1.
Думаю, дальнейшее пережёвывание этой темы и дальнейшие "озарения" по ней бесперспективны.
Конечно, тему можно закрыть, но мне это будет очень жаль, во-первых, потому что мне большую радость доставляет общение с участниками форума, а во-вторых, потому что я еще не во всем разобрался по теме.
2.
(1) и (2) же ничем не отличаются, кроме обозначений.
Как я понимаю, вот это:
![$$\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
x&y&f(x, y)\\
\hline
0& 0& 1\\
\hline
0& 1& 1 \\
\hline
1& 0& 0 \\
\hline
1& 1& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end {matrix} \eqno (2)$$ $$\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
x&y&f(x, y)\\
\hline
0& 0& 1\\
\hline
0& 1& 1 \\
\hline
1& 0& 0 \\
\hline
1& 1& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end {matrix} \eqno (2)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/2/ca2e638a9d0a4df524e0611efa23693682.png)
бинарная булева функция "прямая импликация" в табличной записи (все же буду ее так называть, помня, что это условность), а вот эта таблица:
![$$\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P \to Q\\
\hline
0& 0& 1\\
\hline
0& 1& 1 \\
\hline
1& 0& 0 \\
\hline
1& 1& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end {matrix} \eqno (1)$$ $$\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P \to Q\\
\hline
0& 0& 1\\
\hline
0& 1& 1 \\
\hline
1& 0& 0 \\
\hline
1& 1& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end {matrix} \eqno (1)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/0/3e0ba5041e3c4c4fb21a3bdfe32a6f9d82.png)
-- если под
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
,
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
, а потому и под
![$P\to Q$ $P\to Q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/a/0faff72b681bc61e771115f710a9581982.png)
, разумеются высказывания -- записью функции не является, потому что в ней
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
и
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
в качестве значений принимают не
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
,
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
и
![$P\to Q$ $P\to Q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/a/0faff72b681bc61e771115f710a9581982.png)
, а их истинности, то есть аргументы, которые в таблице (1) не указаны.
[
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
,
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
и тем более
![$P\to Q$ $P\to Q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/a/0faff72b681bc61e771115f710a9581982.png)
принимают не два, а бесконечно много значений, так как для
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
и
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
существует бесконечное множество высказываний.
К тому же
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
и
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
вообще не могут быть значениями
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
,
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
и
![$P\to Q$ $P\to Q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/a/0faff72b681bc61e771115f710a9581982.png)
, потому что
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
,
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
и
![$P\to Q$ $P\to Q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/a/0faff72b681bc61e771115f710a9581982.png)
могут в качестве значений принимать только высказывания, а
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
и
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
это не высказывания -- в высказывании должен быть субъект (подлежащее) и предикат (сказуемое).]
Так что, если под
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
и
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
разумеются высказывания, то (1) это именно таблица истинности высказываний, но не функция.
В заголовке таблицы это
то есть
может быть и высказывание. Главное, чтобы в остальных строках таблицы были значения истинности.
если Вас смущает, что в заголовке - утверждения, а в остальных строках - значения их истинности, то можете обозначить значения истинности утверждений как
![$\mu(P)$ $\mu(P)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/7/fb7778215341ca633ec9d29c44b2e98382.png)
,
![$\mu(Q)$ $\mu(Q)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/c/64c460a8f737d9cb89041634c6fd343182.png)
и
![$\mu(P \to Q)$ $\mu(P \to Q)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/5/e056d8481f11252f1ef54d40ca904b8382.png)
и записать это в заголовок.
Если же под
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
и
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
разумеются истинности высказываний
![$\mathcal P$ $\mathcal P$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/3/89340d55564e7683c6ce8cc488e625a082.png)
и
![$\mathcal Q$ $\mathcal Q$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/9/6a9d8a6a427f6ba46cc6a55a2031303d82.png)
, то таблица (1) -- с
![$P\to Q$ $P\to Q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/a/0faff72b681bc61e771115f710a9581982.png)
в заголовке -- не верна, потому что, например, пусть
![$x\in \mathbb N$ $x\in \mathbb N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f953e71021d270db3fb9c8c178b822b82.png)
, возьмем утверждения:
![$\mathcal P= $\mathcal P=](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/5/fe547f0905512e30660da221900bbe7d82.png)
,
![$\mathcal Q= $\mathcal Q=](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/4/e04eab6f3e23d7c3201a399986df2e3882.png)
.
1) Из того, что
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
(например,
![$x=6$ $x=6$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d5564b7252828f3c8361cdbe82f51b3082.png)
) не делится на
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
, не следует, что
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
.
2) Из того, что
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
(например,
![$x=5$ $x=5$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/6/e6603271412248d4c176ca247473842e82.png)
) не делится на
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
, не следует, что
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
.
Верной будет таблица
![$$\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\wedge Q\\
\hline
0& 0& 1\\
\hline
0& 1& 1 \\
\hline
1& 0& 0 \\
\hline
1& 1& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end {matrix} \eqno (1-a)$$ $$\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| }
\hline
P&Q&P\wedge Q\\
\hline
0& 0& 1\\
\hline
0& 1& 1 \\
\hline
1& 0& 0 \\
\hline
1& 1& 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end {matrix} \eqno (1-a)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/4/27429b89f3d2c488f277257764ccf9fa82.png)
с
![$P\wedge Q$ $P\wedge Q$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/c/ccc1c11abffc38c5a44c47cf0ec9101682.png)
в заголовке:
1)
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не делится на
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
и не делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
-- бывает (например,
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
),
2)
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не делится на
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
и делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
-- бывает (например,
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
),
3)
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
делится на
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
и не делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
-- не бывает,
4)
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
делится на
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
и делится на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
-- бывает (например,
![$8$ $8$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/005c128d6e551735fa5d938e44e7a61382.png)
).
3.
Доказательство такое:
1)
![$\bullet A$ $\bullet A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a128dddbf82a54ed240f2d45cba8cb82.png)
- гипотеза.
2)
![$\bullet \bullet B$ $\bullet \bullet B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/4/8849f5fd4805eb82ff746e3e81b6da6282.png)
- гипотеза.
3)
![$\bullet \bullet A$ $\bullet \bullet A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/4/e94e118500b18b0b6d8e96024ddea72e82.png)
- применение гипотезы 1 в контексте гипотезы 2.
4)
![$\bullet B \to A$ $\bullet B \to A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/6/4f6a672e4952648b84427cf32ff21d5f82.png)
- дедукция от 2 до 3.
5)
![$A \to (B \to A)$ $A \to (B \to A)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/1/b018dda3f50abc3ddbe5a3f3bac8a71382.png)
- дедукция от 1 до 4.
Над этим думаю.