Элементарная алгебра для отстающих

[svv]

horda2501 в сообщении #1624887 писал(а):

Это некие тождественные преобразования? Этого я ещё точно не проходила.

svv в сообщении #1622572 писал(а):

horda2501 в сообщении #1622545 писал(а):

Однако, не стоит забывать, что я сейчас мыслю ровно так как мне предлагается мыслить автором программы учебника и выйти за пределы этой программы я пока, к сожалению, не могу в силу отсутствия опыта.

Вы, фактически, утверждаете (и не в первый раз), что Вашему мышлению недоступны и вещи, находящиеся на расстоянии одного шага за пределами изложенного в учебнике. То есть в контейнере содержится не более того, что в него загружено.

Очень надеюсь, что это не так. Это категорически не должно быть так.

[horda2501]

Здравствуйте! Я начала перепроходить темы из учебника 7 класса, связанные с аналитической геометрией, с целью изучить основы максимально возможно фундаментально (в частности прорешать все задачи повышенной трудности).

В повторении я вновь столкнулась с непониманием вот какого момента. В задании необходимо указать при каких значениях a,b,c в линейном уравнении $ax+by=c $ графики уравнения будут то-то и то-то. Первые 2 пункта ясны. Мол, параллельна прямая будет при значении 0 в связи с соответствующей переменной. Но последние 2 пункта непонятны. В целом объяснение в параграфе мутноватое с точки зрения серьёзных размышлений и логики. Отсюда и трудности в понимании. Не буду сейчас всё цитировать, просто приведу не понятые мною решения, которые даны в учебнике.

в) "проходит через начало координат". Дан ответ "с=0". Ответ непонятен. "С" может быть равен "0" если а и b равны "0". Ранее в учебнике говорилось, что при таких условиях ($a=0,b=0,c=0$) решением является любое значение x и y, а графиком ВСЯ координатная плоскость. Я в качестве решения и записала это $a=0,b=0,c=0$, скрипя сердцем, правда, ведь ВСЯ означает, что и не только прямая проходящая через начало координат. Более того, в ответах именно и только "с=0".

Однако, этот пункт не самый ещё даже не ясный. Именно на следующий я и хотела бы в первую очередь услышать объяснения от уважаемых форумчан (если кто-либо сочтёт интересным отвечать на такие вопросы, требующие не быстрого и короткого ответа, разумеется).

г) "совпадает с той или иной осью координат". Тут я почти сразу беспомощно заглянула в ответы. Ведь всё что предлагалось понять в объяснении, это то самое "если некая переменная 0 из-за коэффициента 0, то и прямая будет параллельной этой оси". Про совпадения речи не было.
Ответы: $b=0 и c=0$, а также $a=0 и c=0$.
Я не могу понять логику, к сожалению. Если "с=0", то оба коэффициента должны быть "0", так как если хотя бы один из них не "0", то сумма не может быть "0". Как понимать?

Заранее благодарю!

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1626622 писал(а):

Если "с=0", то оба коэффициента должны быть "0", так как если хотя бы один из них не "0", то сумма не может быть "0".

Это неправда. Сумма двух ненулевых чисел может быть равна нулю. Приведите пример.

-- 20.01.2024, 20:59 --

Это произведение двух ненулевых чисел не может быть равно нулю, а сумма - может.

[miflin]

horda2501 в сообщении #1626622 писал(а):

в) "проходит через начало координат"

Отталкиваться нужно от того, что прохождение через начало координат - это $x=0$ и $y=0$.
Подставляя эти значения в уравнение, получаем $c=0$, а $a$ и $b$ при этом любые.

-- 20.01.2024, 20:26 --

horda2501 в сообщении #1626622 писал(а):

г) "совпадает с той или иной осью координат".

Уравнение оси $OY$ - $x=0$.
Что нужно обнулить в уравнении прямой, не выплеснув ребенка из ванны?
Очевидно $b$ и $c$. А $a$ (тот самый ребенок) должно быть отлично от нуля.
С другой осью аналогично.

[miflin]

horda2501 в сообщении #1626622 писал(а):

записала это $a=0,b=0,c=0$, скрипя сердцем

Да, это и есть "выплеснуть ребёнка", и сердце у Вас не зря скрипело.
Ибо, если обнулить все, то уравнение исчезает вместе с прямой, а следовательно

horda2501 в сообщении #1626622 писал(а):

графиком ВСЯ координатная плоскость.

Вы сделали правильный вывод (умничка!).

Ну и на всякий случай, простите за банальность.
Если пустить жука в путешествие по одной из прямых (коим несть числа),
то иксы и игреки для жука будут меняться от шага к шагу (согласно уравнению),
а $a,b,c$ будут константами.
Это информация к размышлению, Карл!

[Mikhail_K]

horda2501
Чтобы прямая проходила через начало координат, $c$ должно быть равно нулю, но $a$ и $b$ - конечно, нет (или оба числа $a$ и $b$ могут быть не равны нулю, или одно из них).
Ну, напишите несколько уравнений прямых с $c=0$. Вот, например, четыре уравнения разных прямых:
$x+y=0$
$2x-3y=0$
$x=0$
$y=0$.
Каковы $a,b,c$ у каждого из этих уравнений? Нарисуйте все четыре прямые на координатной плоскости. Может быть, тогда что-то прояснится.

[horda2501]

С пунктом "В" я разобралась. Там попросту смещение акцентов происходит. Ясно, что для прохождения через начало координат нужны x и y равные 0. И, соответственно, какие бы не были связанные с ними коэффициенты результат будет c=0.

С пунктом "Г" не поняла ничего, так как я не понимаю ещё (не встречалось такое равенство) что означает $OY-x=0$, также как и метафорическое объяснение уважаемого Miflin'а. То есть, вроде бы ясно, что для нахождения графика на нужной оси в принципе координата противоположенной оси должна быть равна 0. Но тут опять же не пойму в чём подвох. Допустим, нужно совпадение графика с осью Х. Должна быть ордината 0 и не важно какое значение b (проводя параллели с объяснением предыдущего пункта). Далее: если ордината 0, то как может быть $ax+by=0$, если А не равно 0, а именно такой ответ полагается для оси абсцисс, правильно? И не ясно что есть уравнение СОВПАДЕНИЯ графика с осью, ведь если свести всё к значению "y равен 0, а x любое", то есть в итоге уравнение $x=4$, например, то это уравнение прямой ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ оси ординат, но не совпадающей с осью абсцисс, а лишь проходящей через точку на ней? Как всё это понимать?

[miflin]

Среди бесконечного множества прямых, расположенных в плоскости $XOY$, есть две,
которых совпадают с координатными осями.
Рассмотрим ту, которая совпадает с осью $OY$.
Для любой точки, лежащей на оси $OY$, выполняется равенство $x=0$. Думаю, это очевидно.
Вот это решение - $x=0$ - мы и должны получить из уравнения $ax+by = c$.
Очевидно, что такое решение получится, если положить b=0$$ и c=0$$, и уравнение прямой
примет вид ax=0$$. Ясно, что должно выполняться $a\ne0$, иначе $x$ может быть любым, а нам нужен ноль.
Вот мы $a$ и не включаем в список обнуляемых коэффициентов. Оставляем ребенка в ванне.

[horda2501]

Благодарю, Miflin! Объяснение ясное и понятное. Но вопрос: это всё чисто умозрительные упражнения на абстрактную логику получается, так? Ведь практической пользы как таковой нет в данном случае. Потому что если у нас есть Х равен 0, а Y какой угодно, то это будет лишь та самая прямая, проходящая через ОДНУ точку на оси, а не СОВПАДАЮЩАЯ этой оси прямая. Более того, какой смысл таких рассуждений, если в конечном счёте сам график будет зависеть только от значений переменных Х и Y?

(Более того, не совсем понятно, почему А обязательно не должен быть равен 0, чтобы Х был равен 0?)

[wrest]

horda2501 в сообщении #1626740 писал(а):

вопрос: это всё чисто умозрительные упражнения на абстрактную логику получается, так?

НЕТ! Это всё вам надо освоить и усвоить.

[miflin]

horda2501 в сообщении #1626740 писал(а):

Более того, какой смысл таких рассуждений, если в конечном счёте сам график будет зависеть только от значений переменных Х и Y?

Смысл в том, что график не зависит от Х и У, а зависит от вида уравнения, связывающего Х и У.
Суждение, возможно, спорное, но сказал.

horda2501 в сообщении #1626740 писал(а):

Ведь практической пользы как таковой нет в данном случае.

Что сказать...
Дня два назад в сети наткнулся на видео.
Понравился один комментарий:

Цитата:

Я как-то давным-давно, при помощи математики посчитал человеку нужное количество цемента для фундамента его дома. Он тоже думал, что математика ему не нужна. В какой-то мере он был прав, ведь посчитал то я.

[horda2501]

Хм... Возможно В учебнике по геометрии за 8 класс есть тема "Расположение прямой относительно системы координат". Там подобные рассуждения, сейчас вот только обнаружила. Попробую чуть позже разобраться.

[miflin]

horda2501 в сообщении #1626740 писал(а):

Более того, не совсем понятно, почему А обязательно не должен быть равен 0, чтобы Х был равен 0?

А если а=0, то х может быть каким угодно. Произведению достаточно одного нулевого сомножителя.

-- 21.01.2024, 20:16 --

Выше ж уже говорилось, что обнуление всех трех коэффициентов приводит к исчезновению предмета обсуждения,
сиречь сабджекта, выражаясь просто.

[horda2501]

Miflin, Смешное видео и комментарий.
Что касается предмета, то мне нужно больше размышлений и опыта как всегда. Я, в частности, как вы верно мне указали, не понимаю, что вид графика зависит от уравнения в целом, а не только от переменных. Короче, как всегда, куча глупых вопросов новичка, но начинать с чего-то нужно

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1626749 писал(а):

мне нужно больше размышлений и опыта

Только не перепутайте порядок действий.
Сначала опыт, то есть решение множества простейших примеров.
Например, возьмите $c=0$ и переберите все пары $a=-2, -1, 0, +1, +2$
и $b=-2, -1, 0, +1, +2$. У вас получится 24 разных прямых.
С этим багажом уже можно начать размышлять, но только глядя на полученные 24 графика.
А потом возьмите какую нибудь пару значений, например, $a =1, b = -1$
и постройте еще пять прямых для $c=-2, -1, 0, +1, +2$
Теперь можно поразмышлять уже над этими пятью графиками.
После этого не должно остаться ни одного неясного вопроса.
А которые вопросы останутся, уже можно тащить их на форум.
Пока Вы не видите этих графиков, Вы и размышляете ни о чем.
После того, как эта работа будет проделана, глядя на конкретные $a,b,c$
перед Вашим мысленным взором будет возникать прямая в системе координат, соответствующая этой троице коэффициентов, без построения графика на бумаге. С этого момента материал темы можно считать усвоенным, и переходить к следующей теме.

-- Пн янв 22, 2024 02:15:02 --

horda2501 в сообщении #1626749 писал(а):

вид графика зависит от уравнения в целом, а не только от переменных.

Вид графика зависит от коэффициентов и не зависит от переменных.
Каждой паре переменных $(x,y)$ соответствует одна точка графика.
В то время как отношение коэффициентов $\frac{a}{b}$ есть тангенс угла наклона прямой к осям координат,
а отношения коэффициентов $\frac{c}{a}$ и $\frac{c}{b}$ есть расстояние от точек пересечения прямой с каждой из осей до начала координат.