Элементарная алгебра для отстающих

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1627381 писал(а):

Ну и тут было взаимное обнуление коэффициента "С" что и сбило меня с толку совсем уже окончательно.

Это же замечательно! Именно взаимное обнуление одного из козффициентов при алгебраическом сложении двух равенств позволяет выразить остальные два коэффициента друг через друга.
Теперь нужно и "$c$" выразить через какой нибудь из остальных двух.
Для этого в одно любое из двух уравнений нужно подставить $b=a$ или $a=b$, и получить уже эти $c=-5a$ или $c=-5b$.
И теперь уже эти честно найденные $a=a$ , $b=a$ и $c=-5a$, смело подставляем в общее уравнение прямой, и получаем $ax+ay-5a=0$,
Поскольку коэффициент $a$ есть у каждого слагаемого, его можно вынести за скобки $a(x+y-5)=0$, и обе части уравнения поделить на $a$.
С нулем в правой части от такого произвола ничего не произойдет
$0/a=0$. В левой части, поделив $a$ на $a$ получим единицу, и умножив на эту единицу выражение в скобках получим искомое.

[horda2501]

Здравствуйте! Я вновь вернулась к вопросу о том, как образуются уравнения, которые задают прямые, совпадающие с той или иной осью. На этот раз с непониманием я столкнулась вот в какой форме. Суть задания: "Составьте уравнения прямых, содержащих стороны такого-то треугольника". Этот треугольник образуют точки с координатами А(0;2), О(0;0) и В(-4;0). Я начала составлять уравнение прямой на которой лежат точки А и О. Графически очевидно, что она совпадает с осью ординат. Я использую уже известный мне метод подстановки координат точек в уравнение прямой и образую из этих уравнений систему с тремя переменными. Получаю систему следующего вида:
$\left\{ \begin{array}{rcl} 2b=-c \\ c=0 \\ \end{array} \right.$

Вроде бы всё верно, так как:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 0a+2b+c=0& \\ 0a+0b+c=0& \\ \end{array} \right.$$

Однако не ясно, каким же образом здесь получается некое уравнение прямой, если эти два уравнения дают то, что и b=0 Я так поняла из ответов в конце, что должно получиться $x=0$. Но как прийти к такому уравнению прямой ума не приложу. Нужна помощь.

-- 03.02.2024, 19:58 --

С уравнением прямой, к которой принадлежат точки A(0;2) и В(-4;0) почему-то тоже не всё гладко прошло. Но тут, похоже, просто опечатка. В учебнике ответ: $x+2y-4=0$. У меня получился ответ: $x-2y+4=0$ Путём простой подстановки координат точки в уравнения видно, что ответ в учебнике не правильный, ведь $-4+2\cdot0-4=0$ это неверное неравенство? Вопрос глупый, но жду официального подтверждения, так сказать

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1628352 писал(а):

Однако не ясно, каким же образом здесь получается некое уравнение прямой, если эти два уравнения дают то, что и b=0

Уравнение прямой должно иметь вид $ax+by+c=0$ (где числа $a,b,c$ не могут сразу все три равняться нулю).
Из системы Вы нашли, что $b=0$ и $c=0$.
Значит, как теперь выглядит уравнение $ax+by+c=0$? Ответьте.

Имейте ещё в виду, что уравнение прямой можно умножить или разделить на любой ненулевой коэффициент, и оно останется уравнением той же самой прямой. Например (вне связи конкретно с Вашим примером), уравнения $x+2y-3=0$ и $2x+4y-6=0$ описывают одну и ту же прямую. Это легко понять, если помнить, что вообще означает уравнение прямой. На прямой $x+2y-3=0$ лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют равенству $x+2y-3=0$. Но оно равносильно равенству $2x+4y-6=0$.

[horda2501]

Уравнение выглядит так: $ax+0y+0=0$. Таким образом, конечно, легко получается данный ответ $x=0$ Но ведь этот ответ получается вырванным из всего контекста задачи. Так как если начать из уравнений той системы выражать "а", то получится полная неразбериха, потому что этого "а" вроде как и нет самого по себе из-за его связки с координатой $x=0$. Как размышлять в такой ситуации? Нельзя ведь просто отбрасывать этот момент для того чтобы получить $ax+0y+0=0$ и успокоиться Ведь это разрушает всю логику этого метода получения уравнения прямой.

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1628352 писал(а):

Однако не ясно, каким же образом здесь получается некое уравнение прямой, если эти два уравнения дают то, что и b=0 Я так поняла из ответов в конце, что должно получиться $x=0$. Но как прийти к такому уравнению прямой ума не приложу.

Это потому, что Вы не выполнили до конца все пункты решения задачи на составление уравнения прямой.
Опять бросили за два шага до финиша, и пустились в рассуждения... ни о чем.
Вы подставили в общее уравнение прямой координаты точек, и получили два уравнения, которые после решения дали ответы соответственно $b=0$ и $c=0$.
И почему остановились на этом?
Теперь, 1). В исходное общее уравнение надо подставить эти решения.
А потом 2). Сократить все слогаемые на коэффициент $a$.
Делайте!

-- Сб фев 03, 2024 20:09:18 --

horda2501 в сообщении #1628352 писал(а):

Но тут, похоже, просто опечатка.

Да, опечатка.
Правильно у Вас!

-- Сб фев 03, 2024 20:23:53 --

horda2501 в сообщении #1628365 писал(а):

Но ведь этот ответ получается вырванным из всего контекста задачи. Так как если начать из уравнений той системы выражать "а", то получится полная неразбериха, потому что этого "а" вроде как и нет самого по себе из-за его связки с координатой $x=0$.

Вопрос заключается в том, чтобы выразить $a, b, c$ через один какой-нибудь коэффициент, а потом на него сократить. Здесь коэффициент $a$ выразить ни через какой-то из двух других не получится, поскольку $b=0$ и $c=0$,
поэтому все выразим через $a$.
$a=a$,
$b=a\cdot 0 = 0$
$c=a\cdot 0 = 0$.
И вот только теперь подставляем это все в исходное общее уравнение, и получаем именно $ax+0y+0 = 0$
или просто $ax=0$
Теперь сокращаем на $a$ и получаем уравнение оси ординат $x = 0$. И никакой мистики, все логично.
Буду рад увидеть аналогичное подробное решение для прямой $BO$!

-- Сб фев 03, 2024 20:35:56 --

horda2501 в сообщении #1628352 писал(а):

Я так поняла из ответов в конце, что должно получиться

Если Вы будете продолжать изучать математику по "ответам в конце", а не по учебникам, так и не научитесь понимать, в итоге, что должно получиться в примере, на который нет ответа в конце...

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1628365 писал(а):

Ведь это разрушает всю логику этого метода получения уравнения прямой.

Не нужно думать, что каждая математическая задача решается по какому-то единому алгоритму. Наоборот, допустимы любые логичные способы рассуждения. Иногда к цели приводят одни, иногда другие. Часто заранее это никак не понять - надо пробовать так и эдак. Если вы решили какую-то задачу и там Вам приходилось выражать $a$, это не значит, что каждая подобная задача будет решаться в точности так же.

[Dedekind]

Mikhail_K в сообщении #1628374 писал(а):

Не нужно думать, что каждая математическая задача решается по какому-то единому алгоритму. Наоборот, допустимы любые логичные способы рассуждения. Иногда к цели приводят одни, иногда другие.

Но не в данном же случае. Тут все стандартно.

[Mikhail_K]

Dedekind в сообщении #1628375 писал(а):

Но не в данном же случае. Тут все стандартно.

Конечно. Но для ТС и то, что "не нужно выражать $a$", кажется чем-то нестандартным. Не буду с ней спорить.

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1628365 писал(а):

получится полная неразбериха, потому что этого "а" вроде как и нет самого по себе из-за его связки с координатой $x=0$.

Да как нет-то?
$x=0$ - это же просто сокращенная запись равенства
$1 \cdot x = 0$, то-есть в выражении
$a \cdot x = 0$, значение коэффициента равно $a=1$

Неразбериха у Вас скорее всего потому, что
если нет слагаемого самого по себе, это значит, что это слагаемое есть, но равно нулю, например $c=0$.

А вот если нет сомножителя, в частности коэффициента при неизвестном, это значит что он есть, но равен единице, например если имеем выражение $x=0$, это не значит что $a$ нет самого по себе, это значит, что $a$ сам по себе есть, и $a=1$

[miflin]

horda2501 в сообщении #1628365 писал(а):

полная неразбериха

Честно говоря, у меня, по прочтении, тоже полная неразбериха.
Так что дальнейшее можно не читать.

horda2501 в сообщении #1628365 писал(а):

Но ведь этот ответ получается вырванным из всего контекста задачи.

Нужно получить уравнения трех прямых через точки А, О, В.
Но уравнение прямой через любую пару точек
ну никак не связано с третьей точкой!
Так что ни о каком контексте мечтать не надо!
Если я правильно понял...

[Amw]

Лукомор в сообщении #1627403 писал(а):

Это же замечательно! Именно взаимное обнуление одного из козффициентов при алгебраическом сложении двух равенств позволяет выразить остальные два коэффициента друг через друга.

Может быть хватит издеваться над человеком?
Уравнение прямой имеет два неизвестных коэффициента $y=ax+b$, а не три.

[wrest]

Amw в сообщении #1628440 писал(а):

Уравнение прямой имеет два неизвестных коэффициента $y=ax+b$, а не три.

И чему $a$ и $b$ равны для прямой, совпадающей с осью Oy (или какой-то другой вертикальной)?

[Dedekind]

Amw
Запишите в таком виде уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку $x=-3$.

[horda2501]

По совпадению я тоже пришла к мысли попробовать записать таким образом уравнение прямой, проходящей через некую точку (одну).
Получается следующих ход мыслей.
$-3a+0b+c=0$
$c=3a+0b$
$0b=3a-c$

На ноль делить нельзя. Если я выброшу этот "неудобный" момент, то получу "удобное" уравнение, где всё приравнивается к "а", а само "а" ни к чему не приравнивается.
$ax+3a=0$ Ну и после сокращения на "а", всё красиво. $x=-3$

Вопрос: на каком основании выбрасывается $0b=3a-c$ из общего уравнения прямой?

Аналогично-> Мне нужно составить уравнение прямой, которая проходит через точку с координатами (0;-3).
$a0+(-3)b+c=0$
$c=0a+3b$
$b=0a+\frac{c}{3}$
$0a=-c+3b$

И снова, если здесь "нет" неудобных коэффициента и переменной, то в уравнении прямой всё гладко.
$by+3b=0$ и далее $y=-3$

Чего я не понимаю?

[Dedekind]

horda2501 в сообщении #1628684 писал(а):

$c=3a+0b$

$0b=0$
$c=3a+0b=3a+0=3a$