Импликация и другие логические связки

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632594 писал(а):

Разумеется, доказательство не претендует на совершенство, но идея понятна?

Я вижу, Вы не восприняли то, что я только что написал.

Vladimir Pliassov в сообщении #1632594 писал(а):

Если невозможно доказать, что утверждение ложно, то оно истинно.

Может быть, надо такую аксиому ввести (если ее нет)?

Идея никуда не годится. "Если невозможно утверждать ложность, то утверждение истинно" - такова "человеческая" формулировка закона снятия двойного отрицания (он эквивалентен закону исключённого третьего). Вот такую аксиому можно было бы ввести (уже ввели).

Но в Вашей формулировке есть слово "доказать", а это совсем другое. Тут нужно уточнять в какой аксиоматике доказать. Поэтому в Вашей формулировке аксиому ввести нельзя.

Vladimir Pliassov в сообщении #1632594 писал(а):

А доказать, что утверждение ложно, нельзя, потому что это условное утверждение: его посылка начинается словом "если", и это исключает возможность доказательства его ложности.

Это ниоткуда не следует.

Vladimir Pliassov в сообщении #1632594 писал(а):

Как же нет? А то, что можно доказать два противоречащих друг другу утверждения: $x\in A$ и $x\notin A$, -- это разве не парадокс? Или это не в ней?

В противоречивой аксиоматике доказать можно что угодно. Но это не означает, что всё доказанное - истина. Так что закон непротиворечия не нарушен.

Vladimir Pliassov в сообщении #1632594 писал(а):

epros в сообщении #1632590 писал(а):

В классической логике ... есть то, что кому-то (в частности, мне) не нравится.

Вот это?

epros в сообщении #1632562 писал(а):

А когда они потом решили, что значений истинности у утверждений должно быть только два (что с моей точки зрения - не самое удачное решение)

Да.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1632598 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1632594 писал(а):

А доказать, что утверждение ложно, нельзя, потому что это условное утверждение: его посылка начинается словом "если", и это исключает возможность доказательства его ложности.

Это ниоткуда не следует.

Интуитивно чувствую, что это так, но логически обосновать не могу.

[Gevin Magnus]

epros в сообщении #1632562 писал(а):

Тогда однозначно Ваша "причинно-следдственная связь" - это логическая эквивалентность. Поскольку должна действовать в обе стороны.

Ну наверное, тогда направленность причинности зависит от стрелы времени

epros в сообщении #1632562 писал(а):

Правильно ли я понял, что если $x_n = A \to x_{n+1} = B$ и $x_n = C \to x_{n+1} = B$, то Вы предлагаете разбить состояние $B$ на подсостояния $B_1$ и $B_2$, считая, что за состоянием $A$ следует $B_1$, а за состоянием $C$ - $B_2$? И далее тащить это разделение на подсостояния на всё, что следует за состоянием $B$?

Надеетесь таким образом превратить необратимый процесс в обратимый?

Ну вообще таки наоборот, я это делал для обратимых систем чтобы показать, что с ними не все так гладко (ведь если система глобально обратима во времени, то для подсистем такое сказать нельзя)

epros в сообщении #1632562 писал(а):

Типа, "на самом деле" коллапса волновой функции не происходит, а видимое конкретным наблюдателем - это результат расщепления универса на разные случаи?

Как раз я тут считаю наоборот, даже если предположить расщипление универса, то это не объяснит наблюдаемый коллапс

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632594 писал(а):

А когда они потом решили, что значений истинности у утверждений должно быть только два (что с моей точки зрения - не самое удачное решение)

В анкетах пишут: "Да, нет, не знаю (нужное подчеркнуть)"

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1632598 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1632594 писал(а):

А доказать, что утверждение ложно, нельзя, потому что это условное утверждение: его посылка начинается словом "если", и это исключает возможность доказательства его ложности.

Это ниоткуда не следует.

Может быть, поискать здесь:

Ходжа Насреддин сказал: "Если $x$ принадлежит пустому множеству, то мой ишак может говорить. Если он ничего не скажет, отрубите мне голову. Но сначала вы должны показать, что в пустом множестве есть $x$."

Для Ходжи Насреддина никакой опасности не представляет его заявление, потому что невозможно показать, что в пустом множестве есть $x$."

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632623 писал(а):

Если он ничего не скажет, отрубите мне голову. Но сначала вы должны показать, что в пустом множестве есть $x$.

Я бы не советовал рисковать головой из-за игры словами. В конце концов найдётся фокусник, который извлечёт кролика из шляпы и скажет: "Вы же видели, что она была пустая. Ваше определение пустого множества не нарушено". Слова "доказать" или "показать" несут риск, что доказывать будут в противоречивой аксиоматике, а в ней, как известно, можно доказать что угодно. И наоборот: Недоказуемое - не значит ложное. Теорема Гудстейна недоказуема в арифметике Пеано первого порядка, но считается истинной.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1632475 писал(а):

Vladimir Pliassov, чего Вы пытаетесь добиться?

Vladimir Pliassov в сообщении #1632410 писал(а):

Однако, если понимать импликацию как высказывание, то ложная импликация это просто одно из ложных высказываний, а вовсе не импликация с истинной посылкой и ложным заключением

Ложная импликация - это просто одно из ложных высказываний. При этом в классической логике это означает, что у неё истинная посылка и ложное заключение.

Спасибо, понял! Не буду рассказывать, в чем заключалось мое недоразумение.

Если импликация как высказывание не соответствует действительности, то она имеет истинную посылку и ложное заключение.

Пусть $\mathcal P=(\exists y~2 \times y = x)$, $\mathcal Q=(\exists y~3 \times y = x)$.

epros в сообщении #1632475 писал(а):

утверждение:
$\forall x~x \notin N_3 \to ((\exists y~2 \times y = x) \to (\exists y~3 \times y = x))$
- истинно.

И импликация $(\exists y~2 \times y = x) \to (\exists y~3 \times y = x)$ в данном случае истинна, потому что у неё не может быть ложное заключение при истинной посылке, ибо это исключено условием $x \notin N_3$.

А при $x \notin N_4$ она ложна, во-первых, потому что не соответствует действительности, а во-вторых, потому что при $x \notin N_4$ утверждение $\mathcal Q$ -- в связке $\mathcal P\to \mathcal Q$ -- является ложным, а утверждение $\mathcal P$ -- истинным.

(В связке $\mathcal Q\to \mathcal P$ при $x \notin N_4$ утверждение $\mathcal P$ является ложным, а утверждение $\mathcal Q$ -- истинным.)

[Gevin Magnus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632586 писал(а):

Оно основывается, так сказать, на презумпции невиновности: если невозможно доказать, что утверждение ложно, оно считается истинным.

Это верно только утверждений специального вида

Vladimir Pliassov в сообщении #1632586 писал(а):

Но также верна импликация $x\in \varnothing \to x\notin A$, то есть доказаны два противоречащих друг другу утверждения: $x\in A$ и $x\notin A$ (какое из них истинное, а какое ложное

Неверно, не доказаны. Чтобы их вывести, вам надо применить modus ponens, а это можно сделать только с верной посылкой. Так что никаких парадоксов

-- 13.03.2024, 15:01 --

epros в сообщении #1632653 писал(а):

Я бы не советовал рисковать головой из-за игры словами. В конце концов найдётся фокусник, который извлечёт кролика из шляпы и скажет: "Вы же видели, что она была пустая. Ваше определение пустого множества не нарушено". Слова "доказать" или "показать" несут риск, что доказывать будут в противоречивой аксиоматике, а в ней, как известно, можно доказать что угодно.

Это уже какая-то демагогия Вы сомневаетесь в $ x\in \varnothing \to A$?

-- 13.03.2024, 15:37 --

epros в сообщении #1632653 писал(а):

Теорема Гудстейна недоказуема в арифметике Пеано первого порядка, но считается истинной.

А если к ней найдут контрпример, будет ли это означать ложность арифметики второго порядка?

[Vladimir Pliassov]

Gevin Magnus в сообщении #1632683 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1632586 писал(а):

Оно основывается, так сказать, на презумпции невиновности: если невозможно доказать, что утверждение ложно, оно считается истинным.

Это верно только утверждений специального вида

Для какого вида утверждений?

Gevin Magnus в сообщении #1632683 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1632586 писал(а):

Но также верна импликация $x\in \varnothing \to x\notin A$, то есть доказаны два противоречащих друг другу утверждения: $x\in A$ и $x\notin A$ (какое из них истинное, а какое ложное

Неверно, не доказаны. Чтобы их вывести, вам надо применить modus ponens, а это можно сделать только с верной посылкой.

Я думаю, закон "из лжи следует что угодно" уже доказан, так что доказаны и два противоречащих друг другу утверждения: $x\in A$ и $x\notin A$. Или нет?

Gevin Magnus в сообщении #1632683 писал(а):

Так что никаких парадоксов

Вы хотите сказать, что нет парадоксов импликации?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632688 писал(а):

Я думаю, закон "из лжи следует что угодно" уже доказан, так что доказаны и два противоречащих друг другу утверждения: $x\in A$ и $x\notin A$. Или нет?

Нет.
Доказано, что $x\in\varnothing\,\to\,x\in A$ и доказано, что $x\in\varnothing\,\to\,x\notin A$.
Если бы было доказано ещё, что $x\in\varnothing$, то отсюда можно было бы вывести два противоречащих друг другу утверждения: $x\in A$ и $x\notin A$.
Но так как не доказано (и не может быть доказано), что $x\in\varnothing$, то ни $x\in A$, ни $x\notin A$ вывести не получится.

-- 13.03.2024, 15:55 --

А утверждения $x\in\varnothing\,\to\,x\in A$ и $x\in\varnothing\,\to\,x\notin A$ не противоречат друг другу.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1632690 писал(а):

Доказано, что $x\in\varnothing\,\to\,x\in A$ и доказано, что $x\in\varnothing\,\to\,x\notin A$.
Если бы было доказано ещё, что $x\in\varnothing$, то отсюда можно было бы вывести два противоречащих друг другу утверждения: $x\in A$ и $x\notin A$.
Но так как не доказано (и не может быть доказано), что $x\in\varnothing$, то ни $x\in A$, ни $x\notin A$ вывести не получится.

Спасибо, понятно. Так значит, парадоксы только в том, что:

Цитата:

Если $B$ истинно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности $A$. ...

Если $A$ ложно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности $B$. ...

Если $A$ является противоречивым (тождественно ложным) утверждением, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности $B$. ...

Если $B$ является тавтологией (то есть утверждением, истинным при любом содержании; такие утверждения выражают логические законы), то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности $A$. ...

? Но если из результата применения закона "из лжи следует что угодно" нельзя ничего вывести, как парадоксы могут навредить?

Mikhail_K в сообщении #1632690 писал(а):

А утверждения $x\in\varnothing\,\to\,x\in A$ и $x\in\varnothing\,\to\,x\notin A$ не противоречат друг другу.

Потому что "из лжи следует что угодно"?

[Gevin Magnus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632693 писал(а):

Спасибо, понятно. Так значит, парадоксы только в том, что:

Где парадоксы то?

Vladimir Pliassov в сообщении #1632693 писал(а):

Потому что "из лжи следует что угодно"?

Нет, потому что они не являются отрицаниями друг друга. Напишите их отрицания

[Vladimir Pliassov]

Gevin Magnus в сообщении #1632694 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1632693 писал(а):

Спасибо, понятно. Так значит, парадоксы только в том, что:

Где парадоксы то?

В Википедии, в статье "Парадокс импликации" то, что я процитировал, называют парадоксами.

Gevin Magnus в сообщении #1632694 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1632693 писал(а):

Потому что "из лжи следует что угодно"?

Нет, потому что они не являются отрицаниями друг друга. Напишите их отрицания

Если отрицание прямой импликации это обратная импликация, то

$\neg (x\in\varnothing\,\to\,x\in A)=(x\in A\to x\in\varnothing)$,

$\neg (x\in\varnothing\,\to\,x\notin A)=(x\notin A\to x\in\varnothing)$,

$(x\in\varnothing\,\to\,x\notin A)\ne \neg (x\in\varnothing\,\to\,x\in A)=(x\in A\to x\in\varnothing)$,

$(x\in\varnothing\,\to\,x\in A)\ne \neg (x\in\varnothing\,\to\,x\notin A)=(x\notin A\to x\in\varnothing)$.

Если правильно, то понятно, спасибо!

[Dedekind]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632695 писал(а):

Если отрицание прямой импликации это обратная импликация

Да откуда Вы это берете?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1632695 писал(а):

Если отрицание прямой импликации это обратная импликация

Нет.
Отрицание утверждения - это утверждение, которое верно тогда и только тогда, когда исходное утверждение неверно.
$B\to A$ не может быть отрицанием для $A\to B$, потому что, например, если $A$ и $B$ оба верны, то верно и $A\to B$, и $B\to A$.
Чтобы построить отрицание к импликации, разберитесь, как строятся отрицания для логических формул, содержащих операции конъюнкции и дизъюнкции, и как импликация выражается в виде такой формулы.
В любых учебниках по математической логике об этом говорится.