{\wedge} (x > 100)$, а не $\exists x: (x < 10) \textcolor{blue}{\rightarrow} (x > 100)$.

Да, было неудачно, что я написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1634530 писал(а):

не может быть, чтобы число, которое меньше десяти, было больше ста (из того, что число меньше десяти, не следует, что оно больше ста).

потому что здесь, по-моему, две конъюнкции (вторая, в скобках, это отрицание импликации), но теперь я исправлюсь: как я понимаю,

импликация "из того, что число меньше десяти, следует, что оно больше ста" действительности не соответствует, и при этом, если число равно $500$, эта импликация истинная. Так что пока Вы меня не разубедили в том, что

составное высказывание $(500<10) \to (500>100)$ -- истинное, потому что соответствует таблице истинности, но при этом оно не соответствует действительности.

mihaild в сообщении #1634533 писал(а):

Заявлялось, что если это число меньше 10, то оно больше 100. И такое число есть.

Я думаю, что в действительности такого числа нет. Или Вы можете доказать обратное? (Я не говорю: "Или Вы можете представить его?"-- потому что, по-моему, это невозможно.)

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1634558 писал(а):

импликация "из того, что число меньше десяти, следует, что оно больше ста" действительности не соответствует

Тут важный вопрос: как понимать "соответствие действительности" формул со свободными переменными (по Куратовскому, насколько я понимаю - высказывательных форм, не являющихся высказываниями).
Тут есть два варианта: либо вообще запретить говорить об их истинности (так же как мы не говорим об истинности вектора), либо неявно ставить по ним квантор всеобщности. Во втором случае эта импликация ложна. А вот если подставить в неё число $500$, то получится истинное утверждение. Это совершенно нормальная ситуация, и бывает и без импликации.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634558 писал(а):

но при этом оно не соответствует действительности

Что Вы вообще понимаете под "соответствием действительности"? Хотя бы примерно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1634558 писал(а):

Я думаю, что в действительности такого числа нет. Или Вы можете доказать обратное?

Конечно, это число 500. Если оно меньше 10, то оно больше 100, а я - Папа Римский.