Импликация и другие логические связки

[Vladimir Pliassov]

пианист в сообщении #1632115 писал(а):

Я лишь попытался ответить на заданный вопрос. Дискуссию, если что, не читал ;)

Я ее только что удалил: написал что-то не то. За Ваше сообщение спасибо!

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1632087 писал(а):

В аксиоматике исчисления высказываний
есть аксиома 1:
$A\to (B \to A)$
и есть аксиома 9:
$\neg A \to(A \to B)$.

Первое означает, что то, что известно из каких-то общих соображений, не отменится в случае добавления неких частных условий. Т.е. если из общих соображений известно, что $2 \times 2 = 4$ (утверждение $A$), то это не отменится, если предположить, что "Идёт дождь" (утверждение $B$). Это можно сформулировать так: Истинное утверждение следует из чего угодно.

Кстати, если в сообщении #1632109, п. 3 доказано не только то, что $A\to (B\to A)$, но и то, что $A\to (\neg B\to A)$, то это больше соответствует формулировке "Истинное утверждение следует из чего угодно", чем аксиома $A\to (B \to A)$, потому что в этой аксиоме истинное утверждение следует не из чего угодно, а только из $B$ (но не из $\neg B$).

То есть при доказанном (если оно доказано) то, что $2 \times 2 = 4$ (утверждение $A$), не отменится не только в случае, если пойдет дождь, но и в случае, если он не пойдет.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632133 писал(а):

Кстати, если в сообщении #1632109, п. 3 доказано не только то, что $A\to (B\to A)$, но и то, что $A\to (\neg B\to A)$, то это больше соответствует формулировке "Истинное утверждение следует из чего угодно", чем аксиома $A\to (B \to A)$, потому что в этой аксиоме истинное утверждение следует не из чего угодно, а только из $B$ (но не из $\neg B$).

Но остается открытым вопрос, следует ли истинное утверждение из $C$, $D$, $X$ или из $\neg(Y\to (Z\wedge T))$.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1632147 писал(а):

Но остается открытым вопрос, следует ли истинное утверждение из $C$, $D$, $X$ или из $\neg(Y\to (Z\wedge T))$.

Здесь истинное утверждение $2 \times 2 = 4$ (утверждение $A$). Оно тождественно истинное, не знаю, можно ли сказать, что оно из чего-то следует. По-моему, его можно считать, так сказать, стартовым: из него вкупе с другими утверждениями может что-то следовать, а оно само ни из чего не следует, хотя не знаю.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632109 писал(а):

3.

Попробую на этом примере доказать аксиому

epros в сообщении #1632087 писал(а):

$A\to (B \to A)$

(тогда она перестанет быть аксиомой?).

Аксиому имеет смысл доказывать только в том случае, если Вы решили предложить другую аксиоматику того же самого. Какова Ваша аксиоматика, из которой Вы собрались это доказывать?

Vladimir Pliassov в сообщении #1632133 писал(а):

Кстати, если в сообщении #1632109
, п. 3 доказано не только то, что $A\to (B\to A)$, но и то, что $A\to (\neg B\to A)$, то это больше соответствует формулировке "Истинное утверждение следует из чего угодно", чем аксиома $A\to (B \to A)$, потому что в этой аксиоме истинное утверждение следует не из чего угодно, а только из $B$ (но не из $\neg B$).

Нет, Вы не поняли. $A\to (B\to A)$ означает, что истинное утверждения следует из чего угодно, потому что вместо пропозициональной переменной $B$ можно подставить что угодно. Даже $\neg B$.

Давайте я Вам продемонстрирую пример того, как аксиома $A\to (B\to A)$ выводится из альтернативной (не гильбертовской) аксиоматики исчисления высказываний. Итак, пусть мы хотим определить импликацию двумя правилами:
1) $A, A \to B \vdash B$ - modus ponens гласит, что если в аксиоматике есть утверждения $A$ и $A \to B$, то мы имеем право вывести утверждение $B$.
2) $(\mathcal{T},A \vdash B) \vdash (\mathcal{T} \vdash A \to B)$ - дедукция гласит, что если при добавлении к некой аксиоматике $\mathcal{T}$ утверждения $A$ выводится утверждение $B$, то мы имеем право считать, что в аксиоматике $\mathcal{T}$ выводится импликация $A \to B$.

Доказательство такое:
1) $\bullet A$ - гипотеза.
2) $\bullet \bullet B$ - гипотеза.
3) $\bullet \bullet A$ - применение гипотезы 1 в контексте гипотезы 2.
4) $\bullet B \to A$ - дедукция от 2 до 3.
5) $A \to (B \to A)$ - дедукция от 1 до 4.

Круглые маркеры слева показывают уровни вложенности гипотез. Каждая новая гипотеза увеличивает уровень вложенности на единицу. Таким образом, утверждения с круглыми маркерами слева являются гипотетическими, т.е. вообще говоря не доказанными. Но каждая дедукция снижает уровень вложенности гипотез на единицу. Таким образом, последнее утверждение 5 уже является не гипотетическим, а доказанным в общем случае (тавтологией). Как видите, первое правило, определяющее импликацию (modus ponens), мы здесь даже не использовали. Данная тавтология доказывается с использованием одного лишь правила дедукции.

[Gevin Magnus]

epros в сообщении #1632101 писал(а):

Обозначим причинно-следственную связь стрелкой $\Rightarrow$. Тогда Ваше утверждение запишется так: $(\neg A \Rightarrow \neg B) \Rightarrow (A \Rightarrow B)$. Вы уверены, что именно этого хотели бы от причинно-следственной связи?

Например, пусть есть машина с ручей рычагов, которые могут быть в положении 0 или 1. Каждый момент времени состояние рычагов меняется по неизвестному закону в зависимости от текущего положения, перед сменой рычагов мы можем внести свои изменения в любое положение. Так вот, состояние 1 рычага А является причиной следующего состояния 0 рычага Б, если бы перед сменой состояний мы перевели рычаг А в положение 0, и рычаг 2 оказался бы в положении 1. Это так называемая необходимая причина.
Такое же понимание в физике, при анализе причинно-следственных связей во временных парадоксах. Пусть мы отсылаем бит 0 в прошлое, там по неизвестному алгоритму нам поисылают бит А, спрятанный в конверте. Покажем, что 0 - причина А. Сменим отсылаемое состояние на 1, и если ответ в конверте тоже сменился, т.е. стал неА, тогда можно сделать временной парадокс - смотрим на бит в конверте, если А то отсылаем 1, если неА то 0

[Vladimir Pliassov]

У меня опять озарение!

Я вдруг увидел, что все пытался построить гибрид таблицы истинности и булевой функции, а это не получится и не нужно.

Вот это таблица истинности прямой импликации:

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

а это:

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline x&y&f(x, y)\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (2)$$

табличная запись бинарной булевой функции, которая в народе называется "прямая импликация".

epros в сообщении #1631999 писал(а):

Не стоит называть её импликацией, это жаргонизм. На самом деле это булева функция от двух аргументов, выражающая значение истинности импликации в зависимости от значений истинности её предпосылки и следствия.

И не надо их смешивать.

[svv]

[Vladimir Pliassov]

Почему?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
(1) и (2) же ничем не отличаются, кроме обозначений.
Думаю, дальнейшее пережёвывание этой темы и дальнейшие "озарения" по ней бесперспективны.
Вы говорите на каком-то своём языке и ищете понятные только Вам ответы на понятные только Вам вопросы.

Почитайте лучше книжки, и рано или поздно всё сложится в какую-то картину.
Например, эти:
Колмогоров, Драгалин. Математическая логика
Успенский, Верещагин, Плиско. Вводный курс математической логики

[Vladimir Pliassov]

Спасибо за рекомендацию литературы.

[epros]

Gevin Magnus в сообщении #1632232 писал(а):

Так вот, состояние 1 рычага А является причиной следующего состояния 0 рычага Б, если бы перед сменой состояний мы перевели рычаг А в положение 0, и рычаг 2 оказался бы в положении 1.

Я запутался в рычагах. Подозреваю, что то, что Вы хотели описать, называется конечный автомат.

Gevin Magnus в сообщении #1632232 писал(а):

Пусть мы отсылаем бит 0 в прошлое, там по неизвестному алгоритму нам поисылают бит А, спрятанный в конверте.

В битах я тоже уже запутался. Вообще-то я рекомендовал бы не экспериментировать с машиной времени. Но суть я понял - Вы хотите воспользоваться однозначностью решения задачи Коши: Вы считаете, что раз заданные начальные условия приводят к определённому конечному состоянию, то изменив начальные условия, мы изменим и конечное состояние. Так вот, это не так.

[Vladimir Pliassov]

1.

Mikhail_K в сообщении #1632243 писал(а):

Думаю, дальнейшее пережёвывание этой темы и дальнейшие "озарения" по ней бесперспективны.

Конечно, тему можно закрыть, но мне это будет очень жаль, во-первых, потому что мне большую радость доставляет общение с участниками форума, а во-вторых, потому что я еще не во всем разобрался по теме.

2.

Mikhail_K в сообщении #1632243 писал(а):

(1) и (2) же ничем не отличаются, кроме обозначений.

Как я понимаю, вот это:

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline x&y&f(x, y)\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (2)$$

бинарная булева функция "прямая импликация" в табличной записи (все же буду ее так называть, помня, что это условность), а вот эта таблица:

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

-- если под $P$, $Q$, а потому и под $P\to Q$, разумеются высказывания -- записью функции не является, потому что в ней $0$ и $1$ в качестве значений принимают не $P$, $Q$ и $P\to Q$, а их истинности, то есть аргументы, которые в таблице (1) не указаны.

[$P$, $Q$ и тем более $P\to Q$ принимают не два, а бесконечно много значений, так как для $P$ и $Q$ существует бесконечное множество высказываний.

К тому же $0$ и $1$ вообще не могут быть значениями $P$, $Q$ и $P\to Q$, потому что $P$, $Q$ и $P\to Q$ могут в качестве значений принимать только высказывания, а $0$ и $1$ это не высказывания -- в высказывании должен быть субъект (подлежащее) и предикат (сказуемое).]

Так что, если под $P$ и $Q$ разумеются высказывания, то (1) это именно таблица истинности высказываний, но не функция.

epros в сообщении #1631877 писал(а):

В заголовке таблицы это

то есть $P$

epros в сообщении #1631877 писал(а):

может быть и высказывание. Главное, чтобы в остальных строках таблицы были значения истинности.

epros в сообщении #1631955 писал(а):

если Вас смущает, что в заголовке - утверждения, а в остальных строках - значения их истинности, то можете обозначить значения истинности утверждений как $\mu(P)$, $\mu(Q)$ и $\mu(P \to Q)$ и записать это в заголовок.

Если же под $P$ и $Q$ разумеются истинности высказываний $\mathcal P$ и $\mathcal Q$, то таблица (1) -- с $P\to Q$ в заголовке -- не верна, потому что, например, пусть $x\in \mathbb N$, возьмем утверждения:

$\mathcal P=,

$\mathcal Q=.

1) Из того, что $x$ (например, $x=6$) не делится на $4$, не следует, что $x$ не делится на $2$.

2) Из того, что $x$ (например, $x=5$) не делится на $4$, не следует, что $x$ делится на $2$.

Верной будет таблица

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P\wedge Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1-a)$$

с $P\wedge Q$ в заголовке:

1) $x$ не делится на $4$ и не делится на $2$ -- бывает (например, $5$),

2) $x$ не делится на $4$ и делится на $2$ -- бывает (например, $6$),

3) $x$ делится на $4$ и не делится на $2$ -- не бывает,

4) $x$ делится на $4$ и делится на $2$ -- бывает (например, $8$).


3.

epros в сообщении #1632197 писал(а):

Доказательство такое:
1) $\bullet A$ - гипотеза.
2) $\bullet \bullet B$ - гипотеза.
3) $\bullet \bullet A$ - применение гипотезы 1 в контексте гипотезы 2.
4) $\bullet B \to A$ - дедукция от 2 до 3.
5) $A \to (B \to A)$ - дедукция от 1 до 4.

Над этим думаю.

[Gevin Magnus]

epros в сообщении #1632276 писал(а):

Вы считаете, что раз заданные начальные условия приводят к определённому конечному состоянию, то изменив начальные условия, мы изменим и конечное состояние. Так вот, это не так.

Тогда нельзя говорить о причине (необходимой)

[tolstopuz]

epros в сообщении #1632101 писал(а):

Gevin Magnus в сообщении #1632093 писал(а):

А - причина Б, если "если бы не было А, то не было и Б (при прочих равных)"

Обозначим причинно-следственную связь стрелкой $\Rightarrow$. Тогда Ваше утверждение запишется так: $(\neg A \Rightarrow \neg B) \Rightarrow (A \Rightarrow B)$. Вы уверены, что именно этого хотели бы от причинно-следственной связи?

По-моему, все правильно. Необходимая причина для $B$ - это такое $A$, без которого $B$ не наступает, то есть $A\Rightarrow B$ как раз и означает $B\to A$.

Например, $2\times 2=4$ является необходимой причиной любого утверждения :)