shwedka писал(а):
Я, в принципе, согласна с Вашими предложениями. Напишите новый вариант, посмотрим.
Про цитированный текст: совершенно верно, я всегда стараюсь избегать обозначения разных объектов похожими символами. Вариант такой. Множество обозначить не буквой М, а какой-либо другой, скажем S, или еще как-нибудь. Тогда можно будет легко и понятно обозначать все, связанное с базовой парой, маленькими буквами, а с основной- одноименными большими. В общем, приведите в обозначенческий порядок выложенный уже текст,
покажбите публике, посмотрим опять. Добавлять еще рановато.
Отправляю без предложенных мной добавлений.
Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано:
![$z_2=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ $z_2=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/4/88437d92e0e94c11ac072bfa6af5f5bc82.png)
(1a),
![$z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ $z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/6/01663e5eff324a6529c7673dd39c390882.png)
(1b), Требуется доказать:
Уравнение (1b) не имеет решений для натуральных чисел
![$ x, y, z_3 $ $ x, y, z_3 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/d/dddef6cf56df8c2ed2d8880c96460dd482.png)
,
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
![$ S=\{(x, y) | x, y \in\ N, x>y \}$ $ S=\{(x, y) | x, y \in\ N, x>y \}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/5/12506733c97407ecb41bff3ef3549f0982.png)
(2) .
Для каждого элемента из множества S определяем число
![$z_2=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ $z_2=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/4/88437d92e0e94c11ac072bfa6af5f5bc82.png)
(2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
В. Бессистемное Множество (БСМ)
![$\{(X, Y) | x, y \in\ N, Z_2 \in\ J, x>y\} $ $\{(X, Y) | x, y \in\ N, Z_2 \in\ J, x>y\} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/2/7322337f0cc74632c48bfba80468f58f82.png)
.
Oпределяем число
![$ m_2=(z_2-x) $ $ m_2=(z_2-x) $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/a/c1a4fdb312f094cdeb0978c75d9cd10782.png)
.
Отсюда:
![$ z_2=(m_2+x) $ $ z_2=(m_2+x) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/a/daa068e3a60848ae6ad14bd8c56c4dd382.png)
. (3a)
Из (2a) и (3a):
![$ (m_2+x)=$\sqrt[2]{x^2+y^2}$ $ $ (m_2+x)=$\sqrt[2]{x^2+y^2}$ $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/7/9176167624ed35162cf1d22aa17c9d1882.png)
. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень
![$ 2 $ $ 2 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/2/b52fbbaad3234af1a994ef482b40a08882.png)
, получаем уравнение:
![$ m_2^2+2*x*m_2-y^2=0 $ $ m_2^2+2*x*m_2-y^2=0 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/2/6f299116c65beaacc2a810addab6da5e82.png)
(5a)
Если пара
![$ (x, y) $ $ (x, y) $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/9/c195cd8912f414ba9af73b2c2aafd2ed82.png)
принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь целое решение
![$ m_2 $ $ m_2 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/e/c4e639d744c6be3edd24316a073d178282.png)
, которое должно быть делителем числа
![$ y^2 $ $ y^2 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/e/87eed003d462dd80d2d6b89a7a281f2882.png)
. Запишем его в виде
![$ m_2=y/k_2 $ $ m_2=y/k_2 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/5/4159f762dccb3b78add0b7055592540782.png)
, где
![$ k_2 $ $ k_2 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/d/e4db3baf45e33d56364302eba488efaf82.png)
- рациональное число.
Если пара
![$ (x, y) $ $ (x, y) $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/9/c195cd8912f414ba9af73b2c2aafd2ed82.png)
принадлежит бессистемному множеству,
то, предположив, что корень
![$ m_2 $ $ m_2 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/e/c4e639d744c6be3edd24316a073d178282.png)
уравнения (5a) иррационален, мы все равно запишем его в виде
![$ m_2=y/k_2 $ $ m_2=y/k_2 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/5/4159f762dccb3b78add0b7055592540782.png)
, но число
![$ k_2 $ $ k_2 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/d/e4db3baf45e33d56364302eba488efaf82.png)
уже иррационально.
Далее, мы рассмотрим уравнение
![$z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ $z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/1/5c10c2efa7cb99f042b4f9aaafd61d7382.png)
(2b). Положим
![$ m_3=(z_3-x) $ $ m_3=(z_3-x) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/a/d9a66b3a9f0d4af039883b601c5fab4a82.png)
.. После возведения в куб, получаем:
![$ m_3^3+3*x*m_3^2$+3*x^2*m_3-y^3=0$ $ m_3^3+3*x*m_3^2$+3*x^2*m_3-y^3=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/f/e9f83ec6fca7c6b0c81f04bb17d37bd482.png)
(5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)
Поскольку это уравнение с целыми коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются целыми. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть
![$ m_3 $ $ m_3 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/2/342e298f537dacde920cbfefc0d7eb9882.png)
должно быть делителем числа
![$ y^3 $ $ y^3 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/6/736ebdaeb0637a6d70c7259b4de6b3d982.png)
. Если, действительно, такой целый корень
![$ m_3 $ $ m_3 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/2/342e298f537dacde920cbfefc0d7eb9882.png)
существует, то обозначим
![$ m_3=y/k_3 $ $ m_3=y/k_3 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/7/b1754e89042899f38341485ce62b8e2682.png)
, где
![$ k_3$ $ k_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/6/6161e05793dbe26ac1443e67887e84bb82.png)
некоторое рациональное число.
Примечания:
1. В СМ и в БСМ:
1.1
![$ 0<m_2< y $ $ 0<m_2< y $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/5/b8535a9af2d6b13464a19f4c971f159e82.png)
,
![$ 0<m_3< y $ $ 0<m_3< y $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/f/72f45cad403e81ef5d7e46feac8f488c82.png)
.
1.2. Для выполнения условия
![$ x>y $ $ x>y $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/8/628cd3fc97a26381fa6630b94a82b36d82.png)
,
![$ k_2 $ $ k_2 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/d/e4db3baf45e33d56364302eba488efaf82.png)
должeн быть:
![$ k_2>1/($\sqrt[]{2}$ - 1)$ $ k_2>1/($\sqrt[]{2}$ - 1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/4/9a4de3f3c84dc6ed3090a36fa57358ea82.png)
.
1.3. Для выполнения условия
![$ x>y $ $ x>y $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/8/628cd3fc97a26381fa6630b94a82b36d82.png)
,
![$ k_3 $ $ k_3 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/1/ad12852e1beaefaedf910b6367a4064082.png)
должeн быть:
![$ k_3>1/($\sqrt[3]{2}$ - 1)$ $ k_3>1/($\sqrt[3]{2}$ - 1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/7/bb7e42da9b0c4b56c74fce73c7c3a53482.png)
.
§2 Для
![$ (x, y)\in\ S $ $ (x, y)\in\ S $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/5/4e5b604a11eb211ca221b06642e9d93b82.png)
, определим:
![$ x=x(k_2)=k_2^2-1, y=y(k_2)=2*k_2 $ $ x=x(k_2)=k_2^2-1, y=y(k_2)=2*k_2 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/7/a578ce985cd73a139b5c70bd6f102ed682.png)
,
![$ z_2=z_2(k_2)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k_2^2+1 $ $ z_2=z_2(k_2)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k_2^2+1 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/b/3bbc805b6a6abe5988e88566ac7671fb82.png)
, (2.1)
где
![$ k_2 $ $ k_2 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/3/9938c256ea23fd180a7f898a5c9308c982.png)
определено в §1.
Будем называть пару
![$ x, y $ $ x, y $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/d/a9d3e184c12a39f96c569ea7ed40a92d82.png)
базой для пары
Все пары с одним и тем же
![$ k_2 $ $ k_2 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/d/e4db3baf45e33d56364302eba488efaf82.png)
, то есть с одной и той же базой, будем называть подобными.
Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар.
Отметим, что число
![$ m_2=z_2-x $ $ m_2=z_2-x $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/6/d16ffa08c6fe622b30b054797792206482.png)
равно 2 для любого
![$ k_2 $ $ k_2 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/d/e4db3baf45e33d56364302eba488efaf82.png)
, то есть для любой базы.
shwedka писал(а):
Там какое-то другое слово употреблялось. я забыла. день тяжелый.
Подобная пара.