Импликация и другие логические связки

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631564 писал(а):

Можно и так сказать, но я подозреваю, что Вы имеете в виду парадоксы, когда никакая строгость не помогает?

Не совсем. Парадоксы - это отдельная тематика. Я больше именно про импликацию говорил, что это нормально задавать вопрос, почему её таблица истинности именно такая, какая есть.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631564 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1631560 писал(а):

Я практически на 100% уверен, что Вы решили разбираться со всей этой логикой, потому что думаете, что здесь, на уровне всех этих стрелочек и модус поненсов находится та самая вожделенная строгость, тот самый "фундамент", с которого все начинается. Вы ведь ради строгости все это затеяли, не так ли?

Можно и так сказать

Это ожидаемо. Почти все, кто начинают изучать матлогику, делают это ради поиска логического "дна", из которого якобы вытекает все остальное. Стандартная мотивация.

Но давайте посмотрим, так ли уж Вам все это надо на самом деле. В первом сообщении этой темы Вы хотели понять, почему пустое множество является подмножеством любого множества. В чем проблема доказать этот факт обычным человеческим образом, без всяких импликаций?

Возьмем произвольное множество $A$. Спросим себя: верно ли, что каждый элемент $x$, принадлежащий пустому множеству, принадлежит множеству $A$. Предположим, что это не так. Что это значит? Это значит, что найдется элемент $x_0$, принадлежащий пустому множеству, который не принадлежит множеству $A$. Так, стоп. Найдется элемент, принадлежащий пустому множеству? Но такого же не может быть. А значит, наше предположение не может быть истинным (т.к. оно ведет к противоречию). Следовательно, это верно, что каждый элемент $x$, принадлежащий пустому множеству, принадлежит множеству $A$. А это в точности означает, что $\varnothing \subset A$. В виду произвольности выбора множества $A$ заключаем, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Это обычное нормальное доказательство, на обычном человеческом языке, без всяких импликаций. Неужели отсылки к непонятно откуда взявшимся таблицам истинности и непонятно откуда взявшимся аксиомам исчисления предикатов, убеждает Вас больше, чем обычное нормальное рассуждение?

[manul91]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631411 писал(а):

Доказать, что ваза разобьется, если ее выбросить из окна, можно исходя из житейского опыта, тогда математика не нужна. Но если надо доказать, что она разобьется, исходя из законов математики (логики), то нужно взять четыре утверждения:

$p=\text {, $\neg p=\text {, $q=\text {, $\neg q=\text {,

составить из них четыре конъюнкции (четыре случая):

1) $\neg p\wedge \neg q$,
2)$\neg p\wedge q$,
3)$p\wedge \neg q$,
4)$p\wedge q$, --

и исключить третью конъюнкцию -- $p\wedge \neg q$. На каком основании ее исключить, это другой вопрос и к логике отношения не имеет. Но если ее исключить, а остальные оставить, то будет логически доказано, что ваза разобьется.

А без привлечения 1), 2) и 4) конъюнкции, по-моему, доказать этого не удастся.

Сегодня перечитав что вы писали, вроде понял о чем вы пытаетесь говорить, а именно про логическую эквивалентность двух выражений (если на языке функций, то тождественность двух булевых функций над двух аргументов $p$ и $q$):

$p \to q$

и

$\Bigl(\left(\neg p\wedge \neg q\right) \lor \left(\neg p\wedge q\right) \lor \left(p\wedge q\right)\Bigr) \lor \Bigl(\lnot\left(p\wedge \neg q\right)\Bigr)$

Только непонятно, почему на таком птичьем языке?

В смысле функций (вычисления высказываний) тождественность легко увидеть, соображая что для любых значений $p$, $q$ на множестве {$0$,$1$}, только одна из коньюнкций принимает значение $1$ а все остальные $0$ (если не очевидно, то достаточно подставить все возможные четыре комбинации значений $p$ и $q$ ($00$, $01$, $10$, $11$) и убедиться что для всех из них обе функции дают одинаковое значение).

А если на языке выводимости одних выражений из других, то нужно при подходящих аксиом (включающих значок $\to$ "подходящим" образом) поиграться с логическими аксиомами и правилами вывода чтобы показать эквивалентность (т.е. привести вывод из одной из этих строчек другую и наоборот) - что возможно будит не так "просто", да.

Такую выводимость (из аксиом и правил вывода) одних строчек (содержащих буковок и значков типа $\neg$, $\lor$, $\to$, $\oplus$, скобочек $(, )$ и прочих) из других подобных строчек - обычно обозначают метасимволом $\vdash$ , и это вовсе не то же самое как символ $\to$, что просто в данном случае будет только один из символов строчек (на том же "уровне" что и символы $\neg$, $\lor$, $\oplus$).

В общем похоже у вас спуталось вычисление высказываний (proprositional logic, propositional calculus), с логикой первого порядка (с кванторами) и выводимостью (металогикой).. Это разные вещи ("уровни"), почитайте об этом.

P.S. Значки $\Leftrightarrow$ и $\leftrightarrow$ (что то же самое как $=$) тоже имеют несколько разный смысл, похоже вы их тоже путаете.
Проще всего объяснить по аналогию в функциональном смысле; они отличаются тем же, чем и в математике символы $\equiv$ и $=$; первый обозначает тождественность функций (что если у них подставлять одинаковые значения аргументов, то всегда будем получать одинаковые значения функций), а второй просто то что две разные буковки имеют одно и то же значение.
Поэтому писать выражения типа $something_1(p,q)\Leftrightarrow something_2(z,t)$ (где в выражении слева и справа участвуют разные выражения из разных переменных) бессмысленно также, как для функций писать $f(x,y) \equiv g(z,w)$ (сравнивать на тождественность разные функции из разных переменных). А писать $x=y$ вполне осмысленно это просто означает что $x$ и $y$ значки имеющие одно и то же значение.
Примерно так же отличаются по смыслу и значки $\Rightarrow$ и $\to$.
Второй ($\to$) это просто "двуместная булевая функция двух разных булевых переменных" (наподобие $+$ в школьной алгебре).
А $\Rightarrow$ это "утверждение про функций", оно говорит что если будем подставлять одни и те же значения аргументов в обоих функций (опять же, у них аргументы должны быть одни и те же), то никогда не получим такое что функция по левой стороне даст $1$ а правая $0$ (но не запрещаются все остальные три комбинации значений функций слева и справа, при одинаковых значений аргументов).
Поэтому писать такое
$p \to q \Leftrightarrow \Bigl(\left(\neg p\wedge \neg q\right) \lor \left(\neg p\wedge q\right) \lor \left(p\wedge q\right)\Bigr) \lor \Bigl(\lnot\left(p\wedge \neg q\right)\Bigr)$
или
$p \to q \Rightarrow \Bigl(\left(\neg p\wedge \neg q\right) \lor \left(\neg p\wedge q\right) \lor \left(p\wedge q\right)\Bigr) \lor \Bigl(\lnot\left(p\wedge \neg q\right)\Bigr)$
осмысленно, а примерно такое $\neg p \Rightarrow q$ нет.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1631572 писал(а):

Это обычное нормальное доказательство, на обычном человеческом языке, без всяких импликаций.

Это обычное нормальное доказательство, которое несколько раз апеллирует к аксиомам логики. К тем самым, которые с Вашей точки зрения "непонятно откуда взявшиеся".

manul91 в сообщении #1631576 писал(а):

Примерно так же отличаются по смыслу и значки $\Rightarrow$ и $\to$.
Второй ($\to$) это просто "двуместная булевая функция двух разных булевых переменных" (наподобие $+$ в школьной алгебре).
А $\Rightarrow$ это "утверждение про функций", оно говорит что если будем подставлять одни и те же значения аргументов в обоих функций (опять же, у них аргументы должны быть одни и те же), то никогда не получим такое что функция по левой стороне даст $1$ а правая $0$

Вообще-то они отличаются тем, что первый значок есть в языке исчисления высказываний (и предикатов тоже), а второго значка там нет. Поэтому второй используется на уровне метаязыка, например, как утверждение о выводимости из чего-то одного чего-то другого.

[manul91]

epros в сообщении #1631580 писал(а):

manul91 в сообщении #1631576 писал(а):

Примерно так же отличаются по смыслу и значки $\Rightarrow$ и $\to$.
Второй ($\to$) это просто "двуместная булевая функция двух разных булевых переменных" (наподобие $+$ в школьной алгебре).
А $\Rightarrow$ это "утверждение про функций", оно говорит что если будем подставлять одни и те же значения аргументов в обоих функций (опять же, у них аргументы должны быть одни и те же), то никогда не получим такое что функция по левой стороне даст $1$ а правая $0$

Вообще-то они отличаются тем, что первый значок есть в языке исчисления высказываний (и предикатов тоже), а второго значка там нет. Поэтому второй используется на уровне метаязыка, например, как утверждение о выводимости из чего-то одного чего-то другого.

Разве для обозначения выводимости на уровне метаязыка не используется знак $\vdash$ ?
А про $\leftrightarrow$, $\to$, $\Rightarrow$ и $\Leftrightarrow$ здесь например как раз написано "propositional logic, Boolean algebra".
В данном случае я подразумеваю обозначение $\to$ в аналогичном смысле как у логических двухместных операторов $\land$, $\lor$, $\oplus$; и точно так же как выражение $(p \land \neg p) \lor q \Rightarrow p \lor q$ синтактически правильно, аналогично синтактически правильно и $(p \to \neg p) \lor q \Rightarrow p \lor q$ (при этом, $(p \to \neg p) \lor q \Rightarrow p \lor q$, и $(p \to \neg p) \to (p \lor q)$ - это не одно и то же).
Впрочем, все это конечно зависит от договоренности. Кроме $\to$ (в данном смысле) в алфавите можно добавить и дополнительные ("лишние") значки для остальных булевых функций над двух булевых переменных... А можно выкинуть все включая $\lor$, $\land$ и оставить только стрелку пирса $\downarrow$.

[Vladimir Pliassov]

Цитата:

из истины может следовать только истина и не может следовать ложь;
изо лжи может следовать всё, что угодно

https://mathter.pro/algebra/1_2_6_implikaciya.html

Хочу обратить внимание на вторую часть этой сентенции.

1.

Следования бывают однозначные и неоднозначные, покажем это на том же примере, что и в сообщении #1630977

Например, в функции "прямая импликация":

$$\begin {matrix} {\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P\rightarrow Q\\ \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\\ p\Rightarrow q\\ \neg q\Rightarrow \neg p \end {matrix} $$

есть однозначное следование $p\Rightarrow q$. Оно однозначное, потому что "если $p$, то $q$", и не может быть "если $p$, то $\neg q$" (если из множества натуральных чисел $\mathbb N$ исключается подмножество $N_3$ чисел, которые делятся на $2$ и не делятся на $3$, то каждое число в $\mathbb N\setminus N_3$, если делится на $2$, то делится и на $3$, и в $\mathbb N\setminus N_3$ нет такого числа, которое делилось бы на $2$ и не делилось на $3$).

Следование $\neg q\Rightarrow \neg p$ тоже однозначное, но есть и двузначные следования, а именно, из $\neg p$ следует либо $\neg q$, либо $q$:

$\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$, --

а из $q$ следует либо $\neg p$, либо $p$:

$q\Rightarrow (\neg p\oplus p)$.

То есть имеем два однозначных и два двузначных следования.

(Здесь опять два значения одного и того же слова:

1) следование как однозначное следование,

2) следование, которое может быть как однозначным, так и двузначным, --

так что надо оговаривать.)

Вместо $\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$ неверно было бы написать $(\neg p\Rightarrow \neg q)\wedge (\neg p\Rightarrow q)$, во-первых, потому что в этой функции нет однозначных следований $(\neg p\Rightarrow \neg q)$, $(\neg p\Rightarrow q)$, а во-вторых, потому что $\neg p\Rightarrow \neg q$ и $\neg p\Rightarrow q$ исключают друг друга: если имеем $\neg p\Rightarrow \neg q$, то уже не можем иметь $\neg p\Rightarrow q$, так как $\neg p\Rightarrow \neg q$ -- однозначное следование.

Также неверно было бы вместо $\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$ написать $\neg p\Rightarrow (\neg q\wedge q)$, потому что $\neg q$ из $\neg p$ следует при одних условиях: когда $x$ не делится на $2$ и не делится на $3$, -- а $q$ из $\neg p$ при других: когда $x$ не делится на $2$ и делится на $3$, то есть при одних и тех же условиях (для одного и того же значения $x$) конъюнкция $\neg q\wedge q$ не может иметь места -- одно и то же число не может и делиться, и не делиться на $3$.

2.

Как я понимаю, знаменитое изречение: «Из лжи следует что угодно», -- базируется именно на неоднозначности следования $\neg p\Rightarrow (\neg q\oplus q)$, но его, по-моему, следует понимать с определенными ограничениями. Когда операнды импликации уже назначены, и тем самым назначены и их отрицания -- во взятом примере это

$p=, $\neg p=,

$q=, $\neg q=, --

то из отрицания первого операнда следует либо отрицание второго операнда, либо второй операнд, но не может следовать что-то постороннее (вместе со своим отрицанием), например, в этом примере из того, что число не делится на $2$ следует либо то, что оно не делится на $3$, либо то, что оно делится на $3$, но не то, что Бертран Рассел либо папа римский, либо не папа римский. (Это конечно так, но не имеет отношения к рассматриваемому примеру.)

Для того, чтобы из того, что число не делится на $2$, следовало либо то, что Бертран Рассел папа римский, либо то, что он не папа римский, первым операндом функции должно быть назначено "$x$ делится на $2$", а вторым операндом -- "Бертран Рассел папа римский". То, что эти операнды не связаны по сути, значения не имеет, они будут связаны как операнды одной и той же операции "прямая импликация".

И еще один момент. Обратим внимание на то, что ложь бывает разная, из одной лжи следует ложь, а из другой -- правда: из лжи, что при $x=5\;\;x$ делится на $2$, следует ложь, что $x$ делится на $3$, а из лжи, что при $x=9\;\;x$ делится на $2$, следует правда, что $x$ делится на $3$,

а не так, что из одной и той же лжи следует либо ложь, либо правда: нет такого, что при $x=5\;\;x$ либо делится на $3$, либо не делится, нет, он только не делится, а при $x=9$ нет такого, что $x$ либо делится на $3$, либо не делится, нет, он только делится.

3.

EminentVictorians в сообщении #1631572 писал(а):

Но давайте посмотрим, так ли уж Вам все это надо на самом деле. В первом сообщении этой темы Вы хотели понять, почему пустое множество является подмножеством любого множества. В чем проблема доказать этот факт обычным человеческим образом, без всяких импликаций?

Дело в том, что моей целью сейчас является не доказательство того, что пустое множество является подмножеством любого множества, а именно разобраться с импликацией (и с остальными логическими функциями -- они ведь все связаны). А доказательством того, что пустое множество является подмножеством любого множества, я занялся, потому что у Куратовского и Мостовского встретил вот это место:

Цитата:

Поскольку импликация с ложной посылкой истинна, для каждого $x$ верна импликация $x\in \varnothing \to x\in A$, откуда

$$\varnothing\subset A.$$

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 18, 19

А насчет парадоксов -- какие есть парадоксы импликации?

[epros]

manul91 в сообщении #1631584 писал(а):

Разве для обозначения выводимости на уровне метаязыка не используется знак $\vdash$ ?
А про $\leftrightarrow$, $\to$, $\Rightarrow$ и $\Leftrightarrow$ здесь например
как раз написано "propositional logic, Boolean algebra".
В данном случае я подразумеваю обозначение $\to$ в аналогичном смысле как у логических двухместных операторов $\land$, $\lor$, $\oplus$; и точно так же как выражение $(p \land \neg p) \lor q \Rightarrow p \lor q$ синтактически правильно, аналогично синтактически правильно и $(p \to \neg p) \lor q \Rightarrow p \lor q$ (при этом, $(p \to \neg p) \lor q \Rightarrow p \lor q$, и $(p \to \neg p) \to (p \lor q)$ - это не одно и то же).

Конечно для обозначения выводимости чаще всего используется значок $\vdash$. И по указанной Вами ссылке правильно сказано, что двойная стрелка иногда используется как синоним одинарной. Но дело в том, что в языке исчисления предикатов для импликации нужен только один символ. Он у разных авторов может быть разный, но всё же чаще всего это одинарная стрелка. Поэтому двойная стрелка становится избыточной. А это значит, что её имеет смысл применять только тогда, когда автор хочет продемонстрировать, что мы вышли за пределы языка теории. Например, когда автор излагает доказательство чего-либо, он может употребить двойную стрелку вместо слова "следовательно".

-- Сб мар 02, 2024 21:58:42 --

Ну что, EminentVictorians, всё понимаете в писаниях своего "единомышленника"? Например, вот этот перл:

Vladimir Pliassov в сообщении #1631586 писал(а):

Обратим внимание на то, что ложь бывает разная, из одной лжи следует ложь, а из другой -- правда: из лжи, что при $x=5\;\;x$ делится на $2$, следует ложь, что $x$ делится на $3$, а из лжи, что при $x=9\;\;x$ делится на $2$, следует правда, что $x$ делится на $3$

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1631580 писал(а):

Это обычное нормальное доказательство, которое несколько раз апеллирует к аксиомам логики.

Вот именно, к аксиомам логики, а не к аксиомам исчисления предикатов первого порядка.

epros в сообщении #1631580 писал(а):

К тем самым, которые с Вашей точки зрения "непонятно откуда взявшиеся".

Нет. "Непонятно откуда взявшиеся" - это я про аксиомы исчисления предикатов первого порядка.


Вы так легко отождествляете Логику с какой-то отдельной формальной системой (исчислением предикатов первого порядка). Откуда такая уверенность, что те формальные аксиомы из исчисления предикатов покрывают все логические фигуры?

epros в сообщении #1631590 писал(а):

Ну что, EminentVictorians, всё понимаете в писаниях своего "единомышленника"? Например, вот этот перл:

epros, когда дети в школе складывают дроби по принципу "верх + верх, низ + низ", Вы тоже будете считать их неучами? Или все же проблема в не очень вменяемых учебных программах, где на содержательное рассмотрение дробей и отношений выделяют полторы странички, а потом заваливают детей однотипными примерами на тупой счет.

Все, что говорит Vladimir Pliassov - это абсолютно здоровая реакция на формализм из книжек по логике. По-хорошему, прежде чем вводить понятие импликации, надо вести очень долгий разговор страниц на 50. Про формальные системы, моделирование рассуждений, различение рассуждений и их формализованных версий, про разные интересные логики (например, с модальностями), про выводимость синтаксическую и семантическую, их связь. И про многое-многое другое. Но в большинстве учебников берут и тупо стартуют с исчисления предикатов, их аксиом и формального определения импликации. А потом удивляемся, почему все так, как оно есть.

[manul91]

epros в сообщении #1631590 писал(а):

Конечно для обозначения выводимости чаще всего используется значок $\vdash$. И по указанной Вами ссылке правильно сказано, что двойная стрелка иногда используется как синоним одинарной.

Тоесть, ни двойная ни одинарная стрелка для обозначения выводимости (строчек из строчек, в метаязыке) не используется - это я правильно понимаю.

epros в сообщении #1631590 писал(а):

Но дело в том, что в языке исчисления предикатов для импликации нужен только один символ. Он у разных авторов может быть разный, но всё же чаще всего это одинарная стрелка. Поэтому двойная стрелка становится избыточной.

Забудем на момент про одинарных стрелок, рассмотрим только двойные.

"Предикат" насколько я знаю, это и есть n-местная булевая функция n булевых переменных $P(b_1, b_2..., b_n)$.
Я всегда думал что двойная стрелка $\Leftrightarrow$ используется для записи тождественности двух предикатов (в смысле булевых функций) в логике первого порядка, и как бы полностью аналогична $\equiv$ (тройном равенстве) в обычной алгебре через котором в ней обозначается тождественность функций.
Т.е. запись p\lor q \Leftrightarrow \lnot (\lnot p \land \lnot q)$ означает тождественность предикатов (в смысле тождественности булевых функций $A(p,q) = p \lor q$, и $B(p,q) = \lnot (\lnot p \land \lnot q)$).
(И это само по себе, не имеет общего с выводимости строчки $\lnot (\lnot p \land \lnot q)$ из $p \lor q$ и/или наоборот, что вообще другая песня, и в метаязыке записывается через $\vdash$.)

Теперь рассмотрим (если его нет, то можно ввести "лишнее" обозначение) двух-местного предиката $=$ (аналогично $\land$, $\lor$) принимающего значения $1$ если оба булевых аргумента одинаковы, и $0$ если разные.
Вроде очевидно, что $=$ это не то же самое, как $\Leftrightarrow$.
В частности, $p=q$ это синтактически правильный терм (предикат, булевая функция над двух булевых переменных).
А запись $p \Leftrightarrow q$ - нет (в термов по обоих сторон $\Leftrightarrow$ должны стоять одни и те же значки для атомов-переменных).

Вышесказанное правильно?
Если смысл значка $\Leftrightarrow$ не такой ("двойная стрелка становится избыточной"?) то все-таки для чего используется обозначение двойной стрелки (пусть и избыточное) в записей вычислении предикатов; и как обозначать тождественность двух булевых функций в логике первого порядка (ясно, что это не то же самое как двухместный предикат $=$).

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1631594 писал(а):

Вот именно, к аксиомам логики, а не к аксиомам исчисления предикатов первого порядка.

Я знаю, что Вы уже раз ...дцать не захотели этого понять, но всё же постарайтесь: Это одно и то же.

EminentVictorians в сообщении #1631594 писал(а):

Откуда такая уверенность, что те формальные аксиомы из исчисления предикатов покрывают все логические фигуры?

Попытайтесь привести пример "логических фигур", которые не покрываются. Я правильно понял, что Вы сейчас про средневековую мудрость под названием "силлогизмы"? И то, что их аж пару десятков с хвостиком, наводит Вас на подозрение, что в них сокрыто нечто, неизвестное современной матлогике?

-- Сб мар 02, 2024 23:07:51 --

manul91 в сообщении #1631597 писал(а):

Тоесть, ни двойная ни одинарная стрелка для обозначения выводимости (строчек из строчек, в метаязыке) не используется - это я правильно понимаю.

Двойная стрелка в дополнение к одинарной может использоваться как метасимвол, заменяющий слово "следовательно". При этом обычно на этом уровне не делается различий между выводимостью и логическим следованием, т.е. автор может иметь в виду просто обозначение очередного шага в доказательстве. А вот $\vdash$ как раз используется в формализованной метатеории, когда хотят сказать именно о выводимости.

manul91 в сообщении #1631597 писал(а):

"Предикат" насколько я знаю, это и есть n-местная булевая функция n булевых переменных $P(b_1, b_2..., b_n)$.
Я всегда думал что двойная стрелка $\Leftrightarrow$ используется для записи тождественности двух предикатов (в смысле булевых функций) в логике первого порядка, и как бы полностью аналогична $\equiv$ (тройном равенстве) в обычной алгебре через котором в ней обозначается тождественность функций.

Между предикатами (и вообще любыми формулами) всегда можно поставить одинарную стрелку, если мы хотим составить логическую формулу из двух частей. Это ничем не отличается от её использования в исчислении высказываний. То же касается и двунаправленной стрелки $\leftrightarrow$, обозначающей логическую эквиваленцию или равносильность.

manul91 в сообщении #1631597 писал(а):

Вроде очевидно, что $=$ это не то же самое, как $\Leftrightarrow$.

Разумеется равенство - не то же самое. Оно - бинарный предикатный символ, который ставится между термами (обозначающими объекты), а не между формулами (обозначающими утверждения).

[Vladimir Pliassov]

manul91 в сообщении #1631432 писал(а):

Два аргумента булевой функции "импликация", принимают возможные значения из одного и того же множества, из одних и тех же двух элементов (их конечно, можно обозначить как угодно, хоть {$\text{True}, \text{False}$}, хоть {$0, 1$}). Сама функция, принимает свои возможные значения над том же самом множестве, из тех же самых элементов.

epros в сообщении #1631557 писал(а):

Я вообще не понимаю, что Вы сейчас пишете. Если уж хотите трактовать импликацию как "функцию", то для начала хотя бы таблицу её значений приведите правильно. Т.е. вместо непонятных $p$ или $\neg p$ в аргументах укажите $0$ и $1$.

Пусть в этой таблице прямой импликации:

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

$P$ это делимость на $2$, а $Q$-- делимость на $3$. Делимость может быть либо положительной ("делится"), и тогда аргумент (то есть $P$ или $Q$) принимает значение $1$, или отрицательной ("не делится"), и тогда аргумент принимает значение $0$.

То есть, если число $x\in \mathbb N$ делится на $2$, то этот факт обозначается $1$, а если $x$ делится на $3$, то этот факт обозначается ... тоже $1$. Как же различать эти факты?

Фактов всего четыре:

$, $,

$, $.

Очевидно, первый и третий факты надо обозначить разными буквами, например, $p$ и $q$, а второй и четвертый как отрицания первого и третьего, соответственно, обозначить $\neg p$ и $\neg q$, что я и сделал:

$$\begin {matrix} {\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P\rightarrow Q\\ \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\\ \end {matrix} \eqno (2) $$

Очевидно также, что $P$ должно принимать свои значения из множества $\{p, \neg p\}$, а $Q$ --из множества $\{q, \neg q\}$, то есть $P$ и $Q$ должны принимать свои значения из разных множеств.

(2) это тоже таблица прямой импликации, хотя и отличается от (1).

[manul91]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631609 писал(а):

$P$ это делимость на $2$, а $Q$-- делимость на $3$. Делимость может быть либо положительной ("делится"), и тогда аргумент (то есть $P$ или $Q$) принимает значение $1$, или отрицательной ("не делится"), и тогда аргумент принимает значение $0$.

То есть, если число $x\in \mathbb N$ делится на $2$, то этот факт обозначается $1$, а если $x$ делится на $3$, то этот факт обозначается ... тоже $1$

Очевидно, первый "факт" обозначать соответно $P=1$, а второй "факт" обозначать $Q=1$.

Кстати фразы "делимость на $2$", и "делимость на $3$" - "фактами"/утверждениями не являются.
"делимость невесть чего-то на 2" - не может быть ни "положительной" (истинной), ни "отрицательной" (ложью), это вообще не утверждение.

Утверждением $P$ может быть "$x$ делится на $2$", а утверждением $Q$ - "$x$ делится на $3$" для конкретного $x$. Можно даже для ясности писать их как $P(x)$ и $Q(x)$.

И в таком виде $P$ и $Q$ - это две разные утверждения про $x$, каждое из них может быть либо истинным либо ложным, т.е. принимать значения либо $0$ либо $1$.
И тогда "истинность" обоих утверждений про $x$, обозначается соответно $P=1$, $Q=1$.

И это совершенно ясно из (правильной! где в клеток сидят только 0 и 1) табличке, и то как надписаны заголовки ее трех колонок : ))

-- 03.03.2024, 02:01 --

epros в сообщении #1631599 писал(а):

Между предикатами (и вообще любыми формулами) всегда можно поставить одинарную стрелку, если мы хотим составить логическую формулу из двух частей. Это ничем не отличается от её использования в исчислении высказываний. То же касается и двунаправленной стрелки $\leftrightarrow$, обозначающей логическую эквиваленцию или равносильность.

Что то по прежнему не понятно, это я виноват "двойная стрелка" но оно бывает как двойной толщины так и "двунаправленной", я имел ввиду последнее... :)

На строгом уровне (на котором делается различие между выводимостью и логическим следованием, и в данном случае речь идет только про записи предикатов и формул логики первого порядка с исчисления высказываний, и никаких выводимостей):

Выражения
$(p \to q) \Leftrightarrow (\lnot (p \land \lnot q))$, и
$(p \to q) = (\lnot (p \land \lnot q))$
- это одно и то же?
А выражение
$(p \land q) \Leftrightarrow (\lnot (z \land \lnot y))$
(где по обоих сторон разные буковки) правильно построенное и если да, то каков его смысл?
Я правильно понимаю, что $\Leftrightarrow$ обозначает тождественность булевых функций по обeих сторон, т.е. он тот же как тройное равенство $\equiv$ для функций в обычной алгебре?

А выражения
$(p \to q) \Rightarrow (\lnot (p \land \lnot q))$, и
$(p \to q) \to (\lnot (p \to \lnot q))$
- это одно и то же?
Если нет, в чем разница?
Выражение $(p \land q) \Rightarrow (\lnot (z \land \lnot y))$
(где по обоих сторон разные буковки) правильно построенное и если да, то каков его смысл?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1631609 писал(а):

То есть, если число $x\in \mathbb N$ делится на $2$, то этот факт обозначается $1$, а если $x$ делится на $3$, то этот факт обозначается ... тоже $1$. Как же различать эти факты?

$P=1$ и $Q=1$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631609 писал(а):

Очевидно, первый и третий факты надо обозначить разными буквами, например, $p$ и $q$, а второй и четвертый как отрицания первого и третьего, соответственно, обозначить $\neg p$ и $\neg q$, что я и сделал

У Вас уже обозначено как $P$ утверждение "$x$ делится на $2$". Если хотите записать его отрицание, пишете $\neg P$. Поэтому странно смотрится, когда в колонке логических значений утверждения $P$ мы видим $\neg p$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1631609 писал(а):

Очевидно также, что $P$ должно принимать свои значения из множества $\{p, \neg p\}$, а $Q$ --из множества $\{q, \neg q\}$, то есть $P$ и $Q$ должны принимать свои значения из разных множеств.

Конечно нет. Логические значения в булевой алгебре только из множества $\{0,1\}$. Никаких $\{p, \neg p\}$ и $\{q, \neg q\}$ там быть не может.

manul91 в сообщении #1631612 писал(а):

$(p \to q) \Leftrightarrow (\lnot (p \land \lnot q))$

На строгом уровне я бы советовал $\Leftrightarrow$ вообще не употреблять. Если хотите сказать о равносильности, просто напишите $(p \to q) \leftrightarrow (\lnot (p \land \lnot q))$. Это утверждение - тавтология, что и означает равносильность его левой и правой частей.

manul91 в сообщении #1631612 писал(а):

$(p \to q) = (\lnot (p \land \lnot q))$

А это вообще синтаксически некорректно. Равенство ставится между термами, а не между формулами. В исчислении высказываний равенства вообще нет.

manul91 в сообщении #1631612 писал(а):

А выражение
$(p \land q) \Leftrightarrow (\lnot (z \land \lnot y))$
(где по обоих сторон разные буковки) правильно построенное и если да, то каков его смысл?

Выражение $(p \land q) \leftrightarrow (\lnot (z \land \lnot y))$ корректно и может быть истинным или ложным в зависимости от значений пропозициональных переменных.

manul91 в сообщении #1631612 писал(а):

Я правильно понимаю, что $\Leftrightarrow$ обозначает тождественность булевых функций по обeих сторон, т.е. он тот же как тройное равенство $\equiv$ для функций в обычной алгебре?

Дело не в функциях. $\Leftrightarrow$ означает то же самое, что $\leftrightarrow$. Просто если Вы используете символы из разных наборов, читатель может оказаться в недоумении по поводу того, что Вы хотели этим сказать. Это могло бы быть оправданным, если бы Вы хотели этим подчеркнуть, что не хотите использовать символ из алфавита теории, поскольку высказываете метатеоретическое утверждение.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1631599 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1631594 писал(а):

Вот именно, к аксиомам логики, а не к аксиомам исчисления предикатов первого порядка.

Я знаю, что Вы уже раз ...дцать не захотели этого понять, но всё же постарайтесь: Это одно и то же.

Как это может быть одним и тем же, если в обычной человеческой логике мы можем квантифицировать по свойствам, а в исчислении предикатов первого порядка - не можем

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1631683 писал(а):

Как это может быть одним и тем же, если в обычной человеческой логике мы можем квантифицировать по свойствам, а в исчислении предикатов первого порядка - не можем

В обычной человеческой логике мы очень редко квантифицируем по свойствам. Для таких редких случаев есть логика второго порядка.

[Vladimir Pliassov]

manul91 в сообщении #1631612 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1631609 писал(а):

$P$ это делимость на $2$, а $Q$-- делимость на $3$. Делимость может быть либо положительной ("делится"), и тогда аргумент (то есть $P$ или $Q$) принимает значение $1$, или отрицательной ("не делится"), и тогда аргумент принимает значение $0$.

То есть, если число $x\in \mathbb N$ делится на $2$, то этот факт обозначается $1$, а если $x$ делится на $3$, то этот факт обозначается ... тоже $1$

Очевидно, первый "факт" обозначать соответно $P=1$, а второй "факт" обозначать $Q=1$.

epros в сообщении #1631639 писал(а):

$P=1$ и $Q=1$.

Тогда, разумеется, контрфакт к факту $P=1$ обозначать $P=0$, а контрфакт к факту $Q=1$ обозначать $Q=0$.

Фактов всего четыре:

$, $,

$, $,

и, соответственно, четыре обозначения: $P=1$, $P=0$, $Q=1$, $Q=0$. Мои обозначения проще: $p$, $\neg p$, $q$, $\neg q$, -- и с ними проще работать, например, если надо записать конъюнкцию первого и третьего фактов, то у вас (пишу "вас" с маленькой буквы, потому что отвечаю сразу двоим) будет: $(P=1)\wedge (Q=1)$, -- а у меня: $p\wedge q$.

..............................................

Бывает $0$ как значение $P$, и бывает $0$ как значение $Q$, поэтому должно быть указано, значением чего он является -- значением $P$ или значением $Q$. В таблице

$$\begin {matrix} \begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P \to Q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end {matrix} \eqno (1)$$

это видно из того, в каком столбце он стоит, в множестве пар $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$ (каждая из которых в булевой функции отображается в каждый элемент множества $\{0, 1\}$), это видно из положения $0$ в паре (слева или справа), потому что пары упорядоченные, но когда $0$ берется вне таблицы и вне пары, этого не видно, и нужно всякий раз обозначать особо, значение это $P$ или $Q$. Вы обозначили как $P=0$ и $Q=0$.

То же касается и $1$.

epros в сообщении #1631639 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1631609 писал(а):

Очевидно также, что $P$ должно принимать свои значения из множества $\{p, \neg p\}$, а $Q$ --из множества $\{q, \neg q\}$, то есть $P$ и $Q$ должны принимать свои значения из разных множеств.

Конечно нет. Логические значения в булевой алгебре только из множества $\{0,1\}$. Никаких $\{p, \neg p\}$ и $\{q, \neg q\}$ там быть не может.

Хорошо, пусть это:

$$\begin {matrix} {\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline P&Q&P\rightarrow Q\\ \hline \neg p& \neg q& 1\\ \hline \neg p& q& 1 \\ \hline p& \neg q& 0 \\ \hline p& q& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}}\\ \end {matrix} \eqno (2) $$

не булева функция (хотя, может быть, и булева как разновидность, я еще не понял), но, по-моему, несомненно, что это логическая функция.

manul91 в сообщении #1631612 писал(а):

Кстати фразы "делимость на $2$", и "делимость на $3$" - "фактами"/утверждениями не являются.
"делимость невесть чего-то на 2" - не может быть ни "положительной" (истинной), ни "отрицательной" (ложью), это вообще не утверждение.

Утверждением $P$ может быть "$x$ делится на $2$", а утверждением $Q$ - "$x$ делится на $3$" для конкретного $x$. Можно даже для ясности писать их как $P(x)$ и $Q(x)$.

Совершенно согласен, под "$P$ это делимость на $2$, а $Q$-- делимость на $3$" я имел в виду "$P$ это делимость $x$ на $2$, а $Q$-- делимость $x$ на $3$. "

epros в сообщении #1631639 писал(а):

У Вас уже обозначено как $P$ утверждение "$x$ делится на $2$". Если хотите записать его отрицание, пишете $\neg P$. Поэтому странно смотрится, когда в колонке логических значений утверждения $P$ мы видим $\neg p$.

Нет, это не так, факт $ обозначен у меня как $p$, а переменная $P$ принимает значения из множества $\{p, \neg p\}$, где $p=, а $\neg p=.