Элементарная алгебра для отстающих

[horda2501]

Здравствуйте! Метод описанный выше Лукомором, безусловно, хороший, но я решила попробовать зайти немного иначе. А именно разобраться в пункте "Уравнение прямой". Кое-что из доказательства и выведения формулы $ax+by+c=0$ я вроде бы поняла, но взявшись за задачу с досадой обнаружила что не понимаю ни слова почему-то Фото с задачей и основной частью объяснения прилагаю: https://postimg.cc/dkfhkYMF

Суть задачи в том, что нужно составить уравнение прямой, которая проходит через определённые точки (А (-1;1) и В (1;0) эти точки). Сразу возникает вопрос по предложению из текста. "Подставляя координаты точек А и В в уравнение прямой получим $-a+b+c=0, a+c=0$".

Что это такое в принципе? Откуда взялись эти два преобразования и почему они именно таковы?

[Dedekind]

horda2501
Что такое уравнение прямой?

[horda2501]

Этот момент мне тоже не совсем понятен, если честно. Вроде как это расстояние от С до А получается, но почему-то утверждается, что это уравнение именно прямой h. Я вот сейчас задумалась над тем, как это всё работает на более глубоком уровне с точки зрения формулы квадратов суммы/разности. Сделала вот такой вот рисунок в попытках как-то уловить суть Что-то крутится в голове, но не складывается в мысль. Хорошо хоть в принципе уже до постановки такого вопроса дошла. Но это, возможно, совсем к теме не относится на данный момент.

https://postimg.cc/5jLRWPTn

Каков будет ожидаемый вами правильный ответ на вопрос "что такое уравнение прямой"? У меня пока мыслей нет, к сожалению Нужно чтобы подтолкнули в правильном направлении.

-- 25.01.2024, 20:53 --

UPD. Под "расстоянием от С до А" понимается в контексте объяснения из параграфа, что это расстояние от точки пересечения прямых под прямым углом (точка С) до точки А, которая лежит на изначальной прямой h. Точки А1 и А2, соответственно, это равноудалённые точки от С на этой перпендикулярной h прямой, а А это любая равноудалённая от А1 и А2 точка.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1627085 писал(а):

Каков будет ожидаемый вами правильный ответ на вопрос "что такое уравнение прямой"?

A как узнать, например, лежит ли точкa $A(2;8)$ на прямой с уравнением $2x+5y-6=0$ ?

[Dedekind]

horda2501 в сообщении #1627085 писал(а):

Вроде как это расстояние от С до А получается

Откуда? Не получается. Вы же уже знаете формулу для расстояния между двумя точками. Можете записать расстояние между С и А и убедиться. Где у Вас на рисунке прямая h я не понял, но не суть.

horda2501 в сообщении #1627085 писал(а):

Каков будет ожидаемый вами правильный ответ на вопрос "что такое уравнение прямой"? У меня пока мыслей нет, к сожалению Нужно чтобы подтолкнули в правильном направлении.

Это такое уравнение, в котором при подстановке вместо $x,y$ координат точки, лежащей на прямой, получается верное равенство ($0=0$). А при подстановке координат точки, НЕ лежащей на прямой - получается НЕ верное равенство.
Например, попробуйте, ничего не рисуя, определить, принадлежит ли точка $(1,2)$ прямой $2x-3y+4=0$? А точка $(-1,3)$? Потом нарисуйте и убедитесь.

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1627078 писал(а):

Сразу возникает вопрос по предложению из текста. "Подставляя координаты точек А и В в уравнение прямой получим $-a+b+c=0, a+c=0$".

Что это такое в принципе?

Это, в принципе, порядок действий, которому Вы должны следовать при решении любой задачи на составление уравнения линии.
1. Записать в общем виде уравнение прямой линии в данном случае.
2. Координаты конкретной точки А, это числа $x_A, y_A$ взять из условия задачи, и подставить вместо $x$ и $y$ в уравнение прямой.
3. Взять координаты точки B из условия, это числа $x_B, y_B$ и снова подставить их в уравнение прямой.
4. Убедиться, что два полученных равенства совпадают с решением из учебника.
5. Продолжать решать пример, руководствуясь преведенным в учебнике решением.
Который из пунктов вызывает затруднения?

[horda2501]

Кажется поняла. Буду пробовать решать задачи.
Что касается порядка действий, то в учебнике при решении, демонстрируемом в тексте, кажется, используется метод составления системы уравнений. Эти уравнения, соответственно, те, которые получаются при подстановке в уравнение прямой координат точек. Далее для решения используется метод подстановки. Я правильно понимаю?

[horda2501]

Приступила к решению задач. Первая из них "составьте уравнение прямой АВ, если А (2;3), В (3;2).

Мои действия:
1) Составила систему уравнений.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2a+3b+c=0 \\ 3a+2b+c=0 \\ \end{array} \right.$$

2) Решила её методом алгебраического сложения.
$(2a+3b+c)-(3a+2b+c)=0$
$-a+b=0$
$b=a$
3) Следующим шагом подразумевается подстановка полученных значений в уравнение прямой.
Получается $ax+ay+c=0$

Однако я не могу понять как завершить решение. То есть, каким образом это выражение преобразовать?
Ответ в конце учебника: $x+y-5=0$

[Dedekind]

horda2501
У Вас 3 неизвестных ($a, b, c$) и два уравнения в системе. Значит, решений бесконечно много (или не существует, но не в этом случае). Поэтому одну из неизвестных можно выбрать произвольным образом, а потом выразить через нее остальные.

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1627363 писал(а):

Решила её методом алгебраического сложения.

Повторите метод алгебраического сложения. Он не в том состоит, что надо просто сложить или вычесть уравнения и всё.

Вам надо бы разобраться, что преобразования уравнений и их систем бывают равносильные и неравносильные.
Вот, например, равенство $x+2=3$ равносильно равенству $x=1$. Это значит, что из первого равенства можно вывести второе, а из второго - вывести первое. Из $x+2=3$ можно получить $x=1$, если вычесть $2$ из левой и правой части. Типа, если $x+2$ и $3$ - это одно число, то и после вычитания двойки получатся одинаковые результаты: $x+2-2=3-2$, т.е. $x=1$. Наоборот, из $x=1$ можно получить $x+2=3$, если прибавить $2$ к левой и правой части.

Вот пример неравносильных равенств: $x=2$ и $x^2=4$. Из первого равенства следует второе: если $x=2$, то $x^2=2^2=4$. Но из второго равенства не следует первое: если $x^2=4$, то ещё не факт, что $x=2$; может быть и так, что $x=-2$.

Решая уравнение или систему уравнений, лучше всего пользоваться только равносильными преобразованиями. Если делать неравносильные, то можно получить "лишние" корни: как корень $x=-2$ в предыдущем примере.
Так вот, сложение уравнений системы - это неравносильное преобразование. Вы сделали правильный вывод, что $a=b$, и Вы правы в том, что уравнение Вашей прямой должно иметь вид $ax+ay+c=0$. Но Вы не нашли эти $a$ и $c$ - а если бы постарались, могли бы их найти (с точностью до общего множителя) и получить то, что в ответе.

Неравносильные преобразования при решении задач допустимы, но нужно помнить, что они могут приводить к "лишним" решениям.

Как понять, преобразование равносильное или нет? Только думать. Вот, например, если $x=2$ и $y=3$, то отсюда можно сделать вывод, что $x+y=5$. Но если нам дано, что $x+y=5$, то отсюда нельзя вывести, что $x=2$ и $y=3$ - может ведь быть ещё например так, что $x=4$, а $y=1$. Так что сложение уравнений - не равносильное преобразование.

Это Вам просто материал для размышлений. А конкретно по задаче - изучите подробнее, как решаются системы уравнений.

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1627346 писал(а):

Далее для решения используется метод подстановки. Я правильно понимаю?

Для решения уже, после того как система уравнений составлена, можно использовать любой метод. Просто кроме метода подстановки Вы пока никаких других не проходили.

-- Вс янв 28, 2024 19:58:01 --

horda2501 в сообщении #1627363 писал(а):

Однако я не могу понять как завершить решение. То есть, каким образом это выражение преобразовать?

Это потому, что Вы предыдущий пример не дорешали до конца.
Там был еще пункт пятый:

Лукомор в сообщении #1627092 писал(а):

...
5. Продолжать решать пример, руководствуясь преведенным в учебнике решением.

[horda2501]

Dedekind в сообщении #1627365 писал(а):

horda2501
У Вас 3 неизвестных ($a, b, c$) и два уравнения в системе. Значит, решений бесконечно много (или не существует, но не в этом случае). Поэтому одну из неизвестных можно выбрать произвольным образом, а потом выразить через нее остальные.

1) Вы не могли бы продемонстрировать как это делается в данном конкретном случае?

2) Мне нужно будет подумать над равносильными и неравносильными преобразованиями, так как я этого ещё не проходила. Что касается метода сложения, то он изложен в учебнике за 7 класс именно так просто. Мол, складывается так, чтобы можно было удобно выразить одну переменную через другую. Я могу ошибаться, так как всего не помню досконально, повторю. Но насколько помню именно с этим параграфом у меня особых проблем не было.

3) Я и пыталась решать согласно приведённому в учебнике примеру Следовала пошагово, насколько могла. Однако, там простой пример, где один из коэффициентов обнуляется, а остальные единицы, а С в конце можно удобно сократить. Далее идут более сложные примеры как видите, которые мне не ясны, к сожалению.

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1627363 писал(а):

2) Решила её методом алгебраического сложения.
$(2a+3b+c)-(3a+2b+c)=0$
$-a+b=0$
$b=a$

Вы ее не решили, так как не нашли неизвестный коэффициент $c$.
Его также нужно искать не в числовом виде, а выразить через коэффициент $a$ или $b$.
Для этого в одно любое из двух найденных Вами уравнений нужно лродставить $a=b$, или $b=a$ , и выразить $c$ через $b$ (или через $a$ соответственно).
После того как все три коэффициента будут выражены в одних и тех же "попугаях", нужно составить уже то уравнение, на котором Вы споткнулись сейчас, и оно будет содержать один неизвесный коэффициент при всех слагаемых.
Поскольку справа у нас ноль, левую часть на этот коэффициент можно будет сократить.

[Dedekind]

horda2501 в сообщении #1627369 писал(а):

1) Вы не могли бы продемонстрировать как это делается в данном конкретном случае?

Пусть $c=3$ (выбрал от фонаря). Чему в таком случае равняются $a$ и $b$?

[horda2501]

Всё, кажется поняла. Забыла за время, которое прошло с момента прохождения темы. Плюс там по программе системы с 3 неизвестными шли как "повышенной сложности", я помню, что решила несколько, но уже не помню как Повторю, спасибо! Ну и тут было взаимное обнуление коэффициента "С" что и сбило меня с толку совсем уже окончательно.