Импликация и другие логические связки

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1631402 писал(а):

Импликация - это вообще не набор случаев, которые надо рассматривать вместе или не вместе.

Мне кажется, что все-таки это именно набор случаев, которые надо рассматривать вместе. Вот Ваш пример:

Mikhail_K в сообщении #1631402 писал(а):

"Если вазу выбросили из окна, она разбилась".

Доказать, что ваза разобьется, если ее выбросить из окна, можно исходя из житейского опыта, тогда математика не нужна. Но если надо доказать, что она разобьется, исходя из законов математики (логики), то нужно взять четыре утверждения:

$p=\text {, $\neg p=\text {, $q=\text {, $\neg q=\text {,

составить из них четыре конъюнкции (четыре случая):

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2)$\neg p\wedge q$,

3)$p\wedge \neg q$,

4)$p\wedge q$, --

и исключить третью конъюнкцию -- $p\wedge \neg q$. На каком основании ее исключить, это другой вопрос и к логике отношения не имеет. Но если ее исключить, а остальные оставить, то будет логически доказано, что ваза разобьется.

А без привлечения 1), 2) и 4) конъюнкции, по-моему, доказать этого не удастся.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631411 писал(а):

Но если надо доказать, что она разобьется, исходя из законов математики (логики),

Вы говорите про способ доказательства. Это отдельный вопрос. Утверждение можно записать и рассматривать (например в качестве гипотезы), даже если мы его не доказали. Если в доказательстве утверждения рассматриваются какие-то случаи, это не значит, что само утверждение - это набор случаев.

А с другой стороны, для доказательства импликации обычно не нужно рассматривать четыре случая. Чтобы доказать утверждение $A\to B$, достаточно построить цепочку логических шагов $A\Rightarrow\ldots\Rightarrow B$. Если такая цепочка построена и каждый шаг в ней логичен, то импликация $A\to B$ будет доказана.

Да даже в Вашей схеме доказательства импликации вовсе не нужно рассматривать все четыре случая, достаточно привести к противоречию вот этот:

Vladimir Pliassov в сообщении #1631411 писал(а):

и исключить третью конъюнкцию -- $p\wedge \neg q$.

[Vladimir Pliassov]

warlock66613 в сообщении #1631404 писал(а):

"Импликация" — это не только функция, но и построенные с помощью этой функции утверждения. Так же как "сложение" — это не только функция, но и построенные с помощью этой функции выражения. Например "$2+3$" — это сложение, а "$p\to \text{False}$" — импликация.

Совершенно согласен. В каком-то смысле это можно назвать овеществлением принципа: принцип это функция, а овеществление это ее применение на конкретном материале.

manul91 в сообщении #1631405 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1631368 писал(а):

$$ \begin {matrix} \rightarrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \end {matrix} \eqno (1) $$

Эта таблица какая-то бессмысленная. Конкретные значения результата (0, 1) зависят от конкретных значений p и q.
И например первая строка будет ошибочной, если p=0, q=1 (результат будет 0, а не 1 как в таблице).

Здесь $p$ и $q$ это не переменные, переменных нет в таблице, их можно было бы обозначить, скажем, $P$ и $Q$. Тогда $P$ принимало бы значения $p$ и $\neg p$, а $Q$ -- значения $q$ и $\neg q$.

manul91 в сообщении #1631405 писал(а):

$\text{False}\to q$

Об этом мне надо еще подумать.

manul91 в сообщении #1631405 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1631374 писал(а):

представляет собой запись (а не только таблицу истинности) одной из бинарных булевых функций, которая называется "импликация"?

Что вообще значит "запись (а не только таблицу истинности) одной из бинарных булевых функций"?
Таблица истинности вполне однозначно определяет конкретную булеву функцию.

manul91 в сообщении #1631405 писал(а):

Например, существуeт всего $2^{2^2} = 16$ разных булевых функций над двух булевых аргументов ($2^4=16$ таблиц у каждой из которых $2^2=4$ строк).
У некоторых из этих булевых функций ("таблиц") для удобства есть "короткие имена" типа $\to$, $\land$, $\lor$, $\oplus$... Это вы называете "записью"?

Нет. Как я писал в одном из предыдущих постов, таблица

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p&q&p \to q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (2)$$

представляет собой полную запись одной из бинарных булевых функций, которая называется "импликация" (это тот случай, когда функция задается таблицей, то есть когда записано отображение каждого элемента одного множества в каждый элемент другого множества (при сюръективном отображении), в данном случае отображение каждого элемента множества пар $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$ в каждый элемент множества $\{0, 1\}$).

[manul91]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631423 писал(а):

manul91 в сообщении #1631405 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1631368 писал(а):

$$ \begin {matrix} \rightarrow \\ \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \end {matrix} \eqno (1) $$

Эта таблица какая-то бессмысленная. Конкретные значения результата (0, 1) зависят от конкретных значений p и q.
И например первая строка будет ошибочной, если p=0, q=1 (результат будет 0, а не 1 как в таблице).

Здесь $p$ и $q$ это не переменные, переменных нет в таблице, их можно было бы обозначить, скажем, $P$ и $Q$. Тогда $P$ принимало бы значения $p$ и $\neg p$, а $Q$ -- значения $q$ и $\neg q$.

Два аргумента булевой функции "импликация", принимают возможные значения из одного и того же множества, из одних и тех же двух элементов (их конечно, можно обозначить как угодно, хоть {$\text{True}, \text{False}$}, хоть {$0, 1$}). Сама функция, принимает свои возможные значения над том же самом множестве, из тех же самых элементов.

Можно извратиться, конечно, и обозначать эти значения даже как {$p$, $\lnot{p}$}. Хотя значок $\lnot$ например уже стандартно зарезервирован для других целей, а буквы зарезервированы для "переменных" - и использовать этих значков для чего-то другого плохая практика, мягко говоря. Все равно в алгебре настаивать поменять запись числа $3$ на $x$, а аргументы функций вместо буковками обозначать цифрами типа $3$ :)

Но даже если так, то зачем пользоваться тремя разными обозначениями, для каждого из этих двух конкретных значений (которые могут принимать как аргументы, так и результат функции)??
Чтобы данная таблица имела хоть какой-то смысл в такой записи, нужно дополнительно оговорить что чему соответствует в таблице (типа $0 \equiv \lnot p \equiv \lnot q$, т.е. эти разные знаки суть разные записи одного и того же значения; то же самое и для эквивалентности значков $1 \equiv p \equiv q$).

Vladimir Pliassov в сообщении #1631423 писал(а):

представляет собой полную запись одной из бинарных булевых функций, которая называется "импликация" (это тот случай, когда функция задается таблицей, то есть когда записано отображение каждого элемента одного множества в каждый элемент другого множества (при сюръективном отображении), в данном случае отображение каждого элемента множества пар $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$ в каждый элемент множества $\{0, 1\}$).

Вот видите, вы сами используете одинаковые записи для значений аргументов и функции когда надо :)
А что вообще должны обозначать шесть разных значков {$p$, $\lnot p$, $q$, $\lnot q$, $0$, $1$} в первой таблице, непонятно : )

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631411 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1631402 писал(а):

Импликация - это вообще не набор случаев, которые надо рассматривать вместе или не вместе.

Мне кажется, что все-таки это именно набор случаев, которые надо рассматривать вместе.

Вам кажется.

Импликация - это утверждение из двух частей, разделённых стрелочкой. В естественном языке это утверждение выражается оборотами: "Если ..., то ..." или "Из ... следует ...".

[Vladimir Pliassov]

1.

Кажется, разобрался!

Все-таки слово "импликация" употребляется в двух разных значениях:

1) причинно-следственная связь,

2) одна из бинарных булевых функций.

Вот еще одно подтверждение того, что под импликацией может пониматься причинно-следственная связь (следование):

epros в сообщении #1631441 писал(а):

Импликация - это утверждение из двух частей, разделённых стрелочкой. В естественном языке это утверждение выражается оборотами: "Если ..., то ..." или "Из ... следует ...".

И чаще всего импликация так и понимается, и понималась так еще задолго до появления булевых функций:

Цитата:

Булевы функции возникли в середине 19 в. в математических задачах логики и были названы по имени Дж. Буля.

https://bigenc.ru/c/buleva-funktsiia-71ad40

Так что первую импликацию можно называть импликацией-следованием, а вторую импликацией-функцией.

О том, почему, по моему мнению, одна (и только одна) бинарная булева функция названа импликацией (прямой), я уже писал:

"прямая импликация это единственная из всех 16 бинарных булевых функций, в которой есть $p\Rightarrow q$, и при этом нет $q\Rightarrow p$."

Во всякой трехстрочной булевой функции имеется две причинно-следственные связи, то есть две импликации-следования (обозначенные $\Rightarrow$):

$$\begin {matrix} {\begin {center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P\vee Q\\ \hline \neg p& \neg q& 0\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end {center}}\\ \neg p\Rightarrow q\\ \neg q\Rightarrow p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} {\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P\leftarrow Q\\ \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 0 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\\ \neg p\Rightarrow \neg q\\ q\Rightarrow p \end {matrix}\eqno (1-a)$$

$$\begin {matrix} {\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P\rightarrow Q\\ \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\\ p\Rightarrow q\\ \neg q\Rightarrow \neg p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} {\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P\uparrow Q\\ \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 0 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\\ p\Rightarrow \neg q\\ q\Rightarrow \neg p \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} (1-b) \end {matrix} $$

Что же касается двухстрочных функций, то две из них: эквиваленция и исключающее "или" -- имеют каждая по четыре импликации-следования:

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P &Q & P\equiv {Q}\\ \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 0 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \neg p\Leftrightarrow \neg q\\ p\Leftrightarrow q \end {matrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P\oplus Q\\ \hline \neg p& \neg q& 0\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 1 \\ \hline p& q& 0 \\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \neg p\Leftrightarrow q\\ \neg q\Leftrightarrow p \end {matrix}\eqno (2) $$

(Говоря "двух- или трехстрочная функция" -- я имею в виду стоки таблицы, которые не оканчиваются нулем, и, разумеется, не строку с $P$ и $Q$).

Почему, например, в дизъюнкции ($P\vee Q$) мы имеем $\neg p\Rightarrow q$ и $\neg q\Rightarrow p$? Об этом можно посмотреть здесь #1630977.

Таким образом, во всех четырех трехстрочных бинарных булевых функциях (не в каждой из них, а в их совокупности) можно найти всего 8 импликаций-следований, и это все возможные импликации-следования из элементов множества $\{p, \neg p\}$ в элементы множества $\{q, \neg q\}$ и наоборот, из элементов множества $\{q, \neg q\}$ в элементы множества $\{p, \neg p\}$.

Также и во всех двухстрочных бинарных булевых функциях (не в каждой из них, а в их совокупности) можно найти эти 8 импликаций-следований.

2.

Теперь понятно, что в выражении "истинная" или "ложная импликация" имеется в виду не импликация-функция, а импликация-следование.

Отметим, что из восьми импликаций-следований в трехстрочных функциях имеется только две ложных, и обе они принадлежат штриху Шеффера ($P\uparrow Q$), а в двухстрочных функциях обе они принадлежат исключающему "или".

Разумеется, если полагать, что $p$ и $q$ как посылки и как заключения истинны, а $\neg p$ и $\neg q$ как посылки и как заключения ложны.

3.

manul91 в сообщении #1631432 писал(а):

Два аргумента булевой функции "импликация", принимают возможные значения из одного и того же множества, из одних и тех же двух элементов (их конечно, можно обозначить как угодно, хоть {$\text{True}, \text{False}$}, хоть {$0, 1$}). Сама функция, принимает свои возможные значения над том же самом множестве, из тех же самых элементов.

Можно извратиться, конечно, и обозначать эти значения даже как {$p$, $\lnot{p}$}. Хотя значок $\lnot$ например уже стандартно зарезервирован для других целей, а буквы зарезервированы для "переменных" - и использовать этих значков для чего-то другого плохая практика, мягко говоря. Все равно в алгебре настаивать поменять запись числа $3$ на $x$, а аргументы функций вместо буковками обозначать цифрами типа $3$ :)

Но даже если так, то зачем пользоваться тремя разными обозначениями, для каждого из этих двух конкретных значений (которые могут принимать как аргументы, так и результат функции)??
Чтобы данная таблица имела хоть какой-то смысл в такой записи, нужно дополнительно оговорить что чему соответствует в таблице (типа $0 \equiv \lnot p \equiv \lnot q$, т.е. эти разные знаки суть разные записи одного и того же значения; то же самое и для эквивалентности значков $1 \equiv p \equiv q$).

Здесь мне надо еще подумать, но пока что скажу, что под влиянием Ваших замечаний я переделал таблицы (если Вы заметили), вставив в них $P$ и $Q$. В самом деле, у меня не совсем булевы функции: $P$ и $Q$ принимают значения не из одного и того же множества, $P$ принимает значения из множества $\{p, \neg p\}$, а $Q$ -- из множества $\{q,\neg q\}$, так что каждая пара состоит из элементов разных множеств.

Зачем я так сделал, пока не могу объяснить, думаю об этом, но мне кажется, что так можно.

[manul91]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631520 писал(а):

Все-таки слово "импликация" употребляется в двух разных значениях:
1) причинно-следственная связь,
2) одна из бинарных булевых функций.

Слово "голубой" тоже употребляется в двух разных значениях:
1) Нетрадиционная сексуальная ориентация
2) Цвет
Рисовать голубые/разноцветные таблицы с сексуальными ориентациями при этом не имеет смысла. Ничего особенно глубокого здесь искать не нужно (хотя и есть наверное какие-то понятийные/языковые причины для возникновения подобных омонимов).

Vladimir Pliassov в сообщении [quote="Vladimir Pliassov в [url=http://dxdy.ru/post1631520.html#p1631520]сообщении #1631520 писал(а):

Кажется, разобрался!

В чем?

Vladimir Pliassov в сообщении #1631520 писал(а):

...Также и во всех двухстрочных бинарных булевых функциях (не в каждой из них, а в их совокупности) можно найти эти 8 импликаций-следований.

А внутри импликации-следований, сколько бинарных булевых функций можно "найти" и почему?

Vladimir Pliassov в сообщении #1631520 писал(а):

В самом деле, у меня не совсем булевы функции: $P$ и $Q$ принимают значения не из одного и того же множества, $P$ принимает значения из множества $\{p, \neg p\}$, а $Q$ -- из множества $\{q,\neg q\}$, так что каждая пара состоит из элементов разных множеств.

И {$0$, $1$} надо полагать тоже другое множество с другими элементами?
Так нельзя, потому что потеряется возможность подставлять результат функций на месте аргументов (суперпозиция функций), т.е. нельзя будет осмысленно строить логические выражения сложнее чем "два аргумента с оператором" (более трех значков).
Выражения типа $(A\land\lnot A)\to B$ будут бессмысленными, потому что значение $(A\land\lnot A)$ лежит в множестве {$0$, $1$}, и выходит его элементы нельзя будет подставлять как аргумент для импликации - где по вашей логике ожидаются какие-то другие значения {$p$, $\lnot p$} из совершенно другого множества (по-вашему ваша "импликация-следование" или что бы оно там по таблиц не было, вообще не определено над значений первого аргумента из множества {$0$, $1$}).

Vladimir Pliassov в сообщении #1631520 писал(а):

Зачем я так сделал, пока не могу объяснить, думаю об этом, но мне кажется, что так можно.

По моему вы всякими стараниями пытаетесь превратить простейшее понятие в какую-то бессмыслицу. Еще книгу насчет "импликации-следования" напишите, монументальный труд в двадцати томах.

[epros]

Vladimir Pliassov, зачем Вы себе мозги пудрите?

Vladimir Pliassov в сообщении #1631520 писал(а):

1) причинно-следственная связь,

2) одна из бинарных булевых функций.

Это всё одна импликация, которая есть утверждение из двух частей: предпосылки (антецедента) и следствия (консеквента). Да, некоторые говорят, что она выражает "причинно-следственную связь". И да, при этом иногда её можно трактовать как "бинарную булеву функцию" (хотя, формально говоря, "функции" появляются только в исчислении предикатов, а в исчислении высказываний функций нет, а есть только логические связки).

Vladimir Pliassov в сообщении #1631520 писал(а):

О том, почему, по моему мнению, одна (и только одна) бинарная булева функция названа импликацией (прямой), я уже писал:

"прямая импликация это единственная из всех 16 бинарных булевых функций, в которой есть $p\Rightarrow q$, и при этом нет $q\Rightarrow p$."

Вот что за бред Вы несёте?

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631550 писал(а):

Вот что за бред Вы несёте?

Вы не согласны с тем, что когда мы имеем функцию "импликация":

$$\begin {matrix} {\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P\rightarrow Q\\ \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\\ p\Rightarrow q\\ \neg q\Rightarrow \neg p \end {matrix} $$

то не имеем

$\neg p\Rightarrow q$,
$\neg q\Rightarrow p$

$\neg p\Rightarrow \neg q$,
$q\Rightarrow p$,

$p\Rightarrow \neg q$,
$q\Rightarrow \neg p$,

то есть, в частности, не имеем $q\Rightarrow p$?

(См. 1-a, 1-b в сообщении #1631520"])

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Естественно, $p\to q$ - это не то же самое, что $q\to p$, $p\to \neg q$ и другие приведённые Вами формулы.
Также верно, что из $p\to q$ не следуют те формулы, которые Вы привели.
Если Вы это имели в виду, то всё верно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631555 писал(а):

прямая импликация это единственная из всех 16 бинарных булевых функций, в которой есть $p\Rightarrow q$, и при этом нет $q\Rightarrow p$.

Здесь Вы дословно сказали: "импликация - это единственная из булевых функций, в которой есть импликация и нет обратной импликации". И какой в этом смысл? Это "масло масляное".

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631555 писал(а):

Вы не согласны с тем, что когда мы имеем функцию "импликация":

Я вообще не понимаю, что Вы сейчас пишете. Если уж хотите трактовать импликацию как "функцию", то для начала хотя бы таблицу её значений приведите правильно. Т.е. вместо непонятных $p$ или $\neg p$ в аргументах укажите $0$ и $1$. Дальнейшее (про "имеем") вообще непонятно о чём.

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov, лично я тоже различаю импликацию и соответствующую ей булеву функцию.

И вообще, это очень здорово, что Вы создали такую тему и пишете сюда свой ход мыслей. Вся эта тема с импликацией и её таблицей истинности - это известное проблемное место. Вы не первый и не последний, кто задается всеми этими вопросами. Все Ваши вопросы абсолютно нормальны, примерно такие вопросы и должны возникать в голове при чтении всего этого. Но сам факт повальности этой проблемы говорит о том, что проблема не на стороне обучающихся.

Я практически на 100% уверен, что Вы решили разбираться со всей этой логикой, потому что думаете, что здесь, на уровне всех этих стрелочек и модус поненсов находится та самая вожделенная строгость, тот самый "фундамент", с которого все начинается. Вы ведь ради строгости все это затеяли, не так ли?

[Vladimir Pliassov]

EminentVictorians в сообщении #1631560 писал(а):

лично я тоже различаю импликацию и соответствующую ей булеву функцию.

И вообще, это очень здорово, что Вы создали такую тему и пишете сюда свой ход мыслей.

Спасибо! Рад встретить единомышленника!

EminentVictorians в сообщении #1631560 писал(а):

Я практически на 100% уверен, что Вы решили разбираться со всей этой логикой, потому что думаете, что здесь, на уровне всех этих стрелочек и модус поненсов находится та самая вожделенная строгость, тот самый "фундамент", с которого все начинается. Вы ведь ради строгости все это затеяли, не так ли?

Можно и так сказать, но я подозреваю, что Вы имеете в виду парадоксы, когда никакая строгость не помогает?

Но какие парадоксы могут быть в импликации? Я их пока что не вижу. Я даже пытаюсь показать, что их в ней нет, просто надо ее правильно понять.

А, может быть, их и вообще нет, просто надо правильно понять.

Математика это отображение действительности, если бы в ней были парадоксы, то есть противоречия, она не могла бы существовать.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631564 писал(а):

Спасибо! Рад встретить единомышленника!

Поздравляю Вас, EminentVictorians!

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1631565 писал(а):

Поздравляю Вас, EminentVictorians!

Крепитесь, EminentVictorians, наше дело правое, мы победим!