Импликация - это утверждение. Да, в классической логике его значение истинности можно определить через значения истинности предпосылки и следствия.
Давайте, что ли, я расскажу как. В
аксиоматике исчисления высказываний есть аксиома 1:
![$A\to (B \to A)$ $A\to (B \to A)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/c/c7c1fe3ab93f047ae58a6fe093e3a7eb82.png)
и есть аксиома 9:
![$\neg A \to(A \to B)$ $\neg A \to(A \to B)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/e/89e92cf0289f20883bdbd04bd989a29e82.png)
.
Первое означает, что то, что известно из каких-то общих соображений, не отменится в случае добавления неких частных условий. Т.е. если из общих соображений известно, что
![$2 \times 2 = 4$ $2 \times 2 = 4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/4/ca4b1a6d26a9eee16794c6bf1748de7082.png)
(утверждение
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
), то это не отменится, если предположить, что "Идёт дождь" (утверждение
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
). Это можно сформулировать так: Истинное утверждение следует из чего угодно.
Второе - это то самое ex falso quodlibet (из ложного утверждения следует что угодно).
Заранее зная, что логика у нас двузначная (вообще-то это нужно доказывать), из этих двух аксиом легко увидеть, что при значениях истинности аргументов
![$(0,0)$ $(0,0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/6/e660f3b58b414524ec6f82741102107382.png)
,
![$(0,1)$ $(0,1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/5/1e5ba49ae6981862f61b4d510dcf29af82.png)
и
![$(1,1)$ $(1,1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/8/6a8b4ac498753592cf18e12e85ace49182.png)
импликация будет истинной. А значит при значении аргументов
![$(1,0)$ $(1,0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/8/7c86bb093e466f9ed0dfc9620485830882.png)
она должна быть ложной, поскольку иначе получилась бы тождественная истина, независимо от аргументов.
Вообще-то аксиома 1 вызывает критики даже больше, чем аксиома 9. Потому что именно она утверждает, что
![$2 \times 2 = 4$ $2 \times 2 = 4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/4/ca4b1a6d26a9eee16794c6bf1748de7082.png)
следует из "Идёт дождь". Хотя, вроде бы, мы все знаем, что
![$2 \times 2 = 4$ $2 \times 2 = 4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/4/ca4b1a6d26a9eee16794c6bf1748de7082.png)
должно следовать из аксиом Пеано. Но на самом деле всё правильно: В рамках общих условий истнности аксиом арифметики
![$2 \times 2 = 4$ $2 \times 2 = 4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/4/ca4b1a6d26a9eee16794c6bf1748de7082.png)
можно считать следствием чего угодно, в том числе того, что "Идёт дождь".