1.
Раз импликация это причинно-следственная связь и импликация может быть как истинной, так и ложной, то и причинно-следственная связь может быть как истинной, так и ложной.
2.
Когда аксиомы уже даны, можно работать, не задаваясь вопросом, откуда они взялись. Это я к тому, что на мой вопрос:
"Откуда взялось это правило: "Импликация ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно?" --
можно не простить ответа, а просто, исходя из этого правила, проводить логическую операцию, поверяя, истинная импликация или ложная.
Но у нас сейчас речь идет именно о том, что положить до начала логической операции, из чего исходить, какие взять правила, аксиомы, какие утверждения назначить истинными, а какие ложными и т. д..
При построении любой бинарной логической функции можно взять четыре конъюнкции (об этом в предыдущих постах) и из них исключить несколько штук, числом от
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
до
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
. Если не исключить ни одной, получим тождественную единицу, если исключить все четыре, получим тождественный нуль, исключить только первую -- получим дизъюнкцию и так далее.
При решении практических задач с использованием этих функций надо решить, какие конъюнкции исключать, и, как я понимаю, исключать надо конъюнкции, которые
по нашим представлениям являются невозможными. Их не надо путать с ложными.
Например, пусть исходные утверждения "Дождь идет" и
![$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/d/87d3aa05b48de12aeae31ca499149b6682.png)
оба полагаются истинными
(утверждение "Дождь идет" назначается истинным по свободному выбору между "Дождь идет" и "Дождь не идет", а
![$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/d/87d3aa05b48de12aeae31ca499149b6682.png)
-- из аксиоматики Пеано),
а "Дождь не идет" и
![$ $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/3/22379ae020d70a545a736ba107102ae482.png)
-- ложными.
Тогда конъюнкция "Дождь не идет"
![$ $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/f/1ff1dbc1451d708afcdfece61a4fdc0a82.png)
ложная (потому что состоит не из одних только истинных утверждений), но при этом возможная: может быть такое, что дождь не идет и вместе с тем
![$2\times 2 = 4$ $2\times 2 = 4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d63e62492ae342ce78ae3afe87082ddb82.png)
.
А конъюнкция "Дождь идет"
![$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/d/0ad02575e6ce1847671145bf412aa34f82.png)
ложная и невозможная (потому что не может быть такого, чтобы шел дождь и при этом было
![$2\times 2 \ne 4$ $2\times 2 \ne 4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/7/117036859a6409b5d59fb369d49fb7a182.png)
).
3.
Попробую на этом примере доказать аксиому
(тогда она перестанет быть аксиомой?).
Пусть
![$B= \text { $B= \text {](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/7/5f7baa13f05597030e468e6650d697af82.png)
,
![$\neg B= \text { $\neg B= \text {](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/1/f4187530ff870bc54e70108022f7fbff82.png)
,
![$A= $A=](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/1/d81d3a621d75427628102c607a6ebebf82.png)
,
![$\neg A= $\neg A=](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/e/c0eb7e1942145a3bccb667b667a717ba82.png)
.
Составим четыре конъюнкции:
1)
![$\neg B\wedge \neg A$ $\neg B\wedge \neg A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/5/775dd4c9091cca2f5c2a234b2528781c82.png)
,
2)
![$\neg B\wedge A$ $\neg B\wedge A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/4/3b4f9e3246eeeddab166b791ce432a6082.png)
,
3)
![$B\wedge \neg A$ $B\wedge \neg A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/6/d96ea158b25f2bc215704e02a31180e782.png)
,
4)
![$B\wedge A$ $B\wedge A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/b/ebbc88ac790100f3f07ba3099808585c82.png)
,
и исключим первую и третью (обведем их траурными рамками) как невозможные:
1)
![$\boxed {\neg B\wedge \neg A}$ $\boxed {\neg B\wedge \neg A}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/1/3f179c38adc1c6c44769ae74a8fe5b4c82.png)
,
2)
![$\neg B\wedge A$ $\neg B\wedge A$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/4/3b4f9e3246eeeddab166b791ce432a6082.png)
,
3)
![$\boxed {B\wedge \neg A}$ $\boxed {B\wedge \neg A}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/3/b1365ced099461e7147c610771787b3a82.png)
,
4)
![$B\wedge A$ $B\wedge A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/b/ebbc88ac790100f3f07ba3099808585c82.png)
,
получим функцию -- не знаю, как она называется, но в ней из
![$\neg B$ $\neg B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/3/2935b8e5b8c93a7529f3f21e7e9e9ebe82.png)
и из
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
следует
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
, то есть имеем
![$A\to (\neg B\to A)$ $A\to (\neg B\to A)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/a/d9a58fff19020e4bbafde47e36d6856982.png)
и
![$A\to (B\to A)$ $A\to (B\to A)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/0/8208ca868340b71365c233f5a656dacb82.png)
, то есть доказано (если доказано) не только что
![$A\to (B\to A)$ $A\to (B\to A)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/0/8208ca868340b71365c233f5a656dacb82.png)
, но и то, что
![$A\to (\neg B\to A)$ $A\to (\neg B\to A)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/a/d9a58fff19020e4bbafde47e36d6856982.png)
.
Кстати, о таких причинно-следственных связях в бинарных логических функциях я не говорил, не придавал им значения, потому что они, так сказать, не инъективные, то есть из двух разных значений операнда следует одно и то же значение другого операнда, но, как вижу, зря (даже если не доказал аксиому).
Доказал?