Импликация и другие логические связки

[manul91]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631842 писал(а):

Но $P\to Q$ это не причинно-следственная связь, потому что $Q$ не зависит от $P$.
$P$ и $Q$ друг от друга не зависят -- аргументы функции от двух аргументов не зависят друг от друга. Правильно?

Нет.
Стрелку $\to$ совершенно не заботит, "зависят" или нет ее два аргумента друг от друга. Коль скоро их значение истинности определено, определено и значение истинности всей связки $P\to Q$.
Вот например $(Z)\to(Z \land \lnot Z)$ два аргумента по обоих сторон $(Z)$ и $(Z \land \lnot Z)$ зависимы, стрелку $\to$ это не колышет; коль скоро определено значение $Z$ то определено и значение обоих аргументов $(Z)$ и $(Z \land \lnot Z)$ - а значит, определено и значение истинности всей связки $(Z)\to(Z \land \lnot Z)$ согласно таблице.
Точно так же в обычной алгебре функцию $f(x,y)$ совершенно не заботит, зависимы или нет ее аргументы друг от друга и спокойно можно ей пользоваться чтобы вычислять например $f(g(z), q(z))$; функция $f$ не меняется от того что ей подсовывать, она остается той же самой.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631843 писал(а):

определитесь, что у Вас такое $P$ и $Q$

Утверждения $P$ и $Q$ или просто переменные, они как аргументы функции от двух аргументов не зависят друг от друга, в частности $Q$ не зависит от $P$ -- согласны ли Вы с этим? Если Вы согласны с этим, то согласны и с тем, что $P\to Q$ это не причинно-следственная связь.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631850 писал(а):

они как аргументы функции от двух аргументов не зависят друг от друга, в частности $Q$ не зависит от $P$ -- согласны ли Вы с этим?

Не знаю, какой смысл Вы придаёте этому высказыванию.

Понятно, что $P$ и $Q$ - переменные. Вопрос в том, какие переменные. Пропозициональные переменные, которые записываются в формулах исчисления высказываний, представляют собой утверждения. Т.е. в качестве значений таких переменных можно подставить: "Москва - столица России", "$x=5$" и подобные этому вещи. А если Вы хотите в качестве значений $P$ и $Q$ подставлять "истинно" или "ложно", то это будут переменные уже другого рода. Когда Вы заполняете таблицу значений истинности для импликации, то туда вносятся не значения самих пропозициональных переменных, а значения истинности соответствующих утверждений.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631856 писал(а):

Понятно, что $P$ и $Q$ - переменные. Вопрос в том, какие переменные. Пропозициональные переменные, которые записываются в формулах исчисления высказываний, представляют собой утверждения. Т.е. в качестве значений таких переменных можно подставить: "Москва - столица России", "$x=5$" и подобные этому вещи. А если Вы хотите в качестве значений $P$ и $Q$ подставлять "истинно" или "ложно", то это будут переменные уже другого рода. Когда Вы заполняете таблицу значений истинности для импликации, то туда вносятся не значения самих пропозициональных переменных, а значения истинности соответствующих утверждений.

Спасибо! Вы мне кое-что объяснили.

В таблице истинности

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

$P$ это не высказывание ".............", а его истинность. Высказывание может быть любым, вместо точек можно подставить "Москва - столица России", можно "$x=5$" -- любое высказывание.

То же самое касается $Q$.

Я хочу сказать, что истинность $Q$ высказывания $\mathcal Q$ не зависит от истинности $P$ высказывания $\mathcal P$, то есть $Q$ и $P$ из таблицы (1)
не зависят друг от друга, значит, $P\to Q$ это не причинно-следственная связь. Правильно?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631862 писал(а):

В таблице истинности

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

$P$ это не высказывание ".............", а его истинность.

В заголовке таблицы это может быть и высказывание. Главное, чтобы в остальных строках таблицы были значения истинности.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631862 писал(а):

Я хочу сказать, что истинность $Q$ высказывания $\mathcal Q$ не зависит от истинности $P$ высказывания $\mathcal P$, то есть $Q$ и $P$ из таблицы (1)
не зависят друг от друга, значит, $P\to Q$ это не причинно-следственная связь. Правильно?

Импликация - это утверждение. Да, в классической логике его значение истинности можно определить через значения истинности предпосылки и следствия. Но отсюда не следует никаких философских выводов. А рассуждения на тему "что такое причинно-следственная связь" - это и есть философия.

Вообще-то импликация изначально и задумывалась для выражения причинно-следственной связи. По крайней мере, при формализации текста на естественном языке она заменяет слово "следовательно". Но поскольку в жизни эти "следования" могут оказаться довольно неожиданными (например, $2 \times 2 = 4$ может следовать из "Идёт дождь"), некоторые не принимают "классическую" импликацию и пытаются развивать неклассические логики.

[epros]

epros в сообщении #1631877 писал(а):

Импликация - это утверждение. Да, в классической логике его значение истинности можно определить через значения истинности предпосылки и следствия.

Давайте, что ли, я расскажу как. В аксиоматике исчисления высказываний есть аксиома 1:
$A\to (B \to A)$
и есть аксиома 9:
$\neg A \to(A \to B)$.

Первое означает, что то, что известно из каких-то общих соображений, не отменится в случае добавления неких частных условий. Т.е. если из общих соображений известно, что $2 \times 2 = 4$ (утверждение $A$), то это не отменится, если предположить, что "Идёт дождь" (утверждение $B$). Это можно сформулировать так: Истинное утверждение следует из чего угодно.

Второе - это то самое ex falso quodlibet (из ложного утверждения следует что угодно).

Заранее зная, что логика у нас двузначная (вообще-то это нужно доказывать), из этих двух аксиом легко увидеть, что при значениях истинности аргументов $(0,0)$, $(0,1)$ и $(1,1)$ импликация будет истинной. А значит при значении аргументов $(1,0)$ она должна быть ложной, поскольку иначе получилась бы тождественная истина, независимо от аргументов.

Вообще-то аксиома 1 вызывает критики даже больше, чем аксиома 9. Потому что именно она утверждает, что $2 \times 2 = 4$ следует из "Идёт дождь". Хотя, вроде бы, мы все знаем, что $2 \times 2 = 4$ должно следовать из аксиом Пеано. Но на самом деле всё правильно: В рамках общих условий истнности аксиом арифметики $2 \times 2 = 4$ можно считать следствием чего угодно, в том числе того, что "Идёт дождь".

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631877 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1631862 писал(а):

В таблице истинности

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

$P$ это не высказывание ".............", а его истинность.

В заголовке таблицы это может быть и высказывание. Главное, чтобы в остальных строках таблицы были значения истинности.

То есть можно так:

1) имеем истинность $P$ высказывания $\mathcal P$ и истинность $Q$ высказывания $\mathcal Q$ и в заголовок таблицы (1) записываем истинность $P$ и истинность $Q$ (то есть пишем туда буквы $P$ и $Q$), а высказывание $\mathcal P$ и высказывание $\mathcal Q$ (то есть буквы $\mathcal P$ и $\mathcal Q$) в таблицу не попадают.

А можно так:

2) в таблицу (1) записываем высказывание $P$ и высказывание $Q$, а обозначения $\mathcal P$ и $\mathcal Q$ не нужны.

Правильно? Или можно только 1) или только 2)?

[manul91]

Vladimir Pliassov Просто в заголовках таблицы вместо $P$ можно подставить "Идёт дождь", вместо $Q$ можно подставить "$2 \times 2 = 4$", и соответно заголовок $P \to Q$ станет "Идёт дождь"$\to$"$2 \times 2 = 4$". Единицы и нули будут истинности этих утверждений, и соответно их связки (импликации).
В заголовках пишут $P$, $Q$ а не конкретные тексты "...." просто потому что таблица истинности одна и та же для любых утверждений, что бы не подсовывалось для $P$ и $Q$.
То же самое как таблица истинности для логического и $\land$.
Или как например в математике пишут общий случай $f(x,y)=x + 2y$; а не $f(3,7)=3 + 2\cdot7$ или $f(5,9)=5 + 2\cdot9$ - потому что функция $f$ действует одинаково с любыми числами $x$ и $y$, а не только с $3$ и $7$, или $5$ и $9$.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631930 писал(а):

То есть можно так:

1) имеем истинность $P$ высказывания $\mathcal P$ и истинность $Q$ высказывания $\mathcal Q$ и в заголовок таблицы (1) записываем истинность $P$ и истинность $Q$ (то есть пишем туда буквы $P$ и $Q$), а высказывание $\mathcal P$ и высказывание $\mathcal Q$ (то есть буквы $\mathcal P$ и $\mathcal Q$) в таблицу не попадают.

А что укажете в заголовке таблицы в последнем столбце?

Вообще-то последний вариант таблицы был нормальный. Но если Вас смущает, что в заголовке - утверждения, а в остальных строках - значения их истинности, то можете обозначить значения истинности утверждений как $\mu(P)$, $\mu(Q)$ и $\mu(P \to Q)$ и записать это в заголовок.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631955 писал(а):

Вообще-то последний вариант таблицы был нормальный.

Имеется в виду

"2) в таблицу

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

записываем высказывание $P$ и высказывание $Q$"

epros в сообщении #1631955 писал(а):

Но если Вас смущает, что в заголовке - утверждения, а в остальных строках - значения их истинности, то можете обозначить значения истинности утверждений как $\mu(P)$, $\mu(Q)$ и $\mu(P \to Q)$ и записать это в заголовок.

Я думаю, это лучше всего, то есть совершенно правильно. Здесь имеется тонкий момент, это видно из следующего поста:

epros в сообщении #1631955 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1631930 писал(а):

То есть можно так:

1) имеем истинность $P$ высказывания $\mathcal P$ и истинность $Q$ высказывания $\mathcal Q$ и в заголовок таблицы (1) записываем истинность $P$ и истинность $Q$ (то есть пишем туда буквы $P$ и $Q$), а высказывание $\mathcal P$ и высказывание $\mathcal Q$ (то есть буквы $\mathcal P$ и $\mathcal Q$) в таблицу не попадают.

А что укажете в заголовке таблицы в последнем столбце?

В самом деле, а что тогда указать в заголовке таблицы в последнем столбце? Казалось бы: "$P\to Q$", --

при определенных значениях $P$ и $Q$ мы имеем четыре варианта $P\to Q$, и каждому варианту будет соответствовать $0$ или $1$ в последнем столбце.

Но дело в том, что $P\to Q$ это не есть значение истинности утверждения $\mathcal P\to \mathcal Q$, и, строго говоря, не может быть вписано в таблицу в качестве такового.

Однако, как я понимаю, существует условность, по которой в

epros в сообщении #1631955 писал(а):

в заголовке - утверждения, а в остальных строках - значения их истинности,

manul91 в сообщении #1631941 писал(а):

в заголовках таблицы вместо $P$ можно подставить "Идёт дождь", вместо $Q$ можно подставить "$2 \times 2 = 4$", и соответно заголовок $P \to Q$ станет "Идёт дождь"$\to$"$2 \times 2 = 4$". Единицы и нули будут истинности этих утверждений, и соответно их связки (импликации).

Но тут надо понимать, что это условность и что $0$ и $1$ являются значениями не утверждений (высказываний) $P$, $Q$ и $P\to Q$ -- которые вписаны в таблицу, -- а их истинностей, -- которые в таблицу не вписаны. (Значение $0$ или $1$ получает истинность утверждения, но не само утверждение.)

Правильно?

[Dedekind]

У меня небольшой вопрос методологического характера (наверное, на усмотрение модератора, можно отделить его в Вопросы преподавания). Могут ли уважаемые математики объяснить: вся эта словесная эквилибристика на 7 страниц темы действительно несет глубокий смысл? Я имею в виду, если мне при знакомстве с импликацией (которое заняло у меня ровно 15 минут) даже в страшном сне не приходили в голову такие вопросы как ТС - это значит что я тупой, и упустил какую-то глубинную суть этой операции? Или вся эта тема - действительно переливание из пустого в порожнее элементарных вещей?

P.S. Vladimir Pliassov, прошу не обижаться, если Вам мои слова показались резкими, я ни в коем случае не хотел давать оценку Вам лично или Вашему стилю обучения. Я прекрасно понимаю, что все осваивают материал в разном темпе и разными способами, в которых нет ничего предосудительного. Просто хотелось бы выяснить для себя объективную (насколько это возможно) значимость всех этих рассуждений.

[EminentVictorians]

Dedekind в сообщении #1631979 писал(а):

Я имею в виду, если мне при знакомстве с импликацией (которое заняло у меня ровно 15 минут) даже в страшном сне не приходили в голову такие вопросы как ТС

И вот так сразу легко и без проблем приняли тот факт, что, например, высказывание "Если $2 \cdot 2 = 5$, то $2 \cdot 2 = 4$" истинно? Просто лично у меня таблица истинности импликации сразу вызвала вопросы.

[Vladimir Pliassov]

EminentVictorians в сообщении #1631982 писал(а):

И вот так сразу легко и без проблем приняли тот факт, что, например, высказывание "Если $2 \cdot 2 = 5$, то $2 \cdot 2 = 4$" истинно?

А вот вопрос.

Если я правильно понимаю, вот здесь:

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

четыре импликации:

1) $(P=0)\to (Q=0)$ (истинная),

2) $(P=0)\to (Q=1)$ (истинная),

3) $(P=1)\to (Q=0)$ (ложная),

4) $(P=1)\to (Q=1)$ (истинная), --

из них только четвертая представляет собой причинно-следственную связь, а что до первой и второй, то какие же это импликации?

(Ведь под импликацией понимается именно причинно-следственная связь?)

Из того, что $P=0$, следует, что $Q=0$ или что $Q=1$. Учитывая, что $Q$ может быть равно только $0$ или $1$, много ли информации мы получаем из первых двух "импликаций"?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631985 писал(а):

четыре импликации:

Это всё одна импликация.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631985 писал(а):

(Ведь под импликацией понимается именно причинно-следственная связь?)

Есть такая философия.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631985 писал(а):

много ли информации мы получаем из первых двух "импликаций"?

Какая может быть информация для случая, не подходящего под условие? Вот Вам информация: "Слон имеет хобот". Узнали ли Вы отсюда что-то новое о носорогах?

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631985 писал(а):

Если я правильно понимаю, вот здесь:

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

четыре импликации:

Vladimir Pliassov, Вы просто запутались среди значков, высказываний, формальных высказываний, булевых функций, таблиц истинности, истинностных значений и т.д. "Здесь" я вижу табличку из трех столбцов и пяти строчек. Под импликацией, в зависимости от контекста, могут понимать кучу разных вещей:
1) саму стрелку (просто значок - символ алфавита)
2) некоторую строчку, записанную в некотором специальном языке, в которой фигурирует такая стрелка
3) некоторую функцию вида $B^2 \to B$ (где $B = \{0, 1\}$)
4) утверждение на естественном языке, соответствующее некоторой формальной строчке
и наверняка что-то еще.
Не удивлюсь, если кто-то и Вашу табличку будет считать импликацией.

Я уже говорил, что на мой взгляд, все Ваши проблемы вполне ожидаемы. Вам нужна хорошая книжка, в которой последовательно будет объясняться, что к чему и как. Но я таких, к сожалению, не встречал. (Впрочем, я и не то чтобы сильно увлечен логикой)